Entrevistamos a Kristina Oganesyan, doctoranda del CRM

En esta entrevista, conversamos con Kristina Oganesyan, quien en marzo de 2024 defendió su tesis doctoral titulada “Three problems in harmonic analysis and approximation theory” bajo la dirección de Sergey Tikhonov. Kristina nos comparte su experiencia en el mundo de la investigación matemática, explorando problemas complejos en el análisis armónico y la teoría de la aproximación. A lo largo de la entrevista, nos revela no solo los desafíos y motivaciones detrás de su trabajo, sino también su trayectoria personal que la llevó a apasionarse por las matemáticas desde una edad temprana.

1. ¡Felicidades por la defensa de tu tesis! ¿De qué trata?

¡Gracias! Mi tesis aborda tres problemas matemáticos diferentes, cada uno relacionado con el análisis armónico y la teoría de la aproximación. Son tres partes que, aunque no están directamente conectadas entre sí, comparten un enfoque matemático común.

2. ¿Podrías explicarnos brevemente cada uno de estos problemas?

Claro. El primer problema se centra en la relación entre ciertas normas de una función y las de su serie de Fourier. Queremos entender cómo están relacionadas: en particular, si podemos garantizar que una norma de la función sea en algún sentido “parecida” con alguna otra norma de la serie de Fourier de la función. Una vez que tenemos una equivalencia de este tipo, podremos trabajar con la serie en lugar de con la función original, que a veces es más fácil y conveniente manipular, pasando del espacio de las funciones al espacio de las series y de vuelta sin perder mucho.

El segundo problema trata sobre polinomios trigonométricos y sus representaciones como polinomios algebraicos. La pregunta es si, dado un polinomio algebraico “p” y un número “n”, podemos encontrar un polinomio trigonométrico con la suma de los coeficientes tan pequeña como queramos que escrito en la forma algebraica tenga “n” primeros coeficientes los mismos que los de “p”. Este resultado nos permite cambiar un polinomio trigonométrico solo un poquito “matando” el número necesario de primeros coeficientes de la forma algebraica del polinomio.

El tercer problema se refiere a las particiones de enteros. Imagina que tienes un número natural y quieres escribirlo como la suma de otros números naturales en orden decreciente, por ejemplo, 15 = 7 + 3 + 3 + 2. Se puede imaginar cualquier partición, así como una escalera en un papel cuadrado: primero pones una fila de 7 cuadrados, después una de 3 encima, y así en delante.  El problema de “contar” cuántas particiones tiene un número fijo se ha estudiado extensamente en teoría de números. Mi trabajo explora este concepto a múltiples dimensiones: tienes un número fijo de cubos unitarios multidimensionales y te planteas montar un conjunto que llamamos “lower set”, que es como un “lego”. La restricción es básicamente como en la vida real: tus cubos no pueden quedarse sueltos en el aire y tienen que apoyarse en otros cubos. Si te doy, por ejemplo, 100.000 cubos, ¿cuántas formas hay de construir un conjunto de particiones multidimensionales siguiendo estas reglas?

3. ¿Cuál es la aplicación práctica de estos problemas?

El primer problema reduce normas de funciones a las normas de sus series de Fourier que a veces se pueden aproximar bastante bien usando solo, digamos, diez mil coeficientes. Entonces, resultados así permiten en la práctica calcular normas de funciones “buenas”.

Sobre el segundo problema, la verdad es que lo necesitaba para resolver otro problema abierto relacionado con la convergencia de series trigonométricas en dos dimensiones. Pero el resultado se quedó interesante en sí.

El último problema tiene motivaciones en la teoría de la aproximación. A menudo tiene sentido aproximar funciones mediante polinomios trigonométricos cuyas frecuencias, por razones naturales, tienen que estar en un “lower set”. Así que, es esencial entender cuántas formas posibles existen para estructurar un “lower set”.

4. ¿Cómo llegaste a esta temática para tu tesis? ¿Siempre te interesó el análisis armónico?

Llevo mucho tiempo trabajando en análisis armónico, aunque con problemas bastante diferentes. El primer problema es bastante clásico y surgió del trabajo de mi supervisor. El segundo problema surgió al intentar resolver una cuestión abierta: sabemos que en una dimensión, si una serie trigonométrica converge a cero casi en cada punto, los coeficientes deben ser todos cero. En dos dimensiones, lo mismo es cierto para la convergencia por rectángulos. Sin embargo, con la convergencia por cuadrados, aún no se ha resuelto. Mi objetivo era construir un contraejemplo de una serie con coeficientes no nulos que converja a cero casi en todo punto, pero no lo he logrado. El tercer problema le interesaba a mi supervisor y surgió básicamente de los problemas de la teoría de aproximación, y a mí me encantó porque siempre me gustaba mucho la combinatoria.

Realmente la dirección de mi investigación fue cambiando a medida que avanzaba en el doctorado y descubría nuevas áreas de interés.

5. ¿Y cuándo decidiste que querías estudiar matemáticas?

Desde los 11 años participé en olimpiadas matemáticas. Al principio pensaba que me dedicaría a la actuación, pero estoy contenta de que no fuera así. Después pensé que me dedicaría al movimiento de las olimpiadas, que tiene su lado deportivo, – si no como participante, entonces como un líder o miembro del jurado. Sin embargo, aunque hasta hoy tengo cierta implicación en las olimpiadas – siendo jurado de algunas de ellas y trabajando con los niños —, pero con el tiempo me di cuenta de que la investigación era lo que realmente me apasionaba.

6. ¿En qué momento durante la carrera decidiste dedicarte a la investigación?

No fue algo inmediato. Durante la carrera, como muchos, estaba enfocada en los exámenes y no pensaba mucho en el futuro. Fue en la parte final, cuando empecé a trabajar con mi supervisor en Moscú, cuando descubrí mi pasión por la investigación. Me dio un problema que hacía años estaba en abierto, que resolví en menos de una semana, y la emoción de ese momento me motivó a continuar.

7. Ahora que has defendido tu tesis, ¿cuáles son tus planes? ¿Te gustaría hacer un postdoc?

Sí, mi idea es hacer un postdoc. Sin embargo, es un reto encontrar un lugar que me interese profundamente. Me gusta mucho estar aquí en Barcelona, es como mi segunda casa, por lo que dejarlo todo y mudarme a otro lugar es algo que aún estoy considerando. [ACTUALMENTE, ESTÁ DE POSTDOC EN GHENT, BÉLGICA]

8. Durante tu carrera y doctorado, ¿te has encontrado en situaciones de bloqueo? ¿Cómo manejas la frustración?

Es bastante difícil. A veces puedes pasar meses atascada en un problema, lo que puede ser muy frustrante. En esos casos, trato de alternar entre varios problemas o tareas más administrativas para no sentir que estoy perdiendo el tiempo. Es importante tener al menos dos problemas en los que trabajar para no quedarte bloqueada.

9. ¿Hay algo que te gustaría compartir con aquellos interesados en las matemáticas, especialmente en tu campo? ¿Algún consejo que te hubiese gustado recibir?

Si acabas de terminar la escuela y tienes interés en las ciencias o las matemáticas, te animo a que lo intentes. Prueba cosas nuevas y sigue el camino que te apasiona. A veces, las oportunidades surgen de manera inesperada, como me ocurrió a mí con la oportunidad de venir a España. Si crees que es lo que quieres hacer, no dudes en intentarlo. En muchos casos habrá tiempo para cambiar de dirección si es necesario, pero lo importante es intentar.

¡Desde el CRM te deseamos toda la suerte en tus nuevos pasos!