A l’inici de la pandèmia, en Joachim Kock (CRM-UAB) va començar a experimentar amb models epidemiològics. Inesperadament va fer un descobriment matemàtic que el va portar a solucionar un problema d’informàtica teòrica obert des dels anys vuitanta. El seu article amb el resultat acaba de ser publicat a la prestigiosa revista d’informàtica Journal of the ACM (Association for Computing Machinery).
La COVID i les xarxes de Petri
Un dels models matemàtics més simples i més utilitzats per a descriure epidèmies és el model SIR. Aquest model divideix la població en tres grups (o compartiments): les persones sanes (S), les persones infectades (I) i les persones recuperades i per tant immunes (R). El model estipula que hi ha dues transicions possibles entre els compartiments: la primera té lloc quan una persona sana es troba amb una d’infectada, i el resultat és que totes dues esdevenen infectades. L’altra transició té lloc quan una persona infectada es recupera.
Les relacions entre els compartiments i les transicions es poden visualitzar amb la figura següent, que és un exemple d’una xarxa de Petri:
Els cercles representen els compartiments, els quadrats representen les transicions possibles i les fletxes enllacen els compartiments que participen en les transicions. El fet que dues persones resultin infectades en la primera transició s’indica a la xarxa de Petri amb el pes 2 a la fletxa corresponent.
Per utilitzar la xarxa de Petri i predir l’evolució de contagis i recuperacions en una situació real, són necessaris dos paràmetres que indiquen amb quina taxa s’efectuen les transicions i també cal conèixer la distribució inicial de persones. De l’estimació d’aquests paràmetres se n’encarreguen investigadors dels camps de la medicina i de l’estadística. Llavors, a partir de la xarxa i dels paràmetres, s’escriuen unes equacions diferencials les solucions de les quals descriuen l’evolució dels elements de cada compartiment.
Les xarxes de Petri tenen el seu origen en la química. Van ser inventades per Carl Adam Petri el 1939 quan tenia només 13 anys. Originalment, els compartiments eren concentracions de substàncies químiques en una solució i les transicions eren reaccions químiques. Mica en mica les xarxes de Petri van anar trobant usos en altres camps de modelització d’evolucions, com ara l’evolució de poblacions d’animals en circuits ecològics. Quan s’utilitza el model SIR en epidemiologia, en realitat els compartiments S, I, i R s’interpreten com a concentracions, i el model descriu com evolucionen.
A l’inici de la pandèmia, quan J. Kock va començar a experimentar amb modelització de la COVID-19, volia tractar a les persones del model com a individus, enlloc de com a concentracions. Aquesta idea la va tenir a arrel dels seus coneixements en informàtica teòrica.
Computació concurrent i el problema de semàntiques
En informàtica teòrica les xarxes de Petri s’utilitzen d’una manera diferent, no amb paràmetres continus i equacions diferencials sinó amb eines de matemàtica discreta. Els compartiments i les transicions ja no simbolitzen concentracions i reaccions. En comptes d’això, els compartiments tenen un nombre petit de fitxes (tokens) que es mouen d’acord amb les transicions. Una transició pot disparar-se si hi ha fitxes suficients als compartiments d’entrada. Llavors aquestes fitxes es consumeixen i produeixen fitxes noves als compartiments de sortida.
Un dels usos principals de les xarxes de Petri en informàtica és com a model de computació concurrent, és a dir, descriure processos computacionals que concorren amb alguns recursos compartits (les fitxes). La teoria de la concurrència en aquest sentit tècnic també és molt important en l’estudi de cadenes de producció, distribució, logística o business modelling, entre d’altres. Hi ha molts aspectes de la computació concurrent que es poden descriure amb l’ajut de les xarxes de Petri i permeten estudiar, per exemple, si una xarxa pot funcionar indefinidament o si en algun moment haurà de parar per falta de recursos. Aquí pot continuar l’analogia amb les xarxes químiques: un procés químic, com ara una combustió, s’atura si li falta oxigen. O en el cas d’una pandèmia, s’acaba quan no hi ha més contaminats.
Per entendre el problema d’informàtica que ha resolt J. Kock cal introduir una mica de terminologia. Un estat d’una xarxa de Petri és una distribució determinada de fitxes als compartiments. Un procés d’una xarxa és essencialment passar d’un estat a un altre mitjançant disparaments de transicions. Bàsicament hi ha dues maneres de formalitzar tots aquests conceptes matemàticament amb el que s’anomena la semàntica operativa de les xarxes de Petri.
Les dues maneres són importants per a l’anàlisi de la computació concurrent ja que donen informació complementària. La primera consisteix en dir que un procés és una seqüència de disparaments. Això defineix un sistema algebraic a on es poden encadenar seqüències (si l’estat final d’una coincideix amb l’estat inicial de l’altre) per a formar seqüències més llargues. L’altra manera consisteix en considerar només la relació de causalitat en una configuració de disparaments, però sense que segueixin una seqüència necessàriament. Aquest últim és un enfocament geomètric, perquè la configuració de disparaments és formalment una funció d’un graf cap a la xarxa.
L’enfocament algebraic té avantatges per a realitzar càlculs, però no explica bé els aspectes de concurrència i de causalitat. En canvi l’enfocament geomètric explica amb claredat aquests termes però té el problema que no permet encadenar dos processos per a obtenir-ne un de més llarg ja que no hi ha una manera única d’enganxar dos grafs. Les dues semàntiques coexisteixen, però des dels anys vuitanta hi havia el problema obert de reconciliar-les. És un problema en el qual hi ha treballat molta gent, però a arrel d’uns articles publicats al voltant de l’any 2000 es considerava que el problema no podia tenir solució.
Un nou plantejament: aspectes categòrics i homotòpics
La idea de J. Kock va ser la de traçar a les persones individualment en les simulacions de la COVID-19, de manera semblant a l’ús de les xarxes de Petri en informàtica. “En retrospectiva, no va ser una bona idea des del punt de vista de l’epidemiologia”, diu J. Kock. Utilitzar models discrets no porta problemes però tampoc té avantatges respecte els models continus. Fent provatures, però, va descobrir que era impossible traçar les persones individualment, no pels grans nombres de la població si no perquè el formalisme de les xarxes de Petri no ho permet. Va trobar un obstrucció principal per a rastrejar fitxes individualitzades en una xarxa de Petri convencional i va resultar ser la mateixa obstrucció que impedia la reconciliació de les semàntiques algebraica i geomètrica.
J. Kock llavors es va embarcar en una revisió completa de la teoria de les xarxes de Petri: “Calia modificar la pròpia definició de xarxa de Petri, i la modificació té a veure amb els meus camps d’especialització, la teoria d’homotopia, la teoria de categories i la combinatòria. La modificació és molt lleugera, i pot semblar sorprenent que tingui un efecte tan gran: consisteix simplement en utilitzar fletxes paral·leles en comptes de pesos, és a dir, passar d’un nombre natural a un conjunt (de fletxes) amb aquest nombre d’elements. En teoria d’homotopia, aquest tipus de consideració és habitual.” El que faltava a les xarxes de Petri convencionals era l’accés a la informació de les simetries d’una xarxa.
Teoria d’homotopia i simetries
Originalment, la teoria d’homotopia estudiava les deformacions contínues d’objectes geomètrics, però poc a poc va esdevenir una teoria general de com objectes matemàtics es poden considerar equivalents sense ser iguals. És particularment important estudiar les situacions on dos objectes poden ser equivalents en més d’una manera, cosa que revela homotopies superiors.
Les simetries d’un objecte són maneres de ser equivalent a si mateix. Per exemple, un conjunt amb 5 elements té 5!=120 simetries, és a dir 120 maneres d’estar en bijecció amb si mateix. En canvi el nombre 5 no reflecteix aquesta estructura “superior”. Així, passar de nombres a conjunts ja és un pas vers la teoria d’homotopia.
Impacte multidisciplinari
La reconciliació de les dues semàntiques és important per a la teoria de les xarxes de Petri però no té gaire efecte en les aplicacions. De fet, és una característica important que la modificació de la definició per a gairebé totes les aplicacions sigui retrocompatible. Es poden seguir fent servir les xarxes de Petri com en els últims 30 anys.
Tot i així, el nou enfocament i la nova definició han portat a avantatges en els càlculs de les aplicacions. I, curiosament, aquests avantatges han acabat repercutint en el camp de l’epidemiologia. Patterson i els seus col·laboradors recentment han desenvolupat un mòdul de xarxes de Petri per al llenguatge de programació científica ‘Julia‘ fent servir la nova definició. El fet que aquesta definició sigui purament combinatòria (mentre que la tradicional amb els pesos és una descripció híbrida combinatòria-algebraica) ha facilitat la implementació i la interacció amb altres mòduls de Julia. Aquesta nova teoria l’han aplicat en la modelització de la COVID-19, per tant la recerca de J. Kock ha acabat tenint impacte també en línia amb la seva intenció original.
Aquest treball és un exemple de recerca interdisciplinari en varis aspectes. Fent proves per millorar els models epidemiològics, J. Kock ha acabat contribuint a la informàtica teòrica. Per altra banda, ha necessitat eines de camps diferents d’aquest per poder resoldre el problema, tals com la teoria de categories i la teoria d’homotopia. També li ha calgut tenir coneixements suficientment amplis per a poder imaginar noves interaccions entre els camps i identificar les eines adients. Finalment, ha acabat millorant models epidemiològics indirectament a través dels mòduls del llenguatge de programació Julia.
“Crec que hi ha vàries morals en aquesta història”, reflexiona J. Kock. “La primera, que les matemàtiques abstractes permeten transferir coneixements i experiència d’una ciència a una altra, a vegades de manera inesperada. Segona, que a vegades es busca una cosa i se n’acaba trobant una altra, per tant, pot ser productiu experimentar amb idees sense saber exactament a on porten.”
Referències:
Joachim Kock: Whole-grain Petri nets and processes, Journal of the ACM, vol. 70 (1), pp.1-58 (February 2023). DOI: https://doi.org/10.1145/3559103.
Altres enllaços:
Simuladors del model SIR: simulador 1 d’AiroDoctor, simulador 2 de GeoGebra.
Simulador de xarxes de Petri: https://apo.adrian-jagusch.de/#!/Sample%20Net

CRM Comm Team
Anna Drou | Pau Varela
CRMComm@crm.cat
Mathematics Beneath the Tarmac: CRM’s Role in Enhance Europe
The Centre de Recerca Matemàtica (CRM) participates in Enhance Europe. This European research project explores how solar heat from asphalt can be harvested and reused as thermal energy in cities. Through its Knowledge Transfer Unit, CRM leads the...
Talent jove al CRM: tres estudiants del programa Joves i Ciència fan estada a la Unitat de Transferència
D'esquerra a dreta: Lucía Escudero, Clara Castelló, Marc Homs-Dones, Roger Carrillo, Manel Mas, Maria Borrell i David Romero. Per segon any, la Unitat de Transferència del CRM ha acollit tres estudiants del programa Joves i Ciència de la Fundació...
BAMB! 2025: A School for Models, Minds, and the Messy Art of Behavior
BAMB! 2025 brought together thirty early-career researchers in Barcelona for an intense nine-day training on model-based analysis of behaviour. Organised by the Centre de Recerca Matemàtica with top international researchers, the school combined...
Barcelona, Stochastic Analysis and Quantitative Finance: Highlights of the 2025 Summer School
The 5th edition of the Barcelona Summer School on Stochastic Analysis and Quantitative Finance took place from July 21 to 25, 2025, at the Centre de Recerca Matemàtica (CRM), marking the revival of an academic tradition interrupted by the pandemic. The program offered...
Scientific vision and dialogue: the SAB meets at CRM to advise on future directions
The Scientific Advisory Board of the CRM met in July 2025 to advise on the centre’s scientific direction and review key aspects of its activity. In addition to looking at strategic plans and recruitment priorities, Board members took part in a...
Mathematics Illuminates Metabolic Mysteries: Understanding SDH-b Dysfunction in Pheochromocytoma
A mathematical model developed by researchers from the University of Birmingham, Queen Mary University of London, and the Centre de Recerca Matemàtica reveals how chromaffin cells adapt to the loss of SDH-b—a key metabolic enzyme subunit whose dysfunction is linked to...
ESGI 2025: Mathematics Meets Industry at the CRM
Over the course of five days, ESGI 2025 turned the CRM into a collaborative lab where mathematics tackled questions raised by industry. From safer autonomous driving systems to smart water resource allocation and the financial uncertainties of wind...
Quatre noves figures s’incorporen a l’exposició del CRM sobre dones matemàtiques
Aquest estiu, el CRM ha ampliat fins a tretze els roll ups de la seva exposició sobre dones matemàtiques, incorporant quatre noves figures del context espanyol i català. La mostra aprofita l’afluència de visitants al centre per visibilitzar...
From Real Problems to Mathematical Applications: A Chronicle of the XI Iberian Modeling Week
From July 7 to 11, the CRM became a hub for collaborative problem-solving during the XI Iberian Modeling Week, an international training initiative that brought together nearly 30 students from diverse academic backgrounds to tackle real-world...
The Way DNA Folds Might Help Explain How Cells Decide What to Become
A new study by researchers from the University of Edinburgh, Oxford, and CRM reveals how the 3D structure of DNA and a microscopic molecular tug-of-war shape the identity of every cell in our...
The CRM hosts a new edition of the Barcelona Introduction to Mathematical Research summer school
From June 30 to July 25, 2025, the CRM is organising a new edition of the Barcelona Introduction to Mathematical Research (BIMR), a summer school hosted at the Universitat Autònoma de Barcelona. The programme brings together 30 undergraduate...
Niclas Rieger defends his PhD thesis on data-driven climate analysis and marine pollution
Niclas Rieger defended his PhD thesis at the Institut de Ciències del Mar, culminating a research journey focused on extracting insights from both massive climate datasets and scarce environmental observations. Developed within the European CAFE...