Mercuri i Venus: Les Danses Orbitals Sense Inclinació

L’article de Clarke i Guàrdia explora la raó per la qual els planetes interiors, com Mercuri i Venus, mantenen òrbites gairebé planes en comparació amb altres cossos celestes. Els investigadors han demostrat que l’estabilitat marginal dels sistemes planetaris només és possible si els planetes interiors no estan inclinats.

Els investigadors Andrew Clarke (UPC – CRM), Marcel Guàrdia (UB-CRM) i Jacques Fejoz (Dauphine Université Paris) aborden aquesta qüestió fascinant en l’article titulat “Why are inner planets not inclined?”. Ofereixen noves perspectives sobre la dinàmica celeste i l’estabilitat dels sistemes planetaris.

Història de la Dinàmica Celeste

Contribucions de l’Estudi

En el present estudi, els autors proven la conjectura d’Arnold en el problema espacial de quatre cossos. Aquesta demostració proporciona una explicació matemàtica per a l’estabilitat observada en els planetes interns. En particular, exploren com la difusió d’Arnold pot portar a una inestabilitat a gran escala en el sistema planetari amb el temps.

Concretament, ho han demostrat en el problema jeràrquic per a quatre cossos. Amb aquest es poden analitzar de manera més simplificada les interaccions gravitacionals dels cossos, així com, les òrbites i les inestabilitats. La investigació mostra que, al llarg de les òrbites difusives dels cossos, la inclinació mútua dels planetes interiors s’aproxima a π/2. Aquesta demostració suggereix que l’estabilitat marginal només és possible quan aquests planetes no estan inclinats.

“Hi havia molts reptes en provar la conjectura d’Arnold en el problema espacial de quatre cossos. El primer va ser per trobar un bon sistema de coordenades per entendre el problema. Al final vam poder fer servir les coordenades de Deprit, que en si mateix era un repte, gràcies a la seva definició complicada. A més, com sempre amb la mecànica celeste, els càlculs són llargs, però en aquest exemple possible (sovint no són possibles en absolut) analíticament al final.”

En segon lloc, han provat una versió local dèbil de la Conjectura de Herman, que tracta amb òrbites no recurrents en lloc d’òrbites errants. Aquesta versió és crucial per entendre les dinàmiques seculars corresponents i proporciona una nova perspectiva sobre les inestabilitats a llarg termini en els sistemes planetaris.  

Un aspecte fonamental d’aquestes demostracions és l’ús dels Hamiltonians. Aquests són funcions que descriuen l’energia total d’un sistema en termes de les seves coordenades i moments. Són molt útils, perquè permeten modelar el comportament dinàmic dels cossos celestes de manera precisa, i són essencials per entendre les interaccions complexes en sistemes amb múltiples cossos.

En aquest estudi, els Hamiltonians han permès analitzar les trajectòries i les inestabilitats dels planetes interiors. El hamiltonià que s’ha fet servir conté dos termes: el quadrupolar i l’octupolar, que donen compte de les forces gravitatòries entre els planetes.

“Són els noms del primer (quadrupolar) i segon (octupolar) termes del desenvolupament del hamiltonià secular, que governa l’evolució lenta de les òrbites el·líptiques dels planetes. Més generalment, el terme d’ordre n es diu 2^n-polar. Es diu així a conseqüència de la teoria d’electroestàtica, on és el terme dominant del potencial d’un sistema de 2^n partícules carregades ben triades.”

Esquema del problema dels quatre cossos: el Sol al centre i al seu voltant girant Mercuri, Venus i la Terra.

D’aquí s’ha pogut fer una anàlisi detallada dels rols dels tres planetes considerats:

• Planeta 3: té un semieix major més gran i contribueix més al moment angular total. Un lleu canvi en el seu moment angular provoca canvis grans en les òrbites dels planetes més propers al Sol.
• Planeta 1: Els seus elements orbitals varien més ràpidament que els del segon. La conservació aproximada del terme quadrupolar entre els dos primers planetes introdueix un acoblament entre l’excentricitat i la inclinació del primer planeta. Això pot conduir una òrbita inicialment gairebé circular a una excentricitat arbitràriament alta, i canviar una òrbita inicialment moderadament inclinada entre un moviment prògrad i retrògrad. (Com li passa a Mercuri)
• Planeta 2: la seva excentricitat o la seva inclinació respecte al planeta 3 varien arbitràriament.

Finalment, cal mencionar que un aspecte notable del mecanisme presentat és la seva robustesa. Si es considera un problema jeràrquic format per més de 4 cossos i aquests giren prou lluny, les conclusions es mantenen.

Aquest descobriment no només enriqueix el nostre enteniment de la mecànica celeste, sinó que també obre noves vies per a futures investigacions en dinàmica planetària.

“N’hi ha moltes. Primer, vam poder controlar trajectòries només per temps finit. Una extensió del resultat al cas de temps infinit seria molt interessant. Així mateix, cap a la completa conjectura d’Hermann, la construcció de dominis errants (i no només trajectòries individuals) seria un bon, però potencialment molt difícil, pas. D’altra banda, una altra àrea de recerca relacionada és la construcció de trajectòries difusives en sistemes solars més semblants al nostre, és a dir, sistemes sense aquesta gran inclinació entre els primers planetes.”