Teoria de la valoració i algorisme OM
Registrarfins al 19 de gener de 2024
Dates: Del 15 al 19 de gener de 2024
Ubicació:
UPC Facultat de Matemàtiques i Estadística (Sala: S05 FME) Campus Diagonal Sud, Carrer de Pau Gargallo, 14, Distrito de Les Corts, 08028 Barcelona.
Centre de Recerca Matemàtica (Auditori) Accés principal a l'Edifici C, Campus UAB, carrer de l'Albareda, 08193 Bellaterra, Barcelona.
format: in situ
Itinerari:
- Dilluns 15: de 16h a 18h (AUDITORI CRM)
- Dimarts 16, dimecres 17 i dijous 18: de 9h a 11h / d'11'30h a 13'30h (FME-UPC)
- Divendres 19: de 10h a 12h (FME-UPC)
* La inscripció és gratuïta però obligatòria
introducció
La teoria de la valoració ofereix un marc comú per a preguntes rellevants en teoria algebraica de nombres i geometria algebraica.
Una qüestió fonamental en la teoria de la valoració és el problema d'extensió: donat un camp valorat (K, v) i un polinomi irreductible mònic f ∈ K[x], calculeu totes les extensions de v a l'extensió simple finita L = K[x]/( f).
Si K és un camp numèric i v és la valoració associada a un ideal primer p en l'anell de nombres enters de K, aleshores el problema d'extensió equival al càlcul de la descomposició ideal primer de p a l'anell de nombres enters de L.
Si C és una corba sobre un camp algebraicament tancat k de característica zero, L = k(C) és el seu camp de funció i K = k((p)) amb p un indeterminat, aleshores calcular les extensions de v és equivalent a la descomposició. de C en branques a l'origen i parametritzar aquestes branques mitjançant la sèrie de Puiseux.
L'objectiu d'aquest curs és analitzar una resolució computacional del problema d'extensió donat per l'algoritme OM, que porta el nom d'Ore, Mac Lane, Okutsu i Montes. Aquest algorisme utilitza una rutina de factorització polinòmica sobre extensions finites del camp de classe de residus k de la valoració inicial v com a ingredient essencial. Com a conseqüència, és especialment eficient quan k és un camp finit, com és el cas dels camps numèrics i les corbes sobre camps finits.
Es revisaran els avenços recents de la teoria Mac Lane–Vaquié de polinomis clau de valoracions sobre l'anell K[x]. Aquestes eines serviran per reformular l'algorisme d'una manera més elegant i completa. També es presentaran algunes idees per estendre l'algorisme més enllà del clàssic cas discret de primer rang.
Organitzadors
Maria Alberich (Universitat Politècnica de Catalunya)
Jordi Guàrdia (Universitat Politècnica de Catalunya – CRM)
Enric Nart (Universitat Autònoma de Barcelona)
Joaquim Roé (Universitat Autònoma de Barcelona)
PONENTS
Maria Alberich
Universitat Politècnica de Catalunya
La seva tesi doctoral va establir les bases per a la teoria moderna dels mapes plans de Cremona. Amb experiència en teoria de la singularitat des d'una perspectiva de geometria algebraica, se centra en la geometria local de singularitats, posant èmfasi en invariants topològics i analítics com els ideals multiplicadors i el polinomi de Bernstein-Sato, juntament amb un gran interès en la teoria de la valoració. A més, ha contribuït al modelatge matemàtic en robòtica.
Jordi Guàrdia
Universitat Politècnica de Catalunya
Jordi Guàrdia és especialista en Teoria de Nombres i adscrit al Seminari de Teoria de Nombres de Barcelona i al Grup de Recerca en Teoria de Nombres de la UPC. Va rebre la distinció Jaume Vicens Vives per la coordinació d'un projecte l'any 2022, i anteriorment, el Premi a la Qualitat de la Docència Universitària de la UPC. El 2013, va ser homenatjat pel seu treball sobre les "Arrels germàniques de les matemàtiques contemporànies".
Enric Nart
Universitat Autònoma de Barcelona
Enric Nart és membre del Seminari de Teoria de Nombres. Els seus projectes de recerca s'han centrat en àrees com la Geometria Aritmètica Algebraica, els Mètodes Combinatoris en Geometria Aritmètica i les aplicacions de la geometria aritmètica a la criptografia, amb més de 60 publicacions en aquests camps.
Sebastià Pauli
Universitat de Carolina del Nord Greensboro
La seva recerca és en teoria computacional de nombres. Està particularment interessat en algorismes per a camps locals i teoria de camps de classes computacionals mentre investiga les distribucions dels zeros de les derivades (fraccionals) de la funció Zeta de Riemann.
Adrien Poteaux
Universitat de Lille
Adrien Poteaux va completar el seu doctorat. a la Universitat de Llemotges, sota la direcció de Moulay Barkatou i Marc Rybowicz. La seva tesi doctoral, titulada “Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane”, va ser defensada el 15 d'octubre de 2008. Podeu accedir a la tesi i a les diapositives de presentació per a més informació.
Joaquim Roé
Universitat Autònoma de Barcelona
Els seus principals interessos de recerca són la interpolació multivariant, les singularitats i les propietats valoratives de les corbes algebraiques. Va contribuir a l'estudi de la conjectura de Nagata i la conjectura de Segre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz, de les degeneracions de singularitats en dimensions baixes, l'esquema de Hilbert i les constants de Seshadri. Recentment s'ha interessat pels espais de valoració i la geometria analítica no arquimèdia.
Martin Weimann
Universitat de Caen-Normandia
El viatge acadèmic de Martin Weimann inclou un doctorat. en Matemàtiques Pures de la Universitat de Bordeus I, al voltant del càlcul de residus en varietats tòriques complexes sota la supervisió d'Alain Yger. Actualment treballa a la Universitat de Caen Normandie. Els seus projectes de recerca se centren en àrees relacionades amb la geometria algebraica efectiva, la factorització de polinomis sobre camps globals i locals, o aspectes computacionals de corbes algebraiques.
CONTINGUT
Sessions:
1. Antecedents històrics. (2 hores: Alberich i Guàrdia)
- Desingularització de la corba (Newton, Puiseux).
- Descomposició ideal primer en camps numèrics (Kummer, Dedekind, Ore).
- La teoria de la valoració com a marc comú (Hensel, Krull, Mac Lane).
2-3. Teoria de la valoració. (4 hores: Weimann i Roé)
- Valors absoluts i finalització.
- Ampliació de valoracions.
- La desigualtat fonamental.
- La desigualtat d'Abhyankar.
- Camps valorats Henselian.
4-5. Teoria de Mac Lane-Vaquié. (4 hores: Nart & Alberich)
- Àlgebra graduada d'una valoració.
- Polinomis clau de Mac Lane-Vaquié.
- Operadors polinomials residuals.
- Augment de valoracions.
- Cadenes Mac Lane-Vaquié.
- Caracterització del defecte.
- Polinomis clau abstractes i marcs Okutsu.
6-7-8. Aspectes computacionals. (6 hores: Guàrdia, Pauli, Poteaux)
- Polígons de Newton.
- L'algorisme OM.
- Arrels aproximades.
- Aplicacions aritmètiques i geomètriques.
- Problemes de complexitat.
REFERÈNCIES
[1] M. Alberich-Carramiñana, Alberto F. Boix, J. Fernández, J. Guàrdia, E. Nart, J. Roé, De polinomis clau límit, Illin. J. Matemàtiques. 65, núm. 1 (2021), 201–229.
[2] M. Alberich-Carramiñana, J. Guàrdia, E. Nart, J. Roé, Arbres valoratius sobre camps valorats, J. Alg. 614 (2023), 71–114.
[3] M. Alberich-Carramiñana, J. Guàrdia, E. Nart, J. Roé, Marcs d'Okutsu de polinomis irreductibles sobre camps henselians, arXiv:2111.02811 [matemàtiques.AC].
[4] M. Alberich-Carramiñana, J. Guàrdia, E. Nart, A. Poteaux, J. Roé, M. Weimann, Factorització polinòmica sobre camps henselians, arXiv:2207.02139 [matemàtiques.AC].
[5] J.-D. Bauch, Càlcul de gènere de camps de funció global, J. Symb. Comp. 66 (2015), 8–20.
[6] J.-D. Bauch, Càlcul de bases integrals, J. Número Th. 165 (2016), 382—407.
[7] J.-D. Bauch, E. Nart, HD Stainsby, Complexitat de les factoritzacions OM de polinomis sobre camps locals, LMS Journal of Computation and Mathematics 16 (2013), 139–171.
[8] E. Casas-Alvero, Singularitats de les corbes planes, LMS Lecture Note Series 276 (2000), Cambridge University Press.
[9] J. Decaup, W. Mahboub, M. Spivakovsky, Polinomis clau abstractes i teoremes de comparació amb els polinomis clau de MacLane-Vaquié, Illinois J. Math. 62, número 1-4 (2018), 253–270.
[10] O. Endler, Teoria de la valoració, Universitex, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1972.
[11] AJ Engler, A. Prestel, Camps valorats, Springer, Berlín, 2005.
[12] J. Guàrdia, J. Montes, E. Nart, Invariants d'Okutsu i polígons de Newton, Acta Arith. 145 (2010), 83–108.
[13] J. Guàrdia, J. Montes, E. Nart, Polígons de Newton superiors en el càlcul de discriminants i descomposició ideal primer en camps numèrics, J. Théor. Nombres Bordeus 23 (2011), núm. 3, 667–696.
[14] J. Guàrdia, J. Montes, E. Nart, Polígons de Newton d'ordre superior en teoria algebraica de nombres, Trans. Amer. Matemàtiques. Soc. 364 (2012), núm. 1, 361–416.
[15] J. Guàrdia, J. Montes, E. Nart, Un nou enfocament computacional a la teoria ideal en camps de nombres, Trobat. Informàtica. Matemàtiques. 13 (2013), 729–762.
[16] J. Guàrdia, J. Montes, E. Nart, Polígons de Newton superiors i bases integrals, Journal of Number Theory 147 (2015), 549–589.
[17] J. Guàrdia, E. Nart, S. Pauli, Elevació i factorització d'un sol factor de polinomis sobre camps locals, Journal of Symbolic Computation 47 (2012), 1318–1346.
[18] J. Guàrdia, E. Nart, Genètica de polinomis sobre camps locals, en aritmètica, geometria i teoria de codificació, Contemp. Matemàtiques. vol. 637 (2015), 207-241.
[19] FJ Herrera Govantes, MA Olalla Acosta, M. Spivakovsky, Valoracions en extensions de camps algebraics, Journal of Algebra 312 (2007), núm. 2, 1033–1074.
[20] FJ Herrera Govantes, W. Mahboub, MA Olalla Acosta, M. Spivakovsky, Polinomis clau per a extensions simples de camps valorats, preimpressió, arXiv:1406.0657v4 [math.AG], 2018.
[21] F.-V. Kuhlmann, Teoria de la valoració, llibre en preparació. Versió preliminar de diversos capítols disponible a http://math.usask.ca/~fvk/Fvkbook.htm
[22] F.-V. Kuhlmann, Grups de valors, camps de residus i llocs dolents dels camps de funció racional, Trans. Amer. Matemàtiques. Soc. 356 (2004), núm. 11, 4559–4660.
[23] F.-V. Kuhlmann, El defecte, a: Àlgebra commutativa: perspectives noetherianes i no noetherianes, Marco Fontana, Salah-Eddine Kabbaj, Bruce Olberding i Irena Swanson (eds.), Springer 2011.
[24] W. Mahboub, Polinomis clau, Journal of Pure and Applied Algebra 217 (2013), núm. 6, 989–1006.
[25] S. MacLane, Una construcció per a valors absoluts en anells polinomials, Trans. Amer. Matemàtiques. Soc. 40 (1936), pàgs. 363–395.
[26] S. MacLane, Una construcció d'ideals primers com a valors absoluts d'un camp algebraic, Duke Mathematical Journal 2 (1936), pàgs. 492–510.
[27] J. Montes, Polígons de Newton d'ordre superior i aplicacions aritmètiques, Tesi Doctoral, Universitat de Barcelona, 1999.
[28] N. Moraes de Oliveira, E. Nart, Polinomis sense defecte sobre camps henselians i valoracions inductives, J. Àlgebra, 541 (2020), 270–307.
[29] N. Moraes de Oliveira, E. Nart, Càlcul d'operadors polinomials residuals de valoracions inductives, JPAA 225-9 (2021), 106668.
[30] E. Nart, Càlcul local de diferents i discriminants, Matemàtiques. Comp. 83 (2014), 1513–1534.
[31] E. Nart, Polinomis clau sobre camps valorats, Publ. Estora. 64 (2020), 195–232.
[32] E. Nart, Cadenes de valoracions MacLane-Vaquié sobre un anell polinomial, Pacific J. Math. 311-1 (2021), 165–195.
[33] J. Novacoski, M. Spivakovsky, Polinomis clau i seqüències pseudo-convergents, J. Àlgebra 495 (2018), 199–219.
[34] J. Novacoski, Polinomis clau i parells mínims, J. Àlgebra 523 (2019), 1–14.
[35] J. Novacoski, En polinomis clau de MacLane–Vaquié, JPAA 225 (2021), 106644.
[36] K. Okutsu, Construcció de la base integral I, II, Proc. Japó Acad. Ser. A 58 (1982), 47–49, 87–89.
[37] Ø. mineral, Zur Theorie der algebraischen K¨orper, Acta Math. 44 (1923), pàgs. 219–314.
[38] Ø. mineral, Newtonsche Polygone in der Theorie der algebraischen K¨orper, Matemàtiques. Ann. 99 (1928), 84–117.
[39] P. Popescu-Pampu, Arrels aproximades, Fields Inst. Com. 33 (2002), 1–37.
[40] A. Poteaux, M. Weimann, Una prova d'irreductibilitat quasi lineal en K[[x]][y], J. Comput. Comp. 31 (2022), núm. 6, 1–52.
[41] A. Poteaux, M. Weimann, Factorització polinomial local: millora de l'algorisme de Montes, Proceedings of the 2022 ACM on International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation ISSAC'22 (2022), 149–158.
[42] HD Stainsby, Bases triangulars de tancaments integrals, J. Symb. Comp. 87 (2018) 140–175.
[43] M. Vaquié, Famille admesa associada a una valoració de K[x], Singularités Franco-Japonaises, Séminaires et Congrès 10, SMF, París (2005), Actes du colloque franco-japonais, juliol 2002, édité par Jean-Paul Brasselet et Tatsuo Suwa, 391–428.
[44] M. Vaquié, Extensió d'una valoració, Trans. Amer. Matemàtiques. Soc. 359 (2007), núm. 7, 3439–3481.
[45] M. Vaquié, Família essencial de valoracions i per defecte d'una extensió, Journal of Algebra 311 (2007), núm. 2, 859–876.
[46] M. Vaquié, Extensions de valoració i polígon de Newton, Annales de l'Institut Fourier (Grenoble) 58 (2008), núm. 7, 2503–2541.
[47] M. Vaquié, Valoració augmentada i parell mínima, preimpressió 2020, hal-02565309.
LLISTA DE PARTICIPANTS
| Nom | Institució |
|---|---|
| Javier Rivera Romeu | Reed College |
| Martín Alejandro Sombra | Universitat de Barcelona |
| Enric Florit Zacarías | Universitat de Barcelona |
| Francesc Bars Cortina | Universitat Autònoma de Barcelona |
| Maria Morella | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Francesc Pedret | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Ana Belén de Felipe | Universitat Politècnica de Catalunya |
| José Antonio Castro Moreno | Universitat Politècnica de Catalunya |
| María de Leyva Elola-Olaso | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Franco Coltraro | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Xavier Povill | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Roger Gómez López | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Ilario Bonacina | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Elena Isasi Theus | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Josep Sans | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Kamil Przybyszewski | Universitat Politècnica de Catalunya |
| Caio Henrique Silva de Souza | Universitat Federal de São Carlos |
| Javier Guillán Rial | Centre de Recerca Matemàtica |
 |
Per a consultes sobre aquest esdeveniment, poseu-vos en contacte amb la Coordinadora d'Esdeveniments Científics Sra. Núria Hernández al nhernandez@crm.cat
|