abstracte

En la presa de decisions perceptives, la informació sensorial s'acumula al llarg del temps per arribar a una decisió categòrica. Aquest procés d'acumulació pot seguir diferents estratègies, on certs moments de l'estímul tenen més pes en la decisió que d'altres. Aquestes estratègies de ponderació temporal s'han vinculat a diversos mecanismes subjacents, com ara l'acumulació limitada, que prioritza la informació dels estímuls primerencs (ponderació de primacia); la integració perfecta, que tracta tota la informació dels estímuls de manera uniforme (ponderació uniforme); i la integració amb fuites, que només afavoreix la part posterior de l'estímul (ponderació de recentitat). A més, l'evidència experimental suggereix que tant els primats com els humans poden ajustar dinàmicament la seva estratègia de ponderació temporal en resposta a les estadístiques d'estímuls, prioritzant la informació d'estímuls posterior o primerenca segons ho requereixi la tasca. No obstant això, els mecanismes proposats no aconsegueixen explicar aquesta flexibilitat, ja que cap pot generar tota la diversitat de patrons de ponderació temporal observats experimentalment. En aquesta tesi, combinem l'anàlisi de dades, la modelització computacional i les xarxes neuronals recurrents per desenvolupar un marc complet que proposa un únic mecanisme que pot capturar tota la flexibilitat en els patrons de ponderació temporal, caracteritzar els correlats conductuals i neuronals d'aquesta flexibilitat i examinar l'optimalitat d'aquests patrons. Primer, presentem evidència experimental de com la flexibilitat de ponderació temporal es representa en el comportament tant d'humans com de macacos. Vam trobar que aquesta flexibilitat s'adquireix mitjançant l'exposició a les estadístiques d'estímuls, i l'estat de vigilància previ a la presentació de l'estímul té un impacte significatiu en la realització eficaç de la tasca. A més, vam analitzar els enregistraments temporals mitjans (MT) de macacos que es comporten i vam descobrir que, si bé la taxa de tret mitjana de la població neuronal es manté estable malgrat els canvis en les estadístiques d'estímuls, l'activitat relacionada amb l'estímul i l'elecció depenen de les estadístiques d'estímuls de manera no trivial. En segon lloc, vam desenvolupar un model de taxa de tret de dues àrees que consisteix en un circuit sensorial i un circuit de decisió, connectats de baix a dalt i de dalt a baix, amb un senyal de modulació que controla la dinàmica de l'atracció del circuit de decisió. Aquest model replica amb èxit la flexibilitat observada experimentalment en la ponderació temporal. Mecànicament, el senyal de modulació inicia el procés de presa de decisions empenyent la xarxa a un règim competitiu i modula la dinàmica de decisió accelerant o retardant l'elecció, de manera similar a un senyal d'urgència. Controlant la iniciació de la integració de l'evidència i alterant la forma i/o la durada del senyal, vam poder generar una gamma més àmplia de patrons de ponderació temporal, que s'estenen més enllà del que s'ha observat experimentalment. En tercer lloc, utilitzem Xarxes Neuronals Recurrents (RNN) per explorar si els patrons de ponderació temporal observats en l'evidència experimental són òptims. Les estratègies de ponderació no uniforme emergeixen com a adaptacions òptimes al soroll intern quan els RNN s'especialitzen en una única condició d'estímul. Aquests patrons són robustos a través de les xarxes, amb dinàmiques de baixa o alta dimensió específiques de la tasca. Quan es va entrenar en una configuració seqüencial similar a la dels macacos, l'RNN va adoptar una estratègia de ponderació temporal rígida esbiaixada cap a la condició d'entrenament inicial, sense adaptar-se a les noves demandes de la tasca. Per superar aquesta limitació, vam introduir senyals contextuals que representen les condicions de la tasca que van permetre l'entrenament simultani en totes les condicions en una sola RNN. Aquest enfocament va permetre a la RNN mostrar una flexibilitat comparable a les xarxes entrenades independentment (alineant la ponderació temporal amb les estadístiques d'estímuls), un aprenentatge més ràpid i una generalització a tasques noves. Aquests resultats suggereixen que els senyals contextuals poden ser el mecanisme subjacent al canvi de context observat en dades experimentals.

Director(s) de tesi: Klaus Wimmer

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Donat un sistema dinàmic, és important identificar els objectes invariants que organitzen el comportament a llarg termini, així com les seves connexions dinàmiques. Tant en teoria com en aplicacions. L'objectiu d'aquesta tesi és avançar en el desenvolupament de tècniques de tipus Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) dins del marc del mètode de parametrització i la seva aplicació a problemes de mecànica celeste. Hem desenvolupat esquemes iteratius KAM per al càlcul de torus parcialment hiperbòlics invariants i els seus fibrats invariants en sistemes hamiltonians quasiperiòdics. Busquem toros i feixos invariants sota mapes de temps-1 adequades, que ens permeten reduir la dimensió del toro a calcular en una unitat. El cost computacional de manipular funcions creix exponencialment amb el nombre de variables en la parametrització. Per tant, la reducció mitjançant mapes de flux és computacionalment avantatjosa, tot i que requereix integració numèrica. Tanmateix, aquesta integració es pot paral·lelitzar fàcilment. Si la parametrització s'aproxima amb N coeficients de Fourier, el pas iteratiu requereix O(N) d'emmagatzematge i O(N log N) operacions, a diferència dels mètodes newtonians estàndard, que necessiten O(N^2) d'emmagatzematge i O(N^3) operacions. Aquest guany d'eficiència prové de les propietats geomètriques de l'espai de fase (és a dir, la geometria simplèctica), els sistemes (precisió simplèctica), el tor (isotropia, lagrangianitat), així com les propietats dinàmiques (reductibilitat). En particular, la reducibilitat de la dinàmica linealitzada al voltant del tor a una matriu triangular per blocs es coneix com a reducibilitat automàtica i és una propietat important tant en teoria com en aplicacions. Els algoritmes s'han implementat i aplicat al Problema Restringit El·líptic de Tres Cossos (ERTBP) per calcular un conjunt extens de torus invariants tridimensionals no ressonants juntament amb els seus fibrats invariants. A partir d'aquests resultats, hem obtingut un teorema a posteriori per a toros parcialment hiperbòlics invariants i els seus fibrats invariants de rang 1 en sistemes hamiltonians quasiperiòdics. L'enfocament seguit permet aplicar el teorema a sistemes hamiltonians autònoms, periòdics i quasiperiòdics, i constitueix la demostració de la convergència de mètodes basats en mapes de flux. A més, obtenim simultàniament fibrats estables i inestables, proporcionant una vista geomètrica clara de l'espai tangent al torus. La demostració es basa en propietats geomètriques de naturalesa simplèctica, que es compleixen aproximadament quan les parametritzacions satisfan aproximadament les seves equacions d'invariància. Hem obtingut lemes geomètrics que controlen l'error en el procés iteratiu KAM. El nou error en les equacions d'invariància es controla amb constants explícites, cosa que requereix un tractament acurat de la pèrdua d'analiticitat a cada pas iteratiu. La demostració conclou obtenint les condicions de convergència per al procés iteratiu KAM. El teorema a posteriori obtingut permet dur a terme demostracions assistides per ordinador. Els toros parcialment hiperbòlics tenen varietats estables i inestables associades, bigotis, on les dinàmiques convergeixen exponencialment ràpidament en el futur i en el passat, respectivament. Els fibrats estables i inestables amb les aproximacions lineals d'aquestes varietats. També hem desenvolupat esquemes KAM per calcular expansions de Fourier-Taylor d'ordre superior de bigotis en sistemes hamiltonians autònoms i quasiperiòdics. A diferència dels mètodes d'ordre per ordre, que primer calculen el tor i els seus feixos abans de calcular els bigotis ordre per ordre, l'enfocament seguit calcula simultàniament tant el tor com els bigotis utilitzant el mateix mètode iteratiu KAM. Aquest marc unificat millora l'eficiència del càlcul de bigotis duplicant el nombre de termes correctes en l'expansió a cada iteració. Els algoritmes s'han aplicat al càlcul d'expansions d'ordre superior de torus invariants no ressonants parcialment hiperbòlics en problemes circulars i el·líptics de tres cossos amb restriccions.

Director(s) de tesi: Alejandro Haro Provinciale i José María Mondelo González

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

La teoria de grups de transformacions finites investiga les simetries finites d'objectes topològics, com ara varietats o complexos CW. En aquesta tesi, ens centrem en les accions sobre varietats topològiques tancades i adoptem el següent enfocament: en comptes d'estudiar directament les propietats d'acció d'un grup finit G sobre una varietat M, ens centrem en les propietats d'acció restringides a certs subgrups H d'índex limitat. Diversos problemes s'alineen amb aquesta filosofia, com ara determinar si el grup d'homeomorfismes d'una varietat és de Jordan, calcular el grau discret de simetria d'una varietat, determinar si una varietat és quasiasimètrica i estudiar el nombre i la mida dels subgrups d'isotropia per a accions de grup finites en varietats. A la primera part de la tesi, proporcionem solucions a aquests problemes per a dues classes generals de varietats, és a dir: (1) Varietats tancades, connexes i asfèriques, el grup fonamental de les quals té un grup d'automorfismes externs de Minkowski (un grup G és de Minkowski si existeix una constant C tal que cada subgrup finit H de G té ordre com a màxim C). (2) Varietats tancades, connexes i orientables que admeten una aplicació de grau diferent de zero a una varietat nil. Demostrem que el grup d'automorfismes externs d'una xarxa d'un grup de Lie connectat és Minkowski, la qual cosa ens permet aplicar els nostres resultats a varietats tancades asfèriques localment homogènies. A més, proporcionem els primers exemples coneguts de varietats M i M' amb anells de cohomologia isomòrfics tals que Homeo(M) és Jordan però Homeo(M') no ho és. Establim dos resultats de rigidesa per al grau discret de simetria: si M és una varietat asfèrica, tancada i connexa, i el grup d'automorfismes externs del grup fonamental de M és de Minkowski, o si M admet una aplicació de grau diferent de zero a una varietat nil i el seu grup fonamental és virtualment resoluble, aleshores M és homeomorfa a un tor si el seu grau discret de simetria és igual a la dimensió de M. A la segona part, refinem el concepte d'accions de grup per explorar amb més profunditat la rigidesa topològica i de cohomologia de varietats tancades i connectades. Aquest marc ens permet analitzar amb més detall l'estructura de les varietats asfèriques tancades i les que admeten una aplicació de grau diferent de zero a una varietat nilmanifold. Definim nous invariants, com ara la longitud iterada d'una varietat, que està estretament relacionada amb els seus autorecobriments, i introduïm una versió refinada del grau discret de simetria, anomenada grau discret de simetria iterativa. Demostrem que si M és una varietat tancada i orientada que admet una aplicació de grau diferent de zero a una varietat nil·lífera de classe de nilpotència 2, i ambdues varietats tenen el mateix grau discret de simetria iterada, aleshores la cohomologia racional de M és isomorfa a la de la varietat nil·lífera. A més, si el grup fonamental de M és virtualment resoluble, aleshores M és homeomorf a la nilvarietat. També demostrem que si M és una varietat asfèrica tancada localment homogènia amb un grau discret de simetria iterada igual a la seva dimensió, aleshores M és homeomorfa a una varietat nilpotència de classe 2.

Director(s) de tesi: Ignasi Mundet i Riera

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi explora el comportament de contorn de les solucions d'equacions diferencials parcials el·líptiques en dominis no llisos.

Director(s) de tesi: Xavier Tolsa Domènech

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

 Aquesta tesi caracteritza els conjunts compactes eliminables per a solucions d'equacions calòriques fraccionàries que satisfan certes condicions de regularitat. Específicament, introduïm capacitats calòriques fraccionàries per mesurar si certs conjunts compactes, on la funció no satisfà a priori l'equació, encara la poden admetre com a solució. Aquest estudi es duu a terme sota la suposició que la solució satisfà condicions de regularitat del tipus BMO, Hölder o Lipschitz, totes definides en un context parabòlic fraccionari. A més, en alguns casos, aconseguim identificar aquestes capacitats amb contingut parabòlic de Hausdorff. També proporcionem estimacions i valors exactes per a les capacitats dels conjunts de Cantor, utilitzant fórmules que incorporen informació específica sobre la seva geometria, la dimensió de l'espai ambient i el paràmetre fraccionari de l'equació de difusió. Finalment, abordem el problema aparentment simple de determinar la capacitat 1/2-calòrica d'un rectangle en un context planar (dimensió 2). Per a una variant simètrica d'aquesta capacitat, obtenim una fórmula que descriu explícitament la seva naturalesa anisotròpica, revelant un comportament essencialment diferent en comparació amb altres capacitats conegudes en el pla, com ara les analítiques o newtonianes. A més, en el procés d'estudi d'aquest problema, demostrem la semi-aditivitat de la capacitat 1/2-calòrica simètrica en el pla.

Director(s) de tesi: Laura Prat Baiget & Joan Mateu Bennassar

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi se centra principalment en l'estudi del problema de valor de frontera de Dirichlet (harmònic i el·líptic). El capítol final tracta un problema independent en la teoria de la mesura geomètrica: l'estructura del suport de mesures localment uniformes i localment uniformement distribuïdes. En resum, donat un domini (prou regular), el problema de valor de frontera de Dirichlet (harmònic) consisteix a trobar una extensió harmònica d'una funció determinada definida a la frontera. Per a funcions contínues a la frontera, la solució es determina per la mesura harmònica: l'única mesura de probabilitat de Radon que reconstrueix l'extensió harmònica mitjançant la integració de la funció de frontera. El problema de valor de frontera el·líptic de Dirichlet i la mesura el·líptica es defineixen de manera similar, amb el laplacià substituït per un operador de segon ordre en forma de divergència amb una matriu uniformement el·líptica. Els tres primers capítols investiguen la dimensió de Hausdorff de mesures el·líptiques en dominis planars. El capítol I presenta material preliminar i estableix resultats fonamentals pel que fa a la mesura el·líptica. El capítol II se centra en dos casos particulars: matrius simètriques amb determinant 1 i dominis CDC. Mitjançant l'aplicació d'aplicacions quasiconformes, derivem nous límits per a la dimensió de Hausdorff que depenen únicament de la constant d'el·lipticitat. Per a matrius amb supòsits de regularitat addicionals, establim estimacions dimensionals més refinades. Aquests resultats estenen el treball clàssic de Makarov, Jones i Wolff a l'entorn el·líptic, alhora que recuperen els seus cèlebres teoremes en el cas harmònic. Al capítol III, estenem el teorema de Wolff a mesures el·líptiques associades amb matrius de Lipschitz en dominis plans de Reifenberg, demostrant que aquestes mesures tenen una longitud $\sigma$-finita sempre que la planitud sigui prou petita en funció de l'el·lipticitat de la matriu. El capítol IV aborda la resolubilitat $L^2$ del problema de valor de frontera de Dirichlet (harmònic) per a dominis amb frontera localment plana no limitada. És a dir, no només establim l'existència d'una extensió harmònica per a dades de contorn a $L^2$, sinó que també demostrem que la norma $L^2$ de la funció màxima no tangencial d'aquesta extensió està controlada per la norma $L^2$ de les dades de contorn. Seguint els enfocaments clàssics, la nostra anàlisi es basa en tècniques de potencial de capes. Ampliem aquests resultats a la configuració $L^p$ per a $p$ en un rang dependent de la dimensió i establim la resolubilitat $L^{p^\prime}$ per al problema de Neumann corresponent. La tesi conclou amb el capítol V, sobre mesures localment uniformes i localment uniformement distribuïdes. Tot i que l'estructura de les mesures uniformes (globalment) i distribuïdes uniformement (globalment) es coneix bé a través del treball de Kirchheim, Kowalski i Preiss (tot i que encara hi ha alguns problemes oberts), els anàlegs locals encara no estan completament caracteritzats. Demostrem que per a mesures localment uniformes, la curvatura mitjana nul·la (definida gairebé a tot arreu del suport en codimensió 1) en un punt força la planitud del component connectat que conté el punt. A més, demostrem que per a mesures distribuïdes localment uniformement, la planitud local d'un component connectat implica la seva planitud global. Aquests dos resultats es presenten en qualsevol codimensió. Aquests semblen ser un dels primers resultats d'una possible extensió (si és certa) del teorema de Kirchheim i Preiss sobre la naturalesa real-analítica de les mesures distribuïdes uniformement a nivell global a aquest entorn local. A més, mostrem que si una mesura localment uniforme satisfà una condició de creixement estàndard addicional en boles centrades en un veïnatge d'una component connectada del seu suport, aleshores aquesta component connectada ha de ser una varietat lineal.

Director(s) de tesi: Martí Prats Soler & Xavier Tolsa Domènech

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

El problema planar circular restringit de tres cossos (PCRTBP) modela el moviment d'un cos sense massa sota l'atracció d'altres dos cossos, els primaris, que descriuen òrbites circulars al voltant del seu centre de massa comú. En un sistema de coordenades adequat, aquest és un sistema hamiltonià de dos graus de llibertat. Les òrbites d'aquest sistema es defineixen per a tot el temps (futur o passat) o finalment van a col·lisió amb un dels primaris. Per a òrbites definides per a tot el temps, Chazy va proporcionar una classificació de tots els possibles comportaments asimptòtics, generalment anomenats moviments finals. Considerant una relació de masses prou petita entre els primaris, analitzem la interacció entre les òrbites de col·lisió i diversos moviments finals i construïm diversos tipus de dinàmiques. Mostrem que es poden crear òrbites corresponents a qualsevol combinació de moviments finals passats i futurs per passar arbitràriament a prop de qualsevol dels primaris. En particular, també establim moviments oscil·latoris que s'acumulen a col·lisions. És a dir, moviments oscil·latoris tant en posició com en velocitat, és a dir, que a mesura que el temps tendeix a l'infinit, el límit superior de la posició i la velocitat és infinit mentre que el límit inferior de la distància a una de les primàries és zero. A més, construïm òrbites d'ejecció-col·lisió arbitràriament grans (òrbites que experimenten col·lisió tant en temps passats com futurs) i òrbites periòdiques que són arbitràriament grans i s'acosten arbitràriament a qualsevol de les primàries. Combinant aquests resultats, construïm òrbites d'ejecció-col·lisió que connecten ambdues primàries.

Director(s) de tesi: M. Teresa Martínez-Seara Alonso & Marcel Guàrida Munarriz

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi presenta contribucions a les àrees de divisió exponencialment petita de separatius i difusió d'Arnold en el context de la teoria de pertorbacions en sistemes hamiltonians. En el primer capítol s'estudia el problema de la divisió exponencialment petita en sistemes hamiltonians planars d'un grau i mig de llibertat amb connexions cromoclíniques sota l'efecte d'una pertorbació periòdica ràpida. La literatura proporciona diferents fórmules asimptòtiques per mesurar la distància entre les varietats invariants en aquest context. En molts casos, aquestes fórmules consisteixen en una validació de l'aproximació clàssica de Melnikov. En altres, cal donar una alternativa més sofisticada de primer ordre de la divisió basada en el que s'anomena equació interna. En ambdós casos, la validesa de les fórmules depèn de certes condicions de no-degeneració que garanteixen que el terme principal no s'anul·li. La qüestió que abordem és com podem descriure la divisió quan no es compleixen les condicions de no degeneració en una família de sistemes planars. El nostre resultat mostra que l'ordre de la divisió canvia sota les condicions de degeneració, però l'equació interna continua sent vàlida com a eina per descriure la divisió. Després d'establir els resultats generals, estudiem amb més profunditat el cas del pèndol clàssic, que al seu torn està motivat per una possible relació amb el model de difusió d'Arnold. Per al pèndol introduïm una fórmula explícita per a la distància de divisió en un cas simple de la pertorbació i il·lustrem un cas més complex mitjançant una exploració numèrica. El segon capítol se centra en el model generalitzat d'Arnold. El model original es va utilitzar per donar, per primera vegada, un exemple d'inestabilitat global en un sistema gairebé integrable sota la hipòtesi que un dels paràmetres pertorbatius és exponencialment petit respecte a l'altre. En particular, Arnold va demostrar que existeixen òrbites que deriven en una de les accions seguint una cadena de tors invariants a la ressonància I_1=0. En un resultat posterior, D. Sauzin va proposar una versió generalitzada que estén el nombre de dimensions i generalitza la dependència temporal de la pertorbació. L'autor va estudiar el caràcter exponencialment petit de la divisió dels tors de la família esmentada anteriorment i va donar límits exponencialment petits precisos. En aquest treball revisitem el model d'Arnold generalitzat —restringit a dos graus i mig de llibertat— amb l'objectiu de centrar-nos en les connexions heteroclíniques entre tors invariants al voltant de ressonàncies dobles. El nostre resultat dóna condicions explícites que asseguren l'existència d'una família de connexions heteroclíniques de longitud algebraica en els paràmetres pertorbatius. En particular, mostrem que, per a una doble ressonància (0,p/q), l'existència de dues famílies de connexions heteroclíniques de longitud d ~ εq exp(-q) sota la restricció n μ ~ √ε. La constant que determina exactament les restriccions sobre els paràmetres i la longitud de les connexions depèn fortament de la ressonància considerada. També incloem un comentari sobre la possible aplicació del resultat a la construcció de cadenes de transició, tot i que, de moment, no hem obtingut cap resultat significatiu en aquesta direcció. Els nostres mètodes consisteixen en tècniques d'anàlisi de fenòmens exponencialment petits basades en el formalisme de Hamilton-Jacobi. A més, aprofitem l'avantatge que planteja l'ús de ressonàncies dobles, ja que el procés d'establir la dominància de certs harmònics en funcions exponencialment petites de dues funcions periòdiques es simplifica enormement.

Director(s) de tesi: M. Teresa Martínez-Seara Alonso & Inmaculada Baldomá Barraca

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi aborda dos problemes específics associats amb les dades de recompte: l'excés de zeros i la seva absència en les dades de l'experiment de captura-recaptura. Els recomptes amb excés de zeros s'analitzen mitjançant models inflats amb zeros, que permeten situacions en què la variable dependent té més zeros del que s'esperaria en un model clàssic. El concepte bàsic és que la generació de zeros pot seguir un procés diferent del que genera valors positius. El model inflat amb zeros és una distribució mixta que combina una distribució de recompte de referència, normalment de Poisson o binomial negativa, i una massa degenerada a zero. En aquesta tesi, primer presentem una nova estadística per estimar els recomptes d'excés de zeros en distribucions de dos paràmetres com la binomial negativa. També establim una classificació dels diferents tipus de zeros que es poden trobar, identifiquem les diverses fonts que els donen lloc i proporcionem un conjunt de recomanacions perquè els investigadors triïn el millor model estadístic en presència de recomptes d'excés de zeros en un context ecològic. A més, s'ha desenvolupat una nova prova estadística (prova de puntuació) per respondre a la pregunta de si les dades provenen d'una distribució de Poisson inflada amb zeros o d'una barreja de dues distribucions de Poisson. S'ha demostrat que la distribució de l'estadística de prova és independent dels valors dels paràmetres, cosa que la converteix en una alternativa robusta a les proves tradicionals amb distribucions asimptòtiques. El rendiment de la prova s'ha avaluat utilitzant conjunts de dades del camp de la dosimetria. D'altra banda, pel que fa als recomptes obtinguts mitjançant mètodes de captura-recaptura, aquests s'utilitzen per estimar la mida d'una població d'interès que només s'observa parcialment. En aquests dissenys, es manté un recompte del nombre de vegades que un individu ha estat capturat/observat durant el període d'observació. En aplicacions del món real, només es registren els recomptes positius, cosa que resulta en una distribució truncada amb zeros. Estimar el nombre d'individus no observats, és a dir, estimar la proporció de zeros, és clau per estimar la mida de la població. En aquesta tesi, les dades de captura-recaptura s'analitzen restringint el cas a situacions en què només es registra si un subjecte ha estat observat una o diverses vegades (reincident). Per a aquest tipus de dades, es proposa una nova metodologia bayesiana per estimar la mida de la població, donada una distribució prèvia acuradament seleccionada. Posteriorment, es presenta un altre nou mètode d'estimació de la mida de la població, aquesta vegada basat en mètodes no paramètrics i amb una aplicabilitat més àmplia. En aquest cas, s'aplica a dades censurades a la dreta, és a dir, individus observats/capturats una, dues, tres vegades o fins a "r" o més vegades, on "r" és el valor censor. Si "r = 2", ens trobem amb el cas de dades reincidents.

Director(s) de tesi: Pere Puig Casado

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi té dos capítols, un sobre CaTT, una teoria de tipus per a categories (∞, ∞), i un altre sobre espais de descomposició, que és un treball conjunt amb Joachim Kock. El primer capítol conté dues parts. La primera part comença amb el fet que la dimensió d'una operació és igual a la del diagrama d'enganxament subjacent que s'està component, mentre que la dimensió d'una coherència és estrictament més gran que la del diagrama d'enganxament subjacent. Basant-nos en aquesta observació, proposem un nou conjunt de regles que descriuen una categoria (∞, ∞), en què les condicions laterals de variable lliure de les regles originals a CaTT es substitueixen per una condició lateral de dimensió. Les noves regles tenen l'avantatge de ser més geomètriques. El resultat principal és, doncs, que les noves regles i les regles originals són mútuament admissibles. A continuació, es presenten diversos resultats tècnics que són d'interès independent. Un resultat clau afirma que les variables lliures d'un terme en un context d'enganxament formen elles mateixes un context d'enganxament. A la segona part introduïm i estudiem una noció purament sintàctica de cons laxos i límits (∞, ∞) en computacions finites a CaTT. Convenientment, les computacions finites són precisament els contextos a CaTT. Definim un con sobre un context com un context, que s'obté per inducció sobre la llista de variables del context subjacent. En el cas que el context subjacent sigui globular, donem una descripció explícita del con i conjecturem que una descripció anàloga continua sent vàlida també per a contextos generals. Utilitzem el con per controlar els tipus dels constructors de termes per al con universal. La implementació de la propietat universal segueix una línia d'idees similar. Començant amb un con com a context, un conjunt de regles d'extensió de context produeixen un context amb la forma d'una transformació entre cons, és a dir, un morfisme superior entre cons. Com en el cas dels cons, utilitzem aquest context com a plantilla per controlar els tipus del constructor de termes necessaris per a la propietat universal. El segon capítol sobre espais de descomposició es relaciona amb un teorema de Bergner, Osorno, Ozornova, Rovelli i Scheimbauer, que estableix una equivalència entre espais 2-Segal i certs espais dobles Segal estables augmentats, i el treball de Carlier, que va introduir la noció de configuració bicomòdul. Establim equivalències més generals, que impliquen mapes simplicials d'espais 2-Segal i configuracions bicomòdul d'àbac, estenent els resultats de Carlier. L'equivalència BOORS es recupera del cas especial del mapa d'identitat. Un ingredient principal és una anàlisi de la relació entre les nocions d'augment BOORS i Carlier, considerades fins ara no relacionades.

Director(s) de tesi: Joachim Kock

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

L'oscil·lació de Madden-Julian (OEM) és un component fonamental de la variabilitat atmosfèrica tropical, que influeix significativament en els patrons meteorològics globals. Modula la convecció tropical, impulsa la variabilitat subestacional i interactua amb fenòmens climàtics a gran escala com ara l'Oscil·lació del Sud d'El Niño (ENOS). Malgrat la seva importància, aspectes clau del seu cicle de vida, en particular el seu inici, durada i finalització, continuen sent poc coneguts. Comprendre aquestes dinàmiques és essencial per millorar les prediccions meteorològiques i la modelització climàtica. Una anàlisi estadística dels esdeveniments d'OEM revela que les seves durades i mides segueixen una distribució de doble llei de potència, cosa que suggereix una distinció entre esdeveniments petits i llargs, però sense una escala característica en aquestes dues categories. Una durada crítica d'aproximadament 27 dies marca un fort augment en la probabilitat de finalització d'un esdeveniment, independent de les fases inicial i final. Això suggereix un mecanisme d'esgotament intern en lloc d'un forçament extern, que pot tenir implicacions importants per a la predictibilitat de l'OEM en escales de temps subestacionals. En aquest marc, aquesta tesi doctoral examina l'evolució dels esdeveniments extrems d'OEM i els seus impactes específics a Sud-amèrica durant l'estiu austral. Els esdeveniments extrems d'Olesa Marginal (OEM), definits per una classificació basada en llindars, es distingeixen dels esdeveniments febles mitjançant anàlisis compostes de la radiació d'ona llarga sortint (OLR), la funció del corrent de remolí i el potencial de velocitat. Els esdeveniments d'OEM amb fases d'inici 2-3 i 6-7 s'analitzen en detall per determinar quines fases condueixen als impactes regionals més significatius i com evolucionen les anomalies associades al llarg del temps. Els resultats indiquen que els esdeveniments extrems d'OEM produeixen anomalies de convecció més fortes a la regió equatorial a nivell mundial, amb centres de convecció millorats o suprimits que presenten un desplaçament cap al sud-est en comparació amb els esdeveniments més febles. A més, aquests esdeveniments extrems d'OEM exerceixen una influència notable sobre el Dipol Sud-americà (SAD), una característica clau de la variabilitat climàtica regional. L'estudi també explora com les diferents fases de l'ENSO modulen els esdeveniments extrems d'OEM, afectant la seva freqüència, intensitat i impactes posteriors en els patrons meteorològics sud-americans.

Director(s) de tesi: Marcelo Barreiro Parrillo & Álvaro Corral Cano

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi s'emmarca en el camp de la Dinàmica Complexa, que estudia sistemes dinàmics discrets generats per la iteració de funcions holomorfes. Més precisament, donada una funció transcendent, entera o meromòrfica, considerem el sistema dinàmic discret generat per ella. Aleshores, el pla complex es divideix en dos conjunts totalment invariants: el conjunt de Fatou, on la dinàmica és estable; i el conjunt de Julia, el seu complementari, on la dinàmica és caòtica. El conjunt de Fatou és obert i generalment té infinites components relacionades, anomenades components de Fatou, i són periòdiques, preperiòdiques o errants. Un dels resultats bàsics de la dinàmica complexa (demostrat per Fatou i Julia per a funcions racionals) és que el conjunt de Julia és el tancament dels punts periòdics repulsius de la funció. Aquest resultat va ser generalitzat per Baker mitjançant funcions enteres, i per Baker, Kotus i Lü mitjançant funcions meromòrfiques transcendents. Notem que, donat un component de Fatou invariant, la seva frontera és un subconjunt tancat invariant del conjunt de Julia. Així doncs, la següent pregunta sorgeix naturalment: donada una funció meromòrfica, i és una component periòdica de Fatou, els punts periòdics són densos a la seva frontera? Cal tenir en compte que, tot i que els punts periòdics són densos en el conjunt de Julia, a priori es podrien acumular a la frontera des del seu complement, sense estar a la frontera. Per exemple, si el component de Fatou és un domini de rotació amb una frontera localment connectada, aleshores no hi ha cap punt periòdic. No obstant això, F. Przytycki i A. Zdunik va demostrar que, per funcions racionals, els dominis de rotació (és a dir, Els discs de Siegel i els anells de Herman) són les úniques excepcions per a les quals els punts periòdics no són densos a la frontera. En particular, van donar una resposta positiva a la pregunta anterior per a conques d'atracció o parabòliques de funcions racionals. L'obra de F. Przytycki i A. Zdunik ja ens demostra que la resposta a una pregunta tan elemental està lluny de ser senzilla. De fet, cal un estudi exhaustiu dels límits d'aquests components de Fatou (que poden no estar connectats localment), combinant eines de dinàmica, teoria de la mesura i anàlisi conformal. En el cas particular de conques d'atracció simplement connexes, la demostració es basa en les propietats de la funció a la frontera des del punt de vista de la teoria de la mesura i els exponents de Lyapunov, així com en estimacions precises de la distorsió de l'aplicació de Riemann i els productes finits de Blaschke en el cercle unitari, i la teoria de Pesin és conforme. Per a components de Fatou que no es limiten a funcions transcendents, la situació és encara més delicada, a causa de la presència de la singularitat essencial, i la majoria de les tècniques anteriors no es poden aplicar. A més, com que la frontera del component de Fatou no és compacta, no és compacta, ni tampoc és evident l'existència de punts periòdics a la frontera. A la vista de les preguntes anteriors, i del treball previ existent per comprendre els límits dels components transcendents de Fatou, sorgeix naturalment la següent conjectura, que és un gran problema obert en dinàmica transcendent. Sigui una funció meromórfica i sigui una component de Fatou periòdica simplement connexa, de manera que no sigui univalent. Aleshores, hi ha un punt periòdic a la frontera d'aquest component de Fatou. A més, si es tracta d'un atractor o d'una conca parabòlica, o d'un domini de Baker doblement parabòlic, aleshores els punts periòdics són densos a la frontera. Aquesta tesi s'ha d'entendre com un avenç significatiu en la demostració de la conjectura anterior. De fet, demostrem l'existència i la densitat de punts periòdics a la frontera de components de Fatou sota hipòtesis molt febles en el conjunt postsingular, juntament amb resultats addicionals en relació amb la dinàmica de la frontera, els punts d'escapament i l'accessibilitat. Durant la tesi, s'han demostrat noves tècniques, com ara estimacions en la distorsió de funcions internes i la teoria de Pesin per a funcions transcendents.

Director(s) de tesi: Núria Fagella Rabionet

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

La capacitat del sistema immunitari per reconèixer les cèl·lules tumorals com una amenaça i destruir-les és un mecanisme de defensa crucial contra el creixement neoplàsic i la propagació metastàtica del càncer. Tanmateix, aquest reconeixement per si sol sovint és insuficient per prevenir el desenvolupament del càncer. Per reforçar aquestes defenses, l'oncologia moderna es basa en la immunoteràpia, que té com a objectiu millorar l'eficiència de la resposta immunitària. L'eficàcia d'aquestes teràpies pot veure's compromesa per diversos factors, com ara el microambient tumoral i l'estat metabòlic de les cèl·lules canceroses. En conseqüència, debilitar el metabolisme de les cèl·lules canceroses per dificultar la seva proliferació i fer-les més susceptibles als atacs immunitaris és molt prometedor per millorar els resultats del tractament. Comprendre el paper dels estats metabòlics de les cèl·lules canceroses en la determinació de les seves interaccions amb el sistema immunitari és crucial per avançar i ampliar la immunoteràpia contra el càncer. En aquest sentit, els models matemàtics que consideren els trets metabòlics intrínsecs a les cèl·lules canceroses i que es validen amb dades experimentals són primordials en la investigació de la immunoteràpia contra el càncer. Aquesta tesi se centra en el desenvolupament de models matemàtics estructurats en fenotip per elucidar la interacció dinàmica entre les cèl·lules canceroses i els limfòcits T. Específicament, examinem com les mutacions gèniques inactivadores en els principals impulsors metabòlics dins de les cèl·lules canceroses influeixen en la potència citolítica de la resposta immunitària. Vam construir un model d'equacions diferencials ordinàries que representa la competència entre les cèl·lules canceroses i els limfòcits T utilitzant dades de citòlisi en temps real d'experiments de potència letal que impliquen el cocultiu de cèl·lules canceroses metabòlicament modificades amb limfòcits T. En aquest model, els limfòcits T poden existir en un de dos estats: actius o esgotats, que reflecteixen la seva funcionalitat. Vam calibrar el model utilitzant dades experimentals obtingudes en diversos escenaris, incloent-hi parells de cèl·lules canceroses parentals, metabòlicament competents i contraparts isogèniques amb disrupció dirigida d'un o més enzims i transportadors metabòlics, mitjançant simulacions numèriques extenses i mètodes de computació evolutiva (intel·ligència artificial). L'estimació dels paràmetres clau va revelar els diversos impactes de la inhibició de la via metabòlica en la proliferació tumoral, l'aptitud metabòlica i l'eficàcia de la resposta immunitària. El nostre enfocament original destaca la importància de comprendre els papers complexos de les vies metabòliques en les cèl·lules canceroses en la configuració dels resultats clínics de la immunoteràpia basada en limfòcits T. La nostra troballa també proporciona informació valuosa per a futures estratègies d'immunoteràpia contra el càncer guiades metabòlicament.

Director(s) de tesi: Tomás Alarcón Cor, Josep Sardanyes Cayuela & Javier Abel Menéndez Menéndez

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

 El desenvolupament és el procés pel qual es construeix l'anatomia complexa dels organismes multicel·lulars a cada generació i constitueix un dels pocs processos naturals capaços de generar tanta complexitat en un període de temps relativament curt. Des d'un punt de vista ampli i fenomenològic, el desenvolupament es pot descriure com la seqüència de transformacions d'un patró de desenvolupament (és a dir, una distribució específica de tipus cel·lulars al llarg de l'embrió en desenvolupament) a un altre, que comença amb l'òvul fecundat i acaba amb l'individu adult funcional complet. Tot i que hi ha molts mecanismes entrellaçats responsables de la transformació de patrons durant el desenvolupament, en el nostre treball només ens centrem en el que els biòlegs del desenvolupament anomenen mecanismes inductius, és a dir, només tindrem en compte aquelles transformacions que es produeixen com a resposta a senyals bioquímics enviats d'una cèl·lula a una altra. En aquest sentit, la pregunta principal que volem abordar és: "quines xarxes reguladores gèniques que governen la senyalització cel·lular (és a dir, quines topologies de xarxa d'activació i inhibició d'interaccions entre productes gènics) poden conduir realment a transformacions de patrons adequades?". La nostra anàlisi teòrica i les simulacions numèriques, realitzades en el marc de les equacions de reacció-difusió, mostren que, independentment de l'immens nombre de xarxes gèniques de patrons que es puguin imaginar (especialment quan el nombre de productes gènics disponibles és gran), totes es poden classificar en només tres classes fonamentals de xarxes gèniques capaces de transformar patrons i les seves combinacions. Les xarxes gèniques dins de cadascuna d'aquestes tres classes comparteixen les mateixes propietats topològiques, presenten dinàmiques de reacció-difusió similars i condueixen a patrons finals anàlegs.

Director(s) de tesi: Isaac Salazar Ciutat

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Estudiem l'espectre de longituds de corbes en superfícies des dels punts de vista riemanniano, hiperbòlic i combinatori, obtenint resultats sobre la rigidesa de l'ortoespectre riemanniano i el recompte de corbes amb longitud de paraula en el torus punxat.

Director(s) de tesi: Nicolas Balacheff i Hugo Parlier

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi està dedicada a la topologia i la geometria de les varietats riemannianes de curvatura escalar positiva. Per explorar l'estructura d'aquestes varietats, adoptem una perspectiva mètrica, concretament a través de dues generalitzacions mètriques de la noció de curvatura escalar positiva. Primer, ens centrem en la topologia de les 3-varietats de curvatura escalar positiva i proporcionem una nova obstrucció a l'existència de mètriques riemannianes completes de curvatura escalar positiva en 3-varietats no compactes. Més precisament, demostrem que si una 3-varietat orientable M admet una mètrica riemanniana completa la curvatura escalar de la qual és positiva i té un decaïment subquadràtic a l'infinit, aleshores es descompon com una suma connexa (possiblement infinita) de varietats esfèriques i sumands. Com a conseqüència, la varietat M admet una mètrica completa de curvatura escalar uniformement positiva. Aquest resultat constitueix una generalització d'un teorema de Gromov i Wang, i la seva demostració es basa en un enfocament diferent de naturalesa mètrica i topològica. Més generalment, la descomposició topològica es compleix sense cap suposició sobre la curvatura escalar, basant-se en canvi en una estimació mètrica sobre els discs d'ompliment de corbes tancades a la coberta universal, basada en la noció de radi d'ompliment. A més, la taxa de decaïment en el teorema de descomposició és òptima, ja que la varietat admet una mètrica completa de curvatura escalar positiva que decau exactament quadràticament a l'infinit, però no es descompon com una suma connexa de varietats esfèriques i sumands. A continuació, explorem la noció de curvatura escalar macroscòpica i la seva relació amb la geometria sistòlica d'una varietat. Més precisament, derivem una versió macroscòpica d'una cèlebre desigualtat sistòlica de Bray-Brendle-Neves sobre l'àrea de 2-esferes no contràctils en una varietat de curvatura escalar positiva. Demostrem que si una varietat n de Riemann completa amb homologia de codimension 1 no trivial amb -coeficients o -coeficients té una curvatura escalar macroscòpica positiva, aleshores admet una hipersuperfície no homòloga d'amplada d'Urysohn (n-2) petita. La demostració d'aquest resultat es basa en una adaptació de la versió macroscòpica de Guth de l'argument del descens de Schoen-Yau.

Director(s) de tesi: Nicolas Balacheff i Stéphane Sabourau

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Sigui F un camp de nombres totalment reals, fixem un p primer de F i sigui F_p la compleció de F a p. En aquesta tesi desenvolupem un algoritme per calcular dominis fonamentals per a l'acció de certs subgrups discrets de SL_2(F_p) sobre l'arbre de Bruhat-Tits associat a GL_2(F_p). Els grups discrets que considerem sorgeixen d'alguns ordres d'Eichler sobre àlgebres de quaternions definides sobre F. Per a les corbes de Shimura que tenen una mala reducció a p, l'estructura de la mala fibra especial està codificada per aquests dominis fonamentals. Hem calculat una extensa llista d'exemples de dominis fonamentals relacionats amb uniformitzacions p-àdiques de corbes de Shimura. Aquests dominis fonamentals es poden utilitzar per integrar formes modulars numèricament rígid-analítiques. Com a aplicació, utilitzem aquestes integrals per calcular punts de Heegner p-àdics sobre corbes el·líptiques sobre camps de nombres totalment reals.

Director(s) de tesi: Marc Masdeu Sabaté

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

La ciència ambiental s'enfronta cada cop més a dos extrems de la disponibilitat de dades. D'una banda, conjunts de dades massius i en expansió contínua —que superen escales de petabytes— descriuen el clima de la Terra amb un detall sense precedents, impulsats per reanàlisis d'alta resolució i observacions per satèl·lit. De l'altra, molts problemes ambientals crucials, com la contaminació marina, continuen tenint poques dades, amb mesures disperses i irregulars que oculten patrons espaciotemporals. Aquesta tesi aborda ambdós reptes desenvolupant i aplicant mètodes estadístics i d'aprenentatge automàtic avançats capaços d'extreure informació significativa a través d'aquests règims de dades. En primer lloc, la tesi presenta xeofs, una biblioteca Python de codi obert dissenyada per a la reducció de la dimensionalitat escalable en la ciència del clima. En integrar-se perfectament amb xarray i dask, xeofs gestiona conjunts de dades massa grans per als enfocaments tradicionals en memòria, facilitant així anàlisis complexes en infraestructures modernes de computació d'alt rendiment. Aprofitant l'àlgebra lineal aleatòria, accelera els càlculs en un ordre de magnitud en comparació amb les eines existents. En segon lloc, la tesi refina i estén l'anàlisi de covariància màxima amb transformades de Hilbert i tècniques de rotació, permetent la detecció de patrons climàtics amb desplaçament de fase i teleconnexions fins i tot en presència de tendències a les dades. Els modes de variabilitat resultants recuperen fenòmens establerts com ara El Niño-Oscil·lació Sud i l'Oscil·lació Decennal del Pacífic, alhora que revelen teleconnexions menys explorades entre els tròpics i els extratòpics. En tercer lloc, la tesi aplica la regressió del procés bayesià gaussià per modelar observacions espacialment disperses de contaminació per brossa de platja a l'Atlàntic nord-oriental. Utilitzant un marc de procés de Cox log-gaussià, es descobreixen variacions estacionals significatives i es demostra que estan relacionades amb descàrregues fluvials a petita escala i activitats relacionades amb l'aqüicultura. En quantificar explícitament les incerteses, aquesta anàlisi mostra com els enfocaments de modelització basats en dades poden informar les polítiques sobre el seguiment i la gestió de brossa de platja, fins i tot enmig d'una xarxa d'observació escassa i irregular. En conjunt, aquestes contribucions fan avançar l'estat de la investigació ambiental basada en dades permetent una identificació robusta de patrons tant en règims de dades densos com escassos, preparant el camí per a diagnòstics climàtics i estratègies de mitigació de la contaminació més eficaços.

Director(s) de tesi: Antonio Turiel, Estrella Olmedo Casal & Álvaro Corral Cano

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

L'objectiu principal d'aquesta tesi són els codis estabilitzadors, un tipus de codi corrector d'errors que s'utilitza per corregir la informació quàntica que ha estat corrompuda pel soroll. Introduïm diverses construccions generals noves de codis estabilitzadors. En particular, utilitzem una de les construccions per construir codis de comprovació de redundància cíclica quàntica, un codi corrector d'errors que s'utilitza en informació clàssica per corregir errors de ràfega. Mostrem com utilitzar una versió quàntica d'aquests codis per corregir errors de ràfega en sistemes de bits quàntics. Incloem una descripció geomètrica dels codis estabilitzadors, estenent les construccions anteriors que només funcionen per al cas del qubit a sistemes quàntics en què les partícules quàntiques tenen dimensió local p, on p és qualsevol nombre primer. Finalment, reduïm el problema de determinar quan un codi Reed-Solomon generalitzat està contingut en el seu dual hermitià i, per tant, es pot utilitzar per construir un codi estabilitzador. Aquesta reducció ens permet determinar la longitud més curta i més llarga dels codis Reed-Solomon generalitzats que estan continguts en el seu dual hermitià, verificant una conjectura de Grassl i Rotteler.

Director(s) de tesi: Simeó Miquel Ball

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi consta de dues parts. A la primera part, proposem un algorisme per calcular els intervals de rotació de sistemes dinàmics definits per mapes sobre el cercle unitari. Aquest algorisme permet el càlcul exacte de l'interval de rotació per a una àmplia família de mapes quan els seus punts finals són racionals. Aquest algorisme és general i no requereix que la funció objectiu sigui diferenciable. La segona part de la tesi se centra en l'obtenció d'un mètode semianalític per calcular l'expansió d'onades truncades per a un atractor sobre un producte oblicu forçat quasi periòdicament. Per obtenir l'expansió de l'ondelet, hem hagut de perfeccionar i millorar la capacitat d'avaluar una wavelet en un punt, desenvolupant aplicacions de l'algoritme Daubechies-Lagarias en el procés. Finalment, amb la sèrie truncada obtinguda, hem aplicat els resultats de l'anàlisi funcional que ens permeten determinar la regularitat de les funcions a partir dels seus coeficients wavelet. Això ens ha permès mesurar (imperfectament) l'estranyesa dels atractius. A partir d'això, hem pogut estudiar alguns casos d'atractors estranys no caòtics.

Director(s) de tesi: Lluís Alsedà i Soler

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquesta tesi estudiem diversos objectes matemàtics que són essencials per formular i modelar sistemes físics. Aplicant les eines que proporciona la geometria diferencial, desenvolupem i analitzem diferents estructures matemàtiques que s'utilitzen en tres contextos físics: dinàmica dissipativa, sistemes integrables i quantificació geomètrica. Per fer-ho, utilitzem principalment la configuració de la geometria simplèctica b, una extensió natural de la geometria simplèctica que està dissenyada específicament per abordar varietats amb límit. Es basa en el concepte de formes b introduït per Melrose i va ser iniciat per Guillemin, Miranda i Pires. En primer lloc, en el context de la dinàmica dissipativa, introduïm i discutim una varietat de models de cotangent b retorçat. En aquests models, definits en el paquet cotangent d'una varietat llisa, l'estructura fonamental és una forma b-simplectica que és singular dins de les fibres del paquet. Els nostres models donen lloc a sistemes dinàmics governats per l'Hamiltonià estàndard d'una partícula lliure, acompanyats d'un potencial dependent de la posició. Després d'examinar diferents tipus de potencials i de trobar que tots ells indueixen la dissipació d'energia al sistema, demostrem que aquests models bcotangents retorçats ofereixen una formulació hamiltoniana adequada per als sistemes dissipatius. En conseqüència, amplien l'abast de la dinàmica hamiltoniana i aporten un nou enfocament a l'estudi de sistemes no conservadors. En segon lloc, en el context dels sistemes integrables, introduïm i investiguem els sistemes bsemitòrics, una família de sistemes que generalitza simultàniament sistemes semitòrics i sistemes b-tòrics, i que s'adapta a varietats b-simplectiques. Proporcionem una definició completa de sistemes b-semitòrics, que adapta les característiques dels sistemes semitòrics al marc de varietats b-simplectics, i construïm tres exemples d'aquest tipus de sistemes. Els tres exemples es basen en modificacions del sistema de moments angulars acoblats, un sistema semitòric clàssic que representa l'acoblament de dos rotors rígids. El nostre examen dels exemples, que inclou la classificació dels punts singulars i l'estudi de la dinàmica global, ens permet destacar les característiques úniques dels sistemes b-semitòrics. En tercer lloc, en el context de la quantització geomètrica, introduïm un mètode de quantització de Bohr-Sommerfeld per a varietats tòriques b-simplectics. Establim que la dimensió d'aquest mètode de quantificació depèn d'un recompte amb signe dels punts enters a la imatge del mapa de moments de l'acció tòrica. A més, demostrem la seva equivalència amb la quantificació geomètrica formal d'aquestes varietats. A més, presentem un model de quantificació geomètrica basat en cohomologia de feixa, adequat per a sistemes integrables amb singularitats no degenerades, que també es basa en el recompte dels punts enters a la imatge del mapa de moments.

Director(s) de tesi: Eva Miranda Galcerán

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

En aquesta tesi investiguem diversos aspectes de la dinàmica de camps vectorials hamiltonians en varietats simplectiques singulars.

Ens centrem en dues qüestions: primer, investiguem una generalització de la conjectura d'Arnold en el context de la geometria simplèctica singular. En segon lloc, explorem construccions per a sistemes integrables en aquest context.

En el capítol 2 proporcionem el material bàsic necessari per a aquesta tesi. Comencem aprofundint en la teoria de la geometria simplèctica. A continuació, presentem la conjectura d'Arnold, que afirma que hi ha un límit inferior en el nombre d'òrbites 1 periòdiques per a un sistema hamiltonià no degenerat, i que aquest límit inferior es pot formular estrictament en termes topològics. També presentem una eina utilitzada en la investigació d'aquesta conjectura: la teoria de Floer.

A continuació, expliquem algunes nocions de geometria de Poisson abans d'explorar una noció fonamental per a aquesta tesi: la d'un bm-varietat simplèctica. Es tracta de varietats amb una estructura que és simplèctica gairebé a tot arreu però que "explota" en una hipersuperfície, que anomenem hipersuperfície singular. Exposem algunes tècniques utilitzades en l'estudi de bm-varietats simplèctiques, amb èmfasi en un procediment anomenat desingularització.

Finalment, fem un resum de la teoria dels sistemes integrables i l'estudi dels seus punts singulars.

Al capítol 3 investiguem el comportament dinàmic de certs camps vectorials en bm-geometria simplèctica, procedent de bm-Hamiltonians. Ens centrem en l'estudi de la seva dinàmica en un barri de la hipersuperfície singular, i trobem una família de bm-Hamiltonians on es pot formular una versió de la conjectura d'Arnold. A continuació, explorem nous aspectes del procediment de desingularització en relació amb el bm-Dinàmica hamiltoniana, i proporcionen algunes tècniques que ens permeten relacionar aquestes dinàmiques amb les de la geometria simplèctica clàssica. Acabem amb dos resultats que donen versions parcials de la conjectura d'Arnold bm-Camps vectorials hamiltonians.

Al capítol 4 mostrem l'existència d'una homologia de Floer per bm-varietats simplèctiques. Això ho gestionem mitjançant una investigació de l'equació de Floer per a la família de bm-Hamiltonians presentats al capítol 3. Al capítol 5 introduïm la noció de classes de b-integrable i b- sistemes semitòrics. Estudiem les característiques de b-sistemes semitòrics utilitzant alguns exemples interessants i la investigació dels seus punts singulars.

Director(s) de tesi: Sonja Verena Hohloch i Eva Miranda Galcerán

universitat: Universiteit Antwerpen i Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La memòria episòdica depèn de manera crucial de la capacitat dels circuits neuronals per emmagatzemar informació d'una sola vegada sobre esdeveniments que es desenvolupen en una escala de temps de segons. Les regles estàndard de plasticitat Hebbian, com STDP que requereixen un aparellament repetit d'activació pre i postsinàptica, són inadequades com a mecanismes fisiològics subjacents a aquest tipus d'aprenentatge ràpid. Contràriament a això, la plasticitat sinàptica a escala temporal del comportament (BTSP), una forma de plasticitat recentment descoberta a l'hipocamp, funciona en una escala de temps de segons. Aquest mecanisme indueix canvis sinàptics de llarga durada després d'una única experiència, impulsats per potencials de l'altiplà dendrític, el que el fa ideal per codificar records episòdics. Després d'un sol assaig, la capacitat de BTSP de formar ràpidament camps de lloc a les neurones CA1 subratlla el seu paper crític en la formació de la memòria. Aquesta tesi investiga el paper del BTSP en l'emmagatzematge de memòria dins de la xarxa de l'hipocamp. Obtenim un model BTSP simplificat que es presta a una anàlisi matemàtica rigorosa, ampliant aquest marc a xarxes recurrents com la regió CA3 de l'hipocamp per explorar les seves propietats d'emmagatzematge de memòria. Mitjançant un examen detallat de la dinàmica de record, els nostres resultats demostren que BTSP facilita la codificació i la recuperació d'un gran nombre de memòries, amb la variabilitat que millora tant l'emmagatzematge com la recuperació. A més, explorem l'aspecte no hebbian de BTSP, demostrant que admet representacions homogènies a CA3. En conseqüència, concloem que BTSP és un mecanisme candidat viable subjacent a la memòria episòdica.

Director(s) de tesi: Alexander Charles Roxin

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquest treball, s'explora l'existència de fórmules tubulars per a valoracions sobre varietats de Riemann. Concretament, calculem aquestes fórmules per a valoracions invariants en formes espacials reals, complexes i quaterniòniques. Introduïm l'operador tubular, tant per a valoracions com per a mesures de curvatura, que dóna el valor d'aquestes funcionals sobre els tubs al voltant de subcolls. En espais isòtrops, l'operador s'expressa de forma simplificada. Per a les formes espacials complexes, obtenim fórmules tubulars explícites. Aquest enfocament s'estén després a les formes de l'espai quaterniònic, on ens centrem en les valoracions de Federer. Finalment, apliquem els nostres resultats per calcular el push-forward de les valoracions mitjançant la fibració Hopf quaterniònica.

Director(s) de tesi: Gil Solanes Farrés

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi se centra a utilitzar models matemàtics per analitzar dades de salut, amb l'objectiu de millorar els processos analítics mitjançant marcs pràctics i accessibles. Organitzat com una col·lecció de publicacions, explora dos temes principals. El primer tema se centra en l'anàlisi de dades de salut de la població mitjançant models jeràrquics per a la supervivència i l'anàlisi espacial dins de conjunts de dades extensos. Els models estadístics bayesians, que utilitzen específicament l'aproximació integrada de Laplace (INLA) com a alternativa als mètodes convencionals de Markov Chain Monte Carlo (MCMC), s'apliquen per examinar la prevalença de l'ictus a Polònia. Aquest enfocament es selecciona per la seva eficiència computacional, abordant els reptes que planteja la complexitat computacional significativa dels mètodes MCMC en conjunts de dades basats en la població a gran escala. En conseqüència, la metodologia proposada per analitzar les dades d'ictus a Polònia demostra el potencial d'una aplicació més àmplia en contextos similars de recerca en salut. El segon tema se centra en els models estadístics en dosimetria biològica, que consisteix a estimar els nivells d'exposició a radiacions ionitzants a partir de biomarcadors que quantifiquen el dany induït per la radiació a les cèl·lules sanguínies humanes. Els mètodes bayesians són especialment valuosos aquí per la seva practicitat i eficiència en el desenvolupament i l'aplicació de models. La tesi discuteix primer els enfocaments bayesians per refinar models per a l'assaig gamma-H2AX explorant un model de Poisson de mescles finites. Donada la sensibilitat del biomarcador al temps, es presenta un nou enfocament que incorpora el temps com a covariable en el model. En segon lloc, aquesta tesi inclou un estudi que compara biomarcadors dicèntrics i de translocació, examinant si aquests biomarcadors proporcionen inferències coherents i com el mètode de puntuació utilitzat per obtenir els recomptes de biomarcadors afecta els resultats. També aborda els reptes dels escenaris d'irradiació corporal parcial i proporciona orientació sobre la selecció de biomarcadors per a exposicions específiques a la radiació.

Director(s) de tesi: Pere Puig Casado, Virgilio Gómez Rubio i Carmen Armero i Cervera

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi està dedicada a l'estudi d'equacions en derivacions parcials el·líptiques i parabòliques, tant locals com no locals. Més concretament, aquest treball es refereix a les propietats de regularitat d'alguns problemes d'obstacles. Els problemes d'obstacles són exemples prototípics de problemes de límit lliure, és a dir, problemes de PDE on les incògnites no només són una funció, sinó també una subdivisió del domini en diferents regions, i la PDE satisfeta a cada regió és diferent. Els problemes de límits lliures són un camp de recerca molt actiu. D'una banda, els límits lliures són un bon model per a interfícies en entorns del món real, amb aplicacions en Física, Biologia, Finances i Enginyeria. D'altra banda, han estat una font de reptes matemàtics interessants, motivant l'anàlisi fina de solucions d'equacions el·líptiques i parabòliques. Aquesta Tesi està dividida en dues parts. La part I està dedicada a l'estudi de diversos problemes d'obstacles diferents. Al capítol 1, estudiem el problema d'obstacles per a operadors parabòlics no locals, en règim supercrític s < 1/2. Establim la regularitat C^{1,1} òptima de solucions, que és sorprenentment millor que en el problema el·líptic, i també mostrem que el límit lliure és globalment C^{1,α}. Les nostres principals dificultats són la manca de fórmules de monotonia, i l'escala supercrítica de l'equació, és a dir, el fet que l'ordre més alt de diferenciació correspon a la derivada temporal. El capítol 2 està dedicat a les propietats genèriques de regularitat del límit lliure en el problema de l'obstacle prim. Com que hi ha molts exemples patològics de solucions als problemes de límits lliures, sovint l'objectiu és en lloc de demostrar la regularitat de totes les solucions, demostrar la regularitat de la majoria de solucions en un sentit adequat. En el nostre treball, mostrem que, per a famílies monòtones de solucions d'un paràmetre, per a gairebé totes les solucions, el límit lliure és suau fora d'un conjunt de codimensió 2 + α (en el límit lliure). En particular, això significa que en R^3 i R^4, el límit lliure és genèricament suau. Concloem la part I amb el capítol 3, on utilitzem un anàleg no local de la tècnica de Bernstein per establir estimacions de semiconvexitat per a una àmplia classe d'equacions el·líptiques i parabòliques no locals no lineals, incloent problemes d'obstacles. Com a conseqüència, estenem la teoria de regularitat coneguda per a problemes d'obstacles no locals en l'espai complet a problemes en dominis acotats. A la part II, estenem la desigualtat de límit de Harnack a equacions el·líptiques i parabòliques (locals) amb un costat dret. El límit Harnack és un resultat clàssic que afirma que si u i v són funcions harmòniques positives que s'esvaeixen en part del límit d'un domini prou regular, aleshores u/v està acotat i Hölder continua fins al límit. Les desigualtats de Harnack de límit s'utilitzen en la prova de la suavitat dels límits lliures en diversos problemes d'obstacles, en el pas clau de veure que si un límit lliure és Lipschitz pla, llavors és C^{1,α}. L'objectiu del nostre treball era estendre la teoria de la regularitat dels problemes d'obstacles a l'entorn totalment no lineal. Per fer-ho, hem desenvolupat desigualtats de límit de Harnack per a equacions en forma de no divergència amb un costat dret. El capítol 4 tracta d'equacions el·líptiques i el capítol 5 tracta d'equacions parabòliques. Les tècniques utilitzades són diferents. En la configuració el·líptica, n'hi ha prou amb utilitzar barreres, arguments d'escala i una iteració estàndard per deduir la regularitat de Hölder del quocient. Tanmateix, en el món parabòlic, les demostracions són molt més complexes i es basen en un delicat argument de contradicció-compacitat.

Director(s) de tesi: Xavier Ros Oton

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi tracta tres problemes de realitzacions geomètriques d'estructures combinatòries mitjançant polítops i subdivisions polièdriques. Un polítop és el casc convex d'un conjunt finit de punts en un espai euclidià Rd. Està dotat d'una estructura combinatòria provinent de les seves cares. Una subdivisió és una col·lecció de polítops les cares dels quals es tallen correctament i de manera que la seva unió és convexa. És regular si es pot obtenir agafant les cares inferiors d'un aixecament dels seus vèrtexs en una dimensió superior. Primer presentem una nova construcció geomètrica de molts polítops combinatòriament diferents de dimensió fixa i nombre de vèrtexs. Aquesta construcció es basa en demostrar que certs polítops admeten moltes triangulacions regulars. Ens permet millorar el límit inferior més conegut del nombre de tipus combinatoris de polítops. Després estudiem les projeccions de permutàedres, que anomenem polítops d'escombrat perquè modelen els possibles ordenaments d'una configuració de punt fix mitjançant hiperplans que escombren l'espai en una direcció constant. També introduïm i estudiem una abstracció combinatòria d'aquestes estructures: els matroides orientats a l'escombrat, que generalitzen la teoria de Goodman i Pollack de seqüències permeses a dimensions superiors a 2. Finalment, proporcionem realitzacions geomètriques de l'ordre s-feble, una estructura combinatòria que generalitza. l'ordre feble de les permutacions, parametritzat per un vector s ∈ (Z>0)n. En particular, responem a la conjectura de Ceballos i Pons que l'ordre s-feble es pot realitzar com el gràfic d'arestes d'un complex politòpal que és, a més, una subdivisió d'un permutàedre.

Director(s) de tesi: Arnau Padrol Sureda, Francisco Santos Leal i Ilia Itenberg

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

En aquesta tesi hem adaptat el problema del transport òptim congestionat continu al grup de Heisenberg, equipat amb una mètrica sub-riemanniana: hem restringit el conjunt de camins admissibles a les corbes horitzontals. Hem obtingut l'existència de configuracions d'equilibri, conegudes com a Wardrop Equilibria, mitjançant la minimització d'una funcionalitat convexa, sobre un conjunt adequat de mesures sobre les corbes horitzontals. A més, aquests equilibris indueixen plans de transport que resolen un problema de Monge-Kantorovic associat a un cost, en funció de la pròpia congestió, que vam definir amb rigor. També vam demostrar l'equivalència entre aquest problema i un problema de minimització definit sobre el conjunt de camps vectorials horitzontals p-sumables amb divergència prescrita. Hem demostrat que aquest nou problema admet una formulació dual com a problema clàssic de minimització del càlcul de variacions. A més, fins i tot el problema de Monge-Kantorovich associat a la distància sub-riemanniana resulta ser equivalent a un problema de minimització sobre mesures en corbes horitzontals. Passant per la noció de densitat de transport horitzontal, vam demostrar que el problema de Monge-Kantorovich també es pot formular com un problema de minimització amb una restricció de tipus divergència. La seva formulació dual és el conegut teorema de la dualitat de Kantorovich. Al final, vam tractar el problema de transport òptim congestionat continu amb la funció de cost ortotròpica: vam demostrar la regularitat de Lipschitz per a solucions a una equació de tipus pseudo q-laplacià que en sorgeix.

Director(s) de tesi: Albert Clop i Giovanna Citti

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

L'objectiu d'aquesta tesi ha estat representar la valoració p-àdica dels valors especials de funcions-L p-àdiques mitjançant característiques d'Euler utilitzant diferents teories de cohomologia en diversos contextos. Més específicament, s'han utilitzat invariants homotòpics com l'espectre K(1)-local de K-teoria per descriure aquests valors en el context de cossos reals totalment commutatius i no-commutatius, i també en alguns casos per a cossos quadràtics imaginaris. . El cas més sortit ha estat el commutatiu i totalment real, on ara pot entendre la valoració p-àdica de la funció-L p-àdica de Deligne-Ribet utilitzant cohomologia ètale, K-teoria K(1)-local, i la fibra del mapa de traça ciclotòmica (K(1)-local), estenent així el treball de Hesselholt, que només cobreix el cas F = Q. Finalment, s'ha establert la base per a aquests resultats. en altres direccions, com ara en el cas de cossos de funcions, o més concretament, en el cas de varietats abelianes amb reducció semiestable sobre cossos de funcions.

Director(s) de tesi: Victor Rotger Cerdà

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La memòria de treball, la capacitat de mantenir i manipular la informació a la nostra ment quan ja no està disponible a l'entorn, és una funció central de la cognició. Un dels correlats neuronals més importants d'aquesta funció cognitiva són les anomenades neurones persistents, que responen selectivament a l'estimulació sensorial i mantenen la seva activitat augmentada fins i tot després d'eliminar l'estímul. Aquest fenomen, observat amb més freqüència a l'escorça prefrontal, ha estat descrit amb èxit mitjançant models de xarxes neuronals amb dinàmica d'atractor. Tanmateix, només algunes de les neurones que es dediquen a tasques de memòria de treball tenen activitat persistent. A més, l'anàlisi dels enregistraments experimentals a nivell de població revela que el codi experimenta un canvi entre la presentació de l'estímul i les èpoques de manteniment, que no és compatible amb un codi de memòria de treball que només dependria de cèl·lules persistents actives estables. La prevalença d'aquesta troballa ha motivat la proposta de mecanismes alternatius, però els models computacionals actuals que expliquen la dinàmica no inclouen èpoques estables o no proporcionen una interpretació mecanicista clara. En aquesta tesi, utilitzem l'anàlisi de dades estadístiques i el modelatge de xarxes neuronals per investigar si subpoblacions neuronals especialitzades subjacent als codis de memòria de treball estables i dinàmics. En primer lloc, vam investigar la connexió entre la dinàmica observada en el codi de memòria de treball i l'estructura funcional dels circuits prefrontals. Hem analitzat els enregistraments prefrontals de micos macacs que es comporten i hem observat que la selectivitat de les característiques es distribueix de manera no aleatòria entre les neurones. Aquesta distribució de selectivitat de característiques no aleatòria o estructurada està relacionada amb subpoblacions funcionals diferents l'activitat contrastada de les quals explica la transició dinàmica a estable en el codi de memòria de treball. En segon lloc, vam desenvolupar un model computacional que representa tres subpoblacions funcionals com a xarxes d'atracció que treballen en diferents règims dinàmics. El model il·lustra com l'estructura de la població, que implica diferents neurones actives en diferents èpoques de tasques, està directament relacionada amb la transició dinàmica del codi. A més, mostrem com l'arquitectura de tres xarxes es pot estendre fàcilment per tenir en compte funcions addicionals, com ara l'activitat en rampa i períodes de manteniment variables. En tercer lloc, les nostres xarxes basades en subpoblacions tenen l'avantatge funcional de ser robustes contra estímuls que distreuen. El model captura la vulnerabilitat observada experimentalment als distractors presentada poc després de l'eliminació de l'estímul. A més, prediu que la retroalimentació de dalt a baix millora la robustesa general de la xarxa. En resum, mostrem com la presència de subpoblacions funcionals a l'escorça prefrontal es pot relacionar amb la transició dinàmica a estable en el codi de memòria de treball i amb una capacitat millorada per filtrar estímuls que distreuen. En conclusió, el nostre treball concilia la dinàmica dels atractors amb els canvis dinàmics observats en el codi, tot suggerint que la dinàmica dels atractors és essencial per al manteniment de la memòria de treball.

Director(s) de tesi: Klaus Wimmer

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi està dedicada a la complexa estructura d'ones sorgida en hidrodinàmica d'escenaris relativistes quan es consideren fluids realistes amb una rica termodinàmica. L'equació d'estat és una relació constitutiva que codifica les propietats termodinàmiques d'un fluid i, en dinàmica de fluids compressibles, és necessària per tancar les equacions d'evolució. Una equació d'estat no convexa és candidata per induir dinàmiques d'ones complexes. Amb l'objectiu d'estudiar la Hidrodinàmica relativista especial no convexa (SRHD), la tesi es divideix en dues parts. La primera està dedicada a l'estudi de la SRHD no convexa des del punt de vista de la solució de les equacions d'evolució, que consisteixen en un sistema hiperbòlic no lineal de lleis de conservació. La segona part posa l'accent en la modelització de fluids realistes tenint en compte les implicacions sobre la dinàmica estudiada a la primera part. D'una banda, presentem un solucionador de Riemann exacte per a SRHD no convex, ampliant la seva aplicabilitat al cas de velocitats tangencials diferents de zero. El problema de Riemann és una condició inicial per al sistema, la prova fonamental en hidrodinàmica. La seva solució conté tots els elements presents en escenaris més complicats i permet entendre la dinàmica de les ones que es poden presentar. En proporcionar la solució exacta, millorem la comprensió de la complexa dinàmica en joc en sistemes relativistes no convexos. Particularitzem el solucionador d'una equació d'estat fenomenològica no convexa i proporcionem la solució exacta per a una sèrie de problemes estàndard que inclouen ones d'explosió relativistes. Utilitzem les solucions exactes obtingudes per validar mètodes numèrics utilitzats per resoldre equacions SRHD inicialitzades amb condicions inicials complexes. Mesurem la precisió de dos dels mètodes més utilitzats en el camp i analitzem el seu rendiment en presència d'una estructura d'ona complexa. Continuem la nostra anàlisi centrant-nos en les estrelles de neutrons com a objectes astrofísics composts per un fluid que pateixen una evolució hidrodinàmica relativista. Els models realistes en aquesta matèria condueixen a equacions d'estat tabulades, que inclouen efectes microfísics detallats però que representen una opció computacionalment ineficient per a simulacions numèriques. Ens centrem en el modelatge d'aquestes dades tabulades amb una expressió analítica senzilla que dóna especial consideració a les transicions de fase, un fenomen de la matèria amb el potencial de fer que l'equació d'estat no sigui convexa. Analitzem les implicacions del nostre model en les propietats estel·lars de l'estrella de neutrons i la seva evolució hidrodinàmica, comparant els resultats amb els models analítics actuals utilitzats en simulacions.

Director(s) de tesi: Susana Serna Salichs

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Estudiem problemes discrets de minimització d'energia en varietats homogènies de dos punts. Com que trobar configuracions de N punts amb energia òptima és molt difícil, els enfocaments recents han implicat examinar processos puntuals aleatoris amb poca energia esperada per obtenir bones configuracions de N punts. Al capítol 2, calculem la segona intensitat conjunta del procés de punts aleatoris donada pels zeros dels polinomis el·líptics, la qual cosa ens permet recuperar l'energia logarítmica esperada a l'esfera bidimensional prèviament calculada per Armentano, Beltrán i Shub. A més, obtenim l'energia s de Riesz esperada, que és notablement propera a l'energia òptima conjecturada. L'energia esperada serveix com a límit per a l'energia s extrema, millorant així els límits derivats de l'estudi del conjunt esfèric per Alishahi i Zamani. Entre altres resultats addicionals, obtenim una expressió tancada per a la distància de separació esperada entre punts mostrats a partir dels zeros dels polinomis el·líptics. Al capítol 2, explorem les discrepàncies mitjanes i els errors del pitjor cas de les configuracions de punts aleatoris a l'esfera d-dimensional. Trobem que els punts extrets de l'anomenat conjunt esfèric i els zeros dels polinomis el·líptics aconsegueixen una discrepància esfèrica òptima L^3 de mitjana. A més, proporcionem un límit superior per a la discrepància L^intiy per a configuracions de N punts extretes del conjunt harmònic en qualsevol espai homogeni de dos punts, generalitzant així les troballes anteriors per a l'esfera de Beltrán, Marzo i Ortega-Cerdà. Introduïm una versió no determinista de la força de Quasi Monte Carlo (QMC) per a seqüències aleatòries de punts i calculem el seu valor per al conjunt esfèric, els zeros dels polinomis el·líptics i el conjunt harmònic. Finalment, comparem els nostres resultats amb les forces QMC conjecturades de determinades distribucions deterministes associades a aquests processos puntuals aleatoris. Al capítol 2, el nostre enfocament se centra en el problema de minimització de l'energia verda. En primer lloc, ampliem el treball de Beltrán i Lizarte sobre esferes per establir un límit inferior proper a agut per a l'energia verda mínima en qualsevol varietat homogènia de dos punts, millorant els límits inferiors existents en els espais projectius. En segon lloc, adaptant un mètode introduït per Wolff, deduïm un límit superior per a la discrepància L^intiy de conjunts de N punts que minimitzen l'energia verda.

Director(s) de tesi: Jordi Marzo Sánchez

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi doctoral tracta qüestions qualitatives de la teoria de les equacions diferencials parcials el·líptiques (PDE) i les equacions integro-diferencials. Ens interessa principalment una classe distingida de solucions que satisfan les condicions de minimalitat adequades. La primera part de la tesi proporciona una teoria de la regularitat per a solucions estables a problemes semilineals que impliquen coeficients variables. Aquí, l'estabilitat es refereix a la no-negativitat del valor propi principal de l'equació linealitzada. Per als problemes variacionals, això equival a la no-negativitat de la segona variació, una condició necessària per a la minimalitat. El nostre èxit principal és mostrar la limitació de solucions estables en dominis C11 en el rang òptim de dimensions n < 10. Aquest resultat és nou fins i tot per al laplacià, per al qual es necessitava una suposició C3 sobre el domini. La segona part proporciona condicions naturals suficients per a la minimització dels punts crítics en un marc general no local. És a dir, construïm un calibratge per a funcionals d'energia no locals, sota el supòsit que el punt crític està incrustat en una família de sub/supersolucions els gràfics de les quals produeixen una foliació. Com a conseqüència, deduïm que la solució és un minimitzador respecte als competidors que prenen valors a la regió foliada. El nostre resultat amplia, per primera vegada, la teoria clàssica de camps extrems de Weierstrass en el càlcul de variacions a un entorn no local. Trobar un calibratge per a la funcionalitat fraccionària més bàsica, la seminorma de Gagliardo-Sobolev, va ser un important problema obert que hem resolt.

Director(s) de tesi: Xavier Cabré Vilagu

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquest treball està dedicat a l'estudi de diversos models d'estructures aleatòries des de la perspectiva de la lògica de primer ordre. Demostrem que les probabilitats asimptòtiques d'enunciats de primer ordre convergeixen en un model general d'estructures aleatòries amb densitat lineal, ampliant els resultats anteriors de Lynch. A més, donem una aplicació d'aquest resultat al problema SAT aleatori. També inspeccionem el conjunt de probabilitats limitants de propietats de primer ordre en gràfics binomials dispersos, hipergrafs binomials d-uniformes i gràfics amb seqüències de graus donades. En particular, caracteritzem les condicions en què aquest conjunt de probabilitats asimptòtiques és dens a l'interval [0, 1]. Finalment, introduïm la qüestió de si els teoremes de preservació, és a dir, el teorema de Los-Tarski i el teorema de Lyndon, es mantenen en un sentit probabilístic en diversos models de gràfics aleatoris. Obtenim diversos resultats positius en diferents règims del gràfic aleatori binomial i gràfics uniformes de classes menors-tancades agregables.

Director(s) de tesi: Marc Noy Serrano

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

En el cas de categories parcialment ordenades (posets per abreujar), es demostra que la propietat pseudo-projectiva és equivalent a cofibrant en la categoria de funtors covariants descrita en aquest treball. També s'introdueix una noció de functor Mackey per a posets, inspirada en la noció clàssica de functor Mackey per a categories d'òrbita. En aquest cas, està demostrat que els funtors de Mackey amb una noció addicional de quasi-unitat són cofibrants; per tant, els seus colímits superiors s'esvaeixen en graus positius. Utilitzant l'estructura combinatòria de la substitució i les eines de càlcul presentades, es demostren límits explícits de fuga per als límits superiors. Utilitzant diferents estratègies, aquestes es descriuen en funció de la geometria del poset, els límits locals dels límits superiors i les filtracions dels funtors atòmics. Finalment, s'estudia amb detall el cas dels límits superiors de funtors indexats en posets CL-shellable. Aquests posets tenen el tipus d'homotopia d'una suma de falques d'esferes de la mateixa dimensió, de manera que els límits superiors en graus estrictament positius d'un functor constant es concentren en un sol grau. Motivat per aquest cas particular, s'abstraeix una propietat suficient per a un functor, que garanteix que els seus límits superiors s'esvaeixen per a dimensions inferiors a la longitud del poset. Com a exemple d'aplicació, es descriu el cas de la família de n-funtors de formes lineals en disposicions hiperplanes.

Director(s) de tesi: Natàlia Castellana i Antonio Díaz

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En la present tesi, estudiem la teoria dels espais de descomposició, centrant-nos en la construcció d'intervals per a espais de descomposició i l'espai de descomposició dels intervals subdividits U, que va ser construït per Gálvez, Kock i Tonks com a receptor de la construcció d'intervals de Lawvere. El nostre interès per U es deu a la conjectura de Gálvez–Kock–Tonks, que afirma que U gaudeix d'una certa propietat universal: per a cada espai de descomposició complet X, l'espai de funtors culf de X a U és contractible. La primera contribució principal, desenvolupada en col·laboració amb Alex Cebrian, és introduir el concepte d'espècies hereditàries dirigides connectades i no connectades i demostrar que tenen espais de descomposició monoïdals associats, biàlgebres comodules i categories operàdiques. La segona contribució principal és demostrar la conjectura de Gálvez–Kock–Tonks. Primer, vam demostrar la conjectura per al cas discret. Per al cas general de la conjectura, imposem límits cardinals mitjançant la condició de Möbius per als espais de descomposició. Aquesta és una certa condició de finitud que assegura que el principi general d'inversió de Möbius admet una cardinalitat d'homotopia. Des d'aquesta perspectiva, demostrar la conjectura equival a demostrar que l'espai de descomposició dels intervals de Möbius subdividits és un objecte terminal en la categoria ∞ dels espais de descomposició de Möbius i mapes de culf. La demostració es dóna combinant la teoria de (∞,2)-colímits, la construcció d'intervals i l'equivalència de redreçament-desdretització de les ∞-categories. El cas de Möbius, juntament amb el fet que la ∞-categoria d'espais de descomposició i mapes de culf és localment un ∞-topos implica que la ∞-categoria dels espais de descomposició i mapes de culf de Möbius és un ∞-topos.

Director(s) de tesi: Joachim Kock

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquest treball s'estudien diversos problemes matemàtics derivats de la manipulació robòtica de la tela. En primer lloc, desenvolupem un model continu sense bloqueig per a la simulació física de tèxtils inextensibles. Presentem una discretització nova d'"element finit" de les nostres limitacions d'inextensibilitat que dóna lloc a un tractament unificat de les malles triangulars i quadrilàteres de la tela. A continuació, expliquem com incorporar els contactes, les autocollisions i la fricció a les equacions del moviment, de manera que les forces de fricció i les restriccions d'inextensibilitat i col·lisió es puguin integrar implícitament i sense cap desacoblament. Desenvolupem un solucionador de "conjunt actiu" eficient adaptat al nostre problema no lineal que té en compte les restriccions actives del passat per accelerar la resolució de contactes no resolts i, a més, es pot inicialitzar des de qualsevol punt no necessàriament factible. Després, ens embarquem en la validació empírica del model desenvolupat. Enregistrem en un entorn de laboratori –amb càmeres de profunditat i sistemes de captura de moviment– els moviments de set tipus de tèxtils (com ara cotó, denim i polièster) de diferents mides i velocitats i acabem amb més de 80 gravacions. Els escenaris considerats són tots dinàmics i impliquen sacsejades i torsió ràpides dels teixits, col·lisions amb objectes de fricció i fins i tot cops forts amb un pal llarg. Aleshores, comparem els tèxtils gravats amb les simulacions donades pel nostre model inextensible i trobem que, de mitjana, l'error mitjà és de l'ordre d'1 cm fins i tot per a les mides més grans (DIN A2) i els escenaris més difícils. A més, també abordem altres problemes rellevants per a la manipulació robòtica de la tela, com ara la percepció de la tela i la classificació dels seus estats. Presentem un algorisme de reconstrucció basat en la teoria Morse que procedeix directament d'un núvol de punts per obtenir una descomposició cel·lular d'una superfície amb o sense límit: els resultats són una parametrització a trossos de la superfície de la tela com una unió de cèl·lules Morse. A partir de la descomposició cel·lular es pot deduir immediatament la topologia de la superfície. Finalment, estudiem l'espai de configuració d'una peça de tela: com que l'estat original d'una peça de tela és pla, el conjunt d'estats possibles sota el supòsit inextensible és el conjunt de superfícies desenvolupables isomètriques a una de fixa. Demostrem que una corba regular genèrica simple, tancada i a trossos a l'espai pot ser el límit de només un nombre finit de superfícies desenvolupables amb una curvatura mitjana que no es vagi. Inspirats en aquest resultat, introduïm les coordenades de tela dGLI, una representació de dimensions baixes de l'estat d'una peça de tela basada en una derivada direccional de la integral d'enllaç de Gauss. Aquestes coordenades –calculades a partir de la posició del límit de la tela– permeten distingir els canvis qualitatius clau en les seqüències de plegament.

Director(s) de tesi: Jaume Amorós Torrent i Maria Alberich Carramiñana

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La tesi es divideix principalment en dues parts. En essència, el primer és una extensió del document [Ter22]. Utilitzant la fórmula regularitzada de Siege-Weil de [GQT14] obtenim una expressió explícita per a la integral truncada de la funció theta de Siegel. L'aplicació principal d'aquest resultat és una fórmula explícita per a la integral del logaritme de les formes de Borcherd. El resultat implica diferents valors zeta i coeficients de la sèrie d'Eisenstein. Completa el treball de [Kud03]. A més de la fórmula esmentada per a la integral de la funció theta, es requereix una anàlisi detallada de la funció theta de Siegel prop de l'infinit. El segon capítol és una ampliació del treball amb Antonio Cauchi a [CT]. L'objectiu d'aquesta part és doble. D'una banda, sota algunes condicions, mostrem que la multiplicitat del model de Shalika de representacions no ramificades per al grup GU(2, 2) és una. Utilitzant aquest resultat i seguint les idees de [Sak06], podem trobar una expressió de la funcional de Shalika en termes del paràmetre Satake d'una representació en GSp4. D'altra banda, utilitzem aquest resultat i per establir una relació entre una integral zeta per a un grup GU(2,2) i una funció L estàndard retorçada de GSp4, on la relació entre les representacions automòrfiques implicades ve donada pel theta. correspondència.

Director(s) de tesi: Victor Rotger Cerdà i Gerard Freixas i Montplet

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi tracta de l'estudi de varietats invariants i òrbites periòdiques de sistemes dinàmics discrets i continus. La memòria està dividida en dues parts que es poden llegir de manera independent. La primera part (Capítols 1-6) està dedicada a l'estudi de varietats invariants associades a punts parabòlics i toris invariants parabòlics. La segona part (Capítols 7-9) es refereix a l'estudi de les òrbites periòdiques de sistemes dinàmics sobre varietats. En els capítols 2 i 3 estudiem l'existència i regularitat de varietats invariants de mapes planars amb un punt fix parabòlic amb part nilpotent mitjançant el mètode de parametrització. L'estudi es fa per a mapes analítics i per a mapes infinitament diferenciables. En el cas analític, demostrem l'existència d'una varietat analítica invariant unidimensional en condicions adequades sobre els coeficients dels termes no lineals del mapa. En el cas diferenciable, demostrem que si la regularitat del mapa és més gran que algun valor, aleshores existeix una varietat invariant de la mateixa regularitat, lluny del punt fix. En el capítol 4 considerem un problema anàleg com en els capítols 2 i 3, però per a camps vectorials plans. Presentem els resultats de l'existència de corbes invariants d'aquests camps vectorials utilitzant els resultats dels capítols anteriors i el fet que, en condicions adequades, les varietats invariants d'un camp vectorial són les mateixes que les varietats invariants del seu flux de temps-t. . En els capítols 5 i 6 considerem mapes i camps vectorials que tenen un torus invariant parabòlic d-dimensional amb part nilpotent. En aquest context, donem condicions sobre els coeficients dels termes no lineals del mapa (resp. camp vectorial) sota el qual el tor invariant posseeix varietats invariants estables i inestables. També considerem el mateix problema per a camps vectorials no autònoms que depenen quasi periòdicament del temps, i presentem algunes aplicacions dels nostres resultats. Tots els resultats de l'existència de varietats invariants s'especifiquen en dos passos. En el primer pas presentem un algorisme per calcular una aproximació d'una parametrització de la varietat invariant. En el segon pas, presentem un resultat «a posteriori», que assegura que existeix una veritable varietat invariant propera a aquesta aproximació. Combinant els dos resultats s'obté l'existència d'una varietat invariant que queda ben aproximada per la parametrització proporcionada en el primer pas. Al capítol 8 fem servir els nombres de Lefschetz i la funció zeta de Lefschetz per obtenir informació sobre el conjunt de períodes de certs difeomorfismes en varietats compactes. Considerem la classe de diffeomorfismes Morse-Smale definits a l'esfera n-dimensional, als productes de dues esferes de dimensió arbitrària, a l'espai projectiu complex n-dimensional i a l'espai projectiu al quaternió n-dimensional. A continuació, es descriuen els conjunts mínims de períodes de Lefschetz per a aquests difeomorfismes Morse-Smale, que és un subconjunt del conjunt de períodes que es conserven sota l'equivalència d'homotopia. Finalment, al capítol 9 estudiem l'existència de cicles límit de camps vectorials lineals en varietats. És ben sabut que els camps vectorials lineals en R^n no poden tenir cicles límit, perquè o bé no tenen òrbites periòdiques o les seves òrbites periòdiques formen un continu. En aquest capítol, mostrem que els camps vectorials lineals definits en algunes varietats diferents de R^n poden tenir cicles límit i considerem la qüestió de quants cicles límit poden tenir com a màxim.

Director(s) de tesi: Ernest Fontich Julià i Jaume Llibre

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

La iteració racional és l'estudi del comportament asimptòtic de les seqüències donades pels iterats d'un mapa racional sobre l'esfera de Riemann. Segons la teoria de Montel sobre les famílies normals, l'espai de fases (també anomenat pla dinàmic) es divideix completament en dos conjunts de variants coneguts com el conjunt de Fatou (un conjunt obert on la dinàmica és domesticada) i el conjunt de Julia (un conjunt tancat on la dinàmica és caòtica). El tema principal d'aquesta tesi és l'estudi de la connectivitat dels components de Fatou per a determinades famílies de mapes racionals. D'una banda, considerem una família de pertorbacions singulars i ampliem els resultats anteriors sobre pertorbacions singulars dels productes de Blaschke. El resultat principal és mostrar que els plans dinàmics dels mapes corresponents presenten components de Fatou de connectivitat arbitràriament grans i determinen precisament aquestes connectivitats. D'altra banda, considerem un problema diferent relacionat amb els algorismes de recerca d'arrel. Més precisament, estudiem els mètodes Chebyshev-Halley aplicats a una família simètrica de polinomis de grau arbitrari. L'objectiu principal és mostrar l'existència de paràmetres de manera que les conques d'atracció immediates corresponents a les arrels de la unitat estiguin infinitament connectades. A més, també demostrem que el pla dinàmic corresponent conté una component connectada del conjunt de Julia, que és una deformació quasiconforrnal del conjunt de Julia del mapa obtingut aplicant el mètode de Newton.

Director(s) de tesi: Xavier Jarque Ribera i Jordi Canela Sánchez

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

La tesi desenvolupa una metodologia incipient per estudiar les bifurcacions de corbes invariants en sistemes discrets unidimensionals i quasi periòdics, basada en teoremes de corbes traduïdes i teoria KAM. la línia real és la fibra, però tant la metodologia com els resultats es poden adaptar fàcilment a tori de dimensions superiors (la dimensió és el nombre de freqüències externes). Els sistemes en si són mapes de paquets sobre translacions en el torus amb freqüències d. sobre translacions al torus amb freqüències d. La metodologia inclou la teoria KAM, la teoria de la bifurcació i els teoremes de corbes traduïdes (a l'esperit de Moser, Rüßmann, Herman, Delshams i Ortega). En el projecte s'obtenen resultats rigorosos en format a posteriori sobre l'existència de famílies de tori traduïts en el marc analític, establint una metodologia per estudiar les bifurcacions de tori traduïts. El format a posteriori és adequat per desenvolupar càlculs numèrics rigorosos. Complementàriament, s'han implementat a l'ordinador els algorismes derivats del procés iteratiu associat a aquesta metodologia.

Director(s) de tesi: Àlex Haro Provinciale i Ernest Fontich Julià

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

El problema dels 3 cossos (3BP) modela el moviment de tres cossos que interactuen mitjançant la gravitació newtoniana. S'anomena restringit quan un cos té massa zero i els altres dos, els primaris, tenen masses estrictament positives. A la regió de l'espai de fases on un cos està lluny dels altres dos (els primaris per al cas restringit), ambdós models es poden estudiar com un sistema hamiltonià gairebé integrable. Aquest és l'anomenat règim jeràrquic. La present tesi tracta de l'existència de moviments inestables, en el 3BP i/o les seves versions restringides. Més concretament, s'analitza l'existència d'inestabilitat topològica, conjunts hiperbòlics no trivials i moviments oscil·latoris (òrbites completes il·limitades però que tornen infinitament sovint a alguna regió acotada). D'una banda, Herman va encunyar l'existència d'una (una forma forta de) inestabilitat topològica en el problema del cos N com "la qüestió més antiga dels sistemes dinàmics". D'altra banda, els moviments oscil·latoris són l'únic tipus de moviments complets per a la 3BP que no estan presents en l'aproximació integrable. La seva connexió amb l'existència de conjunts hiperbòlics no trivials ha conduït a la formulació de conjectures fonamentals, encara no resoltes, sobre la seva abundància. Establim l'existència de la difusió d'Arnold, un mecanisme robust que condueix a la inestabilitat topològica, a la 3BP restringida per a qualsevol valor de les masses de les primàries. La cadena de transició que condueix a la difusió d'Arnold es construeix a la regió jeràrquica. Ampliem un resultat anterior de Kaloshin, Delshams, De la Rosa i Seara, que s'aplicava a una proporció de massa arbitràriament petita. El seu entorn, que aprofita el truc, utilitzat per Arnold en el seu article original, de fer ús de dos paràmetres pertorbatius, condueix a un model a priori inestable. En el nostre entorn, ens enfrontem a alguns dels reptes presents en sistemes estables a priori. Presentem diversos resultats sobre l'existència de moviments oscil·latoris i conjunts hiperbòlics no trivials en el problema del cos 3 restringit i no restringit. En primer lloc, desenvolupem noves eines que combinen idees geomètriques amb tècniques variacionals per demostrar que existeixen moviments oscil·latoris en el 3BP restringit en un règim no gairebé integrable. En segon lloc, mostrem l'existència de conjunts hiperbòlics no trivials i moviments oscil·latoris a la 3BP per a tots els valors de les masses. El conjunt hiperbòlic no trivial, contingut en un subconjunt de la regió jeràrquica on els cossos interns realitzen moviments aproximadament circulars, s'associa a una intersecció transversal entre les varietats estables i inestables d'una varietat invariant normalment hiperbòlica. L'existència de direccions centrals complica molt tant l'anàlisi de l'existència d'interseccions transversals entre aquestes varietats invariants com la construcció de la ferradura. L'aportació de l'autor se centra a completar el primer d'aquests dos passos. Finalment, s'estudia l'existència de la difusió d'Arnold en el 3BP per a tots els valors de les masses. La robustesa del mecanisme que utilitzem per demostrar l'existència d'Arnold Diffusion a la 3BP restringida implica que la cadena de transició obtinguda admet una continuació en la 3BP si una massa és prou petita. La diferència substancial quan les masses estan fixes és que es pot construir una cadena de transició al llarg de la qual hi ha un intercanvi significatiu d'impuls entre els cossos interiors i externs, donant lloc a un gran canvi de l'excentricitat dels cossos interiors. Això requereix molt més treball que en la nostra construcció de la cadena de transició a la 3BP restringida i la nostra construcció de conjunts hiperbòlics per a la 3BP. El primer pas per establir aquest resultat, que constitueix el tema de l'últim capítol d'aquesta tesi, és l'anàlisi de l'anomenada aproximació de Melnikov associada a la cadena de transició esmentada anteriorment.

Director(s) de tesi: Marcel Guàrdia Munarriz i Teresa Martínez-Seara Alonso

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La distribució de Poisson representa un punt de referència per modelar dades de recompte, ja sigui en el cas d'observacions independents, amb mesures repetides o en presència de factors aleatoris. Però a la pràctica, les limitacions apareixen en l'anàlisi d'aquest tipus de dades en dissenys experimentals complexos. D'una banda, la distribució té la restricció que les dades ajustades han d'estar equidisperses, cosa que no és habitual i requereix la consideració de distribucions més complexes. D'altra banda, és difícil comparar propostes alternatives, quantificar la bondat d'ajust o validar els supòsits del model, a causa de la naturalesa de les eines de modelització. L'objectiu general d'aquesta tesi doctoral és descriure les principals estratègies per a l'anàlisi de dades de recompte amb mesures repetides, incidint en les seves limitacions pràctiques, i a més, introduir noves propostes complementàries. En primer lloc, es revisen les principals tècniques de modelització utilitzades en la pràctica estadística: models lineals, models lineals generalitzats, models mixts i models lineals mixts generalitzats, amb especial èmfasi en el cas de les dades de recompte. Es presenta la formulació corresponent juntament amb detalls sobre els procediments d'ajust, validació i tasques inferencials. En relació amb els models lineals mixtes i els models mixts lineals generalitzats, es destaquen dues visions oposades de la modelització: el model condicional i el model marginal, que donen lloc a certa controvèrsia. En aquest sentit, es presenten diferents casos pràctics per exemplificar aquestes estratègies de modelització i les seves limitacions: l'estudi dels accidents de trànsit a diferents cruïlles de la ciutat de Barcelona sota determinades intervencions preventives, mitjançant models mixtes lineals generalitzats condicionals i l'anàlisi de l'impacte. de targetes vermelles sobre el nombre de gols marcats en diferents partits de futbol utilitzant models mixtes lineals generalitzats marginals. Finalment, es presenten estratègies alternatives per modelar dades de recompte en experiments amb subrèplicats mitjançant estadístiques d'ordre de distribucions discretes.

Director(s) de tesi: Pere Puig Casado

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Una vela solar és un mètode de propulsió de naus espacials que només utilitza la pressió de radiació solar (SRP). L'objecte principal d'investigació d'aquesta tesi és una nau espacial de vela solar en les òrbites del punt de libració creades artificialment. Proposa una estratègia per realitzar maniobres impulsives canviant els paràmetres de la vela. Els principals resultats nous són els següents: 1. Càlcul de punts de libració artificial en funció dels paràmetres d'una vela solar (angle del con α, angle del rellotge δ i nombre de lleugeresa β). L'SRP és una acceleració repulsiva addicional al CR3BP. Com a resultat, els punts d'equilibri CR3BP L1, L2...L5 es desplacen de les seves posicions originals. Els nous punts SL1, SL2...SL5 corresponen a posicions del sistema rotatiu on s'equilibren les forces gravitatòries, centrífugues i SRP. Aquests punts es poden representar en funció dels paràmetres de la vela α, δ i β. Determinació i ajust dels paràmetres de la vela solar, càlcul de maniobres d'impuls i la seva aplicació a transferències d'òrbita heteroclínica entre òrbites de Lissajous més una anàlisi de sensibilitat dels paràmetres de la maniobra per a transferències d'òrbita. La dinàmica de les maniobres de veles solars és conceptualment diferent de les maniobres de control clàssiques, que es basen només en canvis impulsius a la velocitat d'una nau espacial. Les òrbites de vela solar són contínues tant en posició com en velocitat en un camp vectorial variable, la qual cosa obre la possibilitat de l'existència de connexions heteroclíniques canviant el camp vectorial amb una maniobra de vela. A partir d'una anàlisi acurada de la geometria de l'espai de fases de les equacions lineals de moviment al voltant dels punts d'equilibri, els punts clau són la identificació dels principals paràmetres dinàmics i la representació de les solucions mitjançant les variables d'angle d'acció. S'han identificat les propietats dinàmiques bàsiques de les famílies de connexió, presentant noves opcions sistemàtiques per a l'anàlisi de la missió en el règim de punts de libració. A partir del mètode proposat per fer maniobres d'impuls, aquesta tesi ha dut a terme una investigació extensa: (1) Aplicant una maniobra d'un sol impuls, dues naus espacials poden arribar a la mateixa òrbita final de Lissajous tot i partir de diferents fases inicials. (2) Es proposa una estratègia de transferència que utilitza maniobres multiimpulsos. Es fixen els paràmetres inicials i finals de la vela solar. (3) Una nau espacial pot utilitzar maniobres de múltiples impulsos per fer salts d'anada i tornada entre les òrbites inicials i finals del punt de libració artificial. 2. Evitar zones prohibides considerant maniobres impulsives amb la vela. Hi ha una zona semblant a un cilindre al voltant de l'eix Sol-Terra on la radiació electromagnètica solar és especialment forta. El punt de libració L1 es troba en aquest eix i es troba entre els dos cossos. La mitja ombra de la Terra a la regió L2 també pot impedir que una nau espacial obtingui energia solar. Ambdós problemes es poden modelar col·locant una zona prohibida o d'exclusió al pla YZ (al voltant del punt de libració), que no s'ha de creuar. Per simplificar i visualitzar l'evitació de zones prohibides, aquesta tesi projecta les zones prohibides en 3D en l'anomenat pla de fase efectiva (PPE), que té la dimensió 2. 3. Estacionament d'una vela solar que es mou al llarg d'una òrbita de Lissajous. El procediment de manteniment de l'estació dissenyat realitza periòdicament una maniobra per evitar que la nau espacial s'escapi d'una determinada òrbita de Lissajous. La maniobra es calcula de manera que anul·li el component inestable de l'estat. A més, s'assumeix que hi ha un error aleatori en l'execució de la maniobra. Tenint en compte les maniobres realitzades cada mes, mostrem que la nau espacial pot romandre a prop dels punts de libració artificials durant almenys 5 anys, la qual cosa demostra que el manteniment de la posició mitjançant reorientacions de les veles per produir múltiples impulsos pot ser eficaç.

Director(s) de tesi: Josep Masdemont Soler, Yue Xiokui i Gerard Gómez Muntané

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

En aquest treball, s'estudia la funció de període per a famílies fixes de camps vectorials diferencials a trossos amb una línia de discontinuïtats. Aquests sistemes, anomenats indistintament a trossos o no suaus, apareixen en diverses aplicacions, entre d'altres, el control òptim, la mecànica no suau i la manipulació robòtica. Per a una família, utilitzant un mètode basat en equacions de Picard-Fuchs per a corbes algebraiques, caracteritzem el comportament global de la funció període. És a dir, determinem regions de l'espai de paràmetres per a les quals la funció de període corresponent és monòtona o té períodes crítics. A més, en una d'aquestes famílies s'estudia la bifurcació dels períodes crítics a l'interior de l'anell del període des del centre feble i del centre isòcron mitjançant el càlcul dels desenvolupaments de Taylor de les constants dels períodes propers al centre. A més, presentem l'inici de l'estudi del comportament global de la funció de període per al sistema lineal a trossos pla que conté un anell de període a l'infinit.

Director(s) de tesi: Alex Carlucci Rezende i Joan Torregrosa Arús

universitat: Universitat Federal de São Carlos

abstracte

La idea de Terraformation prové de la literatura de ciència ficció, on els humans tenen la capacitat de canviar un planeta no habitable per un de semblant a la Terra. Avui dia, la natura canvia ràpidament, els pols es fonen, la biodiversitat dels oceans s'esvaeix a causa de la contaminació per plàstics i els deserts avancen a un ritme imparable. Aquesta tesi és un primer pas cap a l'exploració de noves estratègies que puguin servir per canviar aquestes tendències pernicioses que comprometen els ecosistemes. Suggerim que no només és possible afegint noves espècies (espècies exòtiques), sinó també enginyeria d'espècies microbianes autòctones que ja estan adaptades al medi. Aquesta enginyeria pot millorar les seves funcions i capacitats permetent-los recuperar l'ecosistema (amfitrió) després de la seva reintroducció. Aquestes noves funcionalitats haurien de fer que els microbis siguin capaços d'induir un canvi de baix a dalt en l'ecosistema: de la microescala (microambient) a la macroescala (fins i tot canviant la composició de les espècies en tot l'ecosistema). Per fer-ho possible, l'anomenada estratègia de Terraformació ha de fusionar molts camps de coneixement diferents. L'objectiu d'aquesta tesi es basa en l'estudi del resultat de les interaccions entre les espècies i el seu entorn (Ecologia), en fer les modificacions desitjades mitjançant l'enginyeria genètica de les espècies de tipus salvatge (Biologia sintètica) i en el seguiment de l'avaluació de la estats actuals dels ecosistemes, provant els possibles canvis i predint el desenvolupament futur de possibles intervencions (sistemes dinàmics). Per fer-ho, en aquesta tesi hem recollit les eines que ens aporten aquests diferents àmbits de coneixement. La metodologia es basa en bucles entre observació, disseny i predicció. Per exemple, si hi ha una manca d'humitat als ecosistemes semiàrids, llavors proposem dissenyar, p. Nostoc sp. per millorar la seva capacitat de produir matriu extracel·lular (augment de la retenció d'aigua). Amb aquest marc, realitzem un model per entendre les diferents dinàmiques possibles, mitjançant equacions dinàmiques per avaluar, p. quan una soca sintètica romandrà a l'ecosistema i els efectes que produirà. També hem estudiat models espacials per predir la seva capacitat per modificar l'organització espacial de la vegetació. La dinàmica transitòria depèn del tipus de transició subjacent al punt d'inflexió que es produeix. Per aquest motiu, hem estudiat diferents sistemes: dinàmica de vegetació amb facilitació (típica de secà), un sistema cooperador-paràsit i un model de cadena tròfica on es poden provar diferents intervencions humanes (és a dir, caça, desforestació, degradació del sòl, destrucció d'hàbitats). Es demostra que tots aquests sistemes promouen diferents tipus de transicions (és a dir transicions suaus i catastròfiques). Cada transició té la seva pròpia empremta digital dinàmica i, per tant, conèixer-les pot ajudar a controlar i anticipar aquestes transicions fins i tot abans que es produeixin, aprofitant els anomenats senyals d'alerta primerenca. En aquest viatge, hem descobert que els transitoris poden ser un fenomen important en el món canviant actual. Els ecosistemes que observem poden estar atrapats en un règim aparentment estable, però de fet estar en una situació inestable que condueix a un futur col·lapse sobtat (Fig. 1). Per aquest motiu, necessitem investigar nous mètodes d'intervenció capaços de sostenir els ecosistemes actuals, per exemple: la terraformació.

Director(s) de tesi: Ricard Solé, Josep Sardanyés i Núria Conde

universitat: Universitat Pompeu Fabra

abstracte

La matriu G és un resum estadístic de la base genètica d'un conjunt de trets i un pilar central de la genètica quantitativa. Una controvèrsia persistent és si G canvia lentament o ràpidament amb el temps. L'evolució de G és important perquè afecta la capacitat de predir, o reconstruir, l'evolució per selecció. Els estudis empírics han trobat resultats contradictoris sobre la rapidesa amb què evoluciona G. El treball teòric s'ha desenvolupat en gran mesura sota el supòsit que la relació entre la variació genètica i la variació fenotípica —el mapa genotip-fenotip (GPM)— és lineal. Sota aquesta hipòtesi, s'espera que G es mantingui constant durant llargs períodes de temps. Tanmateix, segons la biologia del desenvolupament, el GPM sol ser complex i no lineal. Aquí, utilitzem un model GPM basat en el desenvolupament d'un òrgan pluricel·lular per estudiar com evoluciona G. Trobem que G pot canviar relativament ràpid i de diferents maneres qualitatives, que descriurem amb detall. Els canvis poden ser especialment grans quan la població es creua entre regions del GPM que tenen propietats diferents. Això pot provocar que la variància genètica additiva en la direcció de la selecció fluctuï amb el temps i fins i tot augmenti malgrat l'efecte erosionador de la selecció.

Director(s) de tesi: Isaac Salazar

universitat: Universitat d'Hèlsinki

abstracte

L'angiogènesi, la formació de nous vasos sanguinis a partir dels preexistents, és essencial per al desenvolupament normal i té un paper crucial en patologies com el càncer, la diabetis i l'aterosclerosi. Malgrat la investigació extensa, molts aspectes de com broten nous vasos de la vasculatura existent encara no estan clars. Els resultats experimentals recents indiquen que les cèl·lules endotelials, que recobreixen les parets internes dels vasos sanguinis, es reorganitzen dins dels vasos en creixement i que l'allargament dels brots està dominat per la barreja cel·lular durant les primeres etapes de l'angiogènesi. S'ha demostrat que els reordenaments cel·lulars estan regulats per l'adaptació dinàmica de l'expressió gènica cel·lular o fenotip cel·lular. Tanmateix, la majoria dels models teòrics d'angiogènesi no tenen en compte aquests fenòmens i, en canvi, assumeixen que les posicions cel·lulars són fixes i que el fenotip cel·lular és irreversible durant la germinació. En aquesta tesi, formulem un model multiescala de germinació angiogènica impulsada per reordenacions cel·lulars dinàmiques. El nostre model té en compte la barreja cel·lular que està regulada per un model estocàstic de senyalització subcel·lular vinculada al canvi de fenotip. Inicialment ens centrem en la germinació angiogènica primerenca quan els efectes de la proliferació cel·lular són insignificants. Validem el nostre model amb les dades experimentals disponibles. A continuació, l'utilitzem per desenvolupar una mesura per quantificar la quantitat de reordenació cel·lular que es produeix durant la germinació i investigar com canvia l'estructura de ramificació de les xarxes vasculars a mesura que varia el nivell de mescla cel·lular. Els nostres resultats suggereixen que la barreja cel·lular afecta directament la morfologia de les vasculatures en creixement. En particular, els reordenaments de cèl·lules endotelials amb fenotips diferents poden provocar canvis en l'estructura de la xarxa, ja que l'adaptació del fenotip cel·lular és més lenta que la migració cel·lular. La mescla cel·lular també contribueix a la remodelació de la matriu extracel·lular que, al seu torn, guia el creixement vascular. Per tal d'investigar els efectes de la proliferació cel·lular, que opera en escales de temps més llargues que la migració cel·lular, primer desenvolupem un mètode, basat en la teoria de grans desviacions, que ens permet reduir la complexitat computacional del nostre model híbrid multiescala mitjançant el gran gruixut de l'interior. dinàmica dels seus agents cel·lulars. El mètode de gra gruixut (CG) és aplicable a sistemes en què el comportament de l'agent és descrit per sistemes estocàstics amb múltiples estats estacionaris estables. La tècnica CG redueix el sistema estocàstic original a un procés de salt de Markov en l'espai dels seus estats estacionaris estables. El nostre mètode CG conserva la descripció original dels estats de l'agent (en lloc de convertir-los en discrets) i les transicions estocàstiques entre ells, alhora que redueix considerablement la complexitat computacional de les simulacions de models. Després de formular el mètode CG per a una classe general de models híbrids, il·lustrem el seu potencial aplicant-lo al nostre model d'angiogènesi. Examinem el model subcel·lular, que determina l'especificació del fenotip cel·lular. Això redueix substancialment el cost computacional de les simulacions. A continuació, ampliem el nostre model per tenir en compte la proliferació cel·lular i el validem mitjançant les dades experimentals disponibles. Aquest marc ens permet estudiar el creixement de la xarxa en escales de temps associades a l'angiogènesi in vivo i investigar com la variació de la taxa de proliferació cel·lular afecta el creixement de la xarxa. En resum, aquest treball proporciona una nova visió dels complexos comportaments cel·lulars que impulsen la germinació angiogènica. Alhora, fa avançar el camp de la modelització teòrica mitjançant la formulació d'un mètode de granularitat gruixuda, que obre el camí per a una reducció sistemàtica de models híbrids multiescala.

Director(s) de tesi: Tomás Alarcon , Helen M. Byrne i Philip K. Maini

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En la tesi considerem una major regularitat dels límits lliures en diferents variacions del problema d'obstacles, és a dir, quan l'operador de Laplace b. es substitueix per un altre operador el·líptic o parabòlic. En el problema d'obstacles fraccionaris amb deriva (L = (-'6.)8 + b · v'), demostrem que per a b constant i irracional s > ½ la frontera lliure és C00 prop de punts regulars sempre que l'obstacle sigui C00. Per fer-ho, establim desigualtats de Harnack de límit d'ordre superior per a equacions lineals. Això dóna un argument d'arrencada, ja que la normal de la frontera lliure es pot expressar amb quocients de derivades de solució del problema d'obstacles. A més, establim l'estimació de límit de Harnack per a operadors parabòlics lineals (L = Ot – b.) en dominis parabòlics C1 i C1•°' i donem una nova prova de l'estimació de límit d'ordre superior de Harnack en dominis ck,a. De la mateixa manera que en el problema d'obstacles fraccionaris amb deriva, això implica que el límit lliure en el problema d'obstacles parabòlics és C00 prop de punts regulars. També s'estudia la regularitat del límit lliure en el problema d'obstacles fraccionaris parabòlics (L = Ot + (-b.)8) en els casos > ½- Som capaços de demostrar una estimació de Harnack del límit en dominis C1•°', que millora la regularitat del límit lliure de C1•°' a C2•°'. Finalment, establim la teoria de regularitat completa per a límits lliures en problemes d'obstacles parabòlics totalment no lineals. Concretament trobem la divisió del límit lliure en punts regulars i singulars, mostrem que prop de punts regulars el límit lliure és localment un gràfic d'una funció C00, i que els punts singulars són "rars": es poden cobrir amb un Lipschitz. varietat de co-dimensió 2, que és arbitràriament plana en l'espai.

Director(s) de tesi: Xavier Ros-Oton

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

Els resultats d'aquesta tesi es refereixen a temes extremals i probabilístics en entorns teòrics de nombres. Demostrem condicions suficients quan certs tipus de solucions senceres de sistemes lineals d'equacions en conjunts aleatoris binomials es distribueixen amb normalitat, els resultats en l'estructura aproximada típica de parells de subconjunts enters amb una cardinalitat de suma determinada, així com els límits superiors de la mida de família de conjunts enters que defineixen conjunts de sumes diferents per parelles poden ser. Per tal de demostrar el resultat estructural típic en parells de conjunts enters, també establim una nova versió multipartida del mètode dels contenidors hipergràfics, generalitzant el treball anterior de Morris, Saxton i Samotij.

Director(s) de tesi: Oriol Serra i Juan Jose Rue

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi tracta de la complexitat de la demostració de sistemes de demostració algebraics i semialgebraics Càlcul polinomial, Sumes de quadrats i Sherali-Adams. La mesura de complexitat més estudiada per a aquests sistemes és el grau de les demostracions. Aquesta tesi es concentra en altres possibles mesures de complexitat d'interès per demostrar la complexitat, la mida del monomi i la complexitat de bits. Pretenem demostrar que també hi ha una teoria raonablement ben comportada per a aquestes mesures. En primer lloc, lligem les mesures de complexitat del grau i la mida del monomi demostrant una compensació mida-grau per a Sums de quadrats i Sherali-Adams. Mostrem que si hi ha una refutació amb com a màxim s molts monomis, aleshores hi ha una refutació el grau de la qual és d'ordre arrel quadrada de n log s més k, on k és el grau màxim de les restriccions i n és el nombre de variables. . Per al càlcul polinomial, Impagliazzo, Pudlák i Sgall van obtenir una compensació similar. En segon lloc, demostrem una propietat d'interpolació factible per als tres sistemes. Mostrem que per a cada sistema hi ha un algorisme de temps polinomial que donat dos conjunts P(x,z) i Q(y,z) de restriccions polinomials en successions disjuntes x,y i z de variables, una refutació de la unió de P (x,z) i Q(y,z), i una assignació a a les variables z, troba una refutació de P(x,a) o una refutació de Q(y,a). Finalment considerem la relació entre la mida del monomi i la complexitat de bits en el càlcul polinomial i la suma de quadrats. Mostrem que hi ha un conjunt insatisfactori de restriccions polinomials que té refutacions tant de càlcul polinomial com de suma de quadrats de mida de monomi polinomi, però per a les quals qualsevol refutació de càlcul polinomi o de suma de quadrats requereix complexitat de bits exponencial. A més de l'èmfasi en les mesures de complexitat diferents del grau, un altre tema unificador en els tres resultats és l'ús de caracteritzacions semàntiques de proves i refutacions limitades per recursos. Tots els resultats fan un gran ús de les propietats d'exhaustivitat d'aquestes caracteritzacions. Amb tot, el treball sobre aquestes caracteritzacions semàntiques es presenta com la quarta aportació central d'aquesta tesi.

Director(s) de tesi: Albert Atserias

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

El 2016 H. Matui va conjecturar que els grups K de l'àlgebra C* associats a un grupoide d'étale mínim efectiu, amb un conjunt de Cantor com a espai unitari, es podrien calcular com la suma directa infinita dels grups d'homologia d'un grupoide donat. Tot i que E. Scarparo va trobar un contraexemple el 2020, l'estudi de les condicions suficients i/o necessàries perquè la conjectura es mantingui segueix sent rellevant. L'objectiu principal d'aquesta tesi és aprofundir encara més en el coneixement d'aquesta conjectura, aportant-ne alguns exemples i contraexemples i, el que és més important, desenvolupant noves tècniques per al càlcul d'invariants de grupoides. Les dues classes principals de grupoides implicades en el nostre treball són els de Deaconu-Renault i els autosimilars.

Director(s) de tesi: Pere Ara i Joan Bosa Puigredon

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquest treball generalitzem la construcció de funcions L anticiclotòmiques p-àdiques associades a una corba el·líptica E/F i una extensió quadràtica K/F, definint una mesura µ_f^p unida a K/F i una forma automòrfica. En el cas del paral·lel 2, la forma automòrfica s'associa a una corba el·líptica E/F. El primer resultat principal és una fórmula p-àdica de Gross-Zagier: si E té una reducció multiplicativa dividida a p i p no es divideix a K/F, calculem la primera derivada de la funció L p-àdica relacionant-la amb la diferència conjugada d'un punt de Darmon retorçat per un caràcter ¿. La demostració utilitza el mapa de reciprocitat proporcionat per la teoria de camps de classe com una forma natural d'interpretar les diferències conjugades de punts en E(Kp) com a elements en l'augment ideals per a l'aluació en el caràcter ¿. Això generalitza un resultat de Bertolini i Darmon. Amb un argument similar, després de descobrir el treball de Fornea i ehrmann sobre punts plèctics, demostrem una fórmula zero excepcional que relaciona una derivada d'ordre superior de En aquest treball generalitzem la construcció de funcions L anticiclotòmiques p-àdiques associades a una corba el·líptica. E/F i una extensió quadràtica K/F, definint una mesura µ_f^p unida a K/F i una forma automòrfica. En el cas del paral·lel 2, la forma automòrfica s'associa a una corba el·líptica E/F. El primer resultat principal és una fórmula p-àdica de Gross-Zagier: si E té una reducció multiplicativa dividida a p i p no es divideix a K/F, calculem la primera derivada de la funció L p-àdica relacionant-la amb la diferència conjugada d'un punt de Darmon retorçat per un caràcter ¿. La demostració utilitza el mapa de reciprocitat proporcionat per la teoria de camps de classe com una forma natural d'interpretar les diferències conjugades de punts en E(Kp) com a elements en l'augment ideals per a l'avaluació en el caràcter ¿. Això generalitza un resultat de Bertolini i Darmon. Amb un argument similar, després de descobrir el treball de Fornea i Gehrmann sobre els punts plèctics, demostrem una fórmula zero excepcional que relaciona una derivada d'ordre superior de µ_f^S amb punts plèctics. Trobem una mesura d'interpolació µ_F^p per a µ_f^p adjunta a una família Hida d'interpolació F per a f. Aquí µ_F^p es pot considerar com una funció L p-àdica de dues variables, que ara inclou el pes com a variable. Aleshores definim la funció L p-àdica de Hida-Rankin Lp(f^p, ¿, k) com la restricció de µ_F^p a l'espai de pes. Finalment, demostrem una fórmula que relaciona el terme principal de pes de Lp(f^p, ¿, k) amb punts plèctics. En resum, el terme principal és una constant explícita multiplicada pels factors d'Euler per el logaritme de la traça d'un punt plectic. Aquesta fórmula és una generalització d'un resultat de Longo, Kimball i Hu, que s'ha utilitzat per demostrar la racionalitat d'un punt de Darmon sota algunes hipòtesis.

Director(s) de tesi: Santiago Molina i Víctor Rotger

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

En aquesta tesi s'estudien les estructures de Poisson en països de mòduls i en accions grupals. En particular, l'atenció se centra en les estructures b^m-simplèctiques, que es poden veure com estructures simplèctiques amb singularitats o també amb un tipus particular d'estructures de Poisson. També estudie les estructures de Poisson en varietats de caràcters associats a equacions diferencials fúcsianes i el comportament d'aquestes estructures de Poisson sota la confluència de singularitats. En el cas de les varietats b^m-simplèctiques, considereu diverses classes d'accions grupals, començant per les b^m-accions hamiltonianes, una generalització natural de les funcions de moment hamiltonianes en un context simplèctic singular. Després, Generalitzem es va enfrontar a més que això, va notar singulars accions grupals quasi hamiltonianes. Aquesta atrevida generalització ve motivada per aquelles accions grupals que conserven l'estructura ab^m-simplèctica a la varietat però no admeten una funció de moment convencional. Utilitzem ambdues funcions de moment (b^m-Hamiltoniana i quasi-Hamiltoniana singular) per demostrar una generalització corresponent del teorema de reducció de Marsden-Weinstein, demostrant que en l'entorn singular, el procediment de reducció elimina la singularitat. Demostrem un teorema del tall singular com a primer pas per a la demostració de la reducció. Mostrem que la reducció singular de Marsden-Weinstein admet la reducció “per etapes” i es desplaça amb el procediment de desingularitat. per la correspondència Riemann-Hilbert. En primer lloc, considerem diversos casos en què la correspondència de Riemann-Hilbert es pot resoldre explícitament en una corba el·líptica. A continuació, passem al cas dels transcendents de Painlevé sobre l'esfera de Riemann. En particular, el Hamiltonià d'Okamoto per a la segona equació del te Painlevé és una estructura b-simplectica natural. Per a la resta d'equacions, l'estructura és més complicada. Comencem considerant les estructures de Poisson en l'espai de mòduls de plans de connexió i varietats de caràcters corresponents a equacions fucsianes, totes les singularitats són pols simples (en particular, Painlevé VI). Considereu estructures de Poisson per a les quals la correspondència de Riemann-Hilbert és un mapa de Poisson. També vaig estudiar estructures de Poisson relacionades amb l'equació de Painlevé V (3 pols: un d'ordre 2 i two simple pols)

Director(s) de tesi: Eva Miranda

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Emmarcada dins de les àrees de la geometria algebraica i l'àlgebra commutativa, aquesta tesi contribueix a l'estudi de faixos i paquets vectorials sobre varietats tòriques. Des de diferents perspectives, aprofitem la teoria de les varietats tòriques per abordar dos problemes principals: una millor comprensió de l'estructura de les garbes equivariants en una varietat tòrica, i la conjectura d'EinLazarsfeld-Mustopa sobre l'estabilitat dels paquets sizigics en varietats projectives. Després d'un capítol preliminar 1, el nucli d'aquesta tesi es desenvolupa en tres capítols principals. La línia argumental comença amb l'estudi de les garbes lliures de torsió equivariants, i evoluciona cap a l'estudi de les garbes reflexives equivariants amb una aplicació al problema de trobar paquets d'Ulrich equivariants en una varietat tòrica projectiva. Finalment, acabem aquesta tesi abordant l'estabilitat dels paquets sizigics en determinades varietats tòriques completes llises i el seu espai mòdul, contribuint a la conjectura d'Ein-Lazarsfeld-Mustopa. Més precisament, el capítol 1 conté les definicions i nocions preliminars utilitzades en el cos principal d'aquest treball. Introduïm la noció de varietat tòrica i les seves característiques principals, destacant la noció d'anell de Cox i la correspondència algebraica entre mòduls i feixes. En particular, centrem la nostra atenció en les garbes equivariants d'una varietat tòrica. Recordem la construcció de Klyachko que descriu polees equivariants lliures de torsió mitjançant una família d'espais vectorials filtrats, i ho il·lustrem amb molts exemples. En el capítol 2, centrem la nostra atenció en l'estudi de les garbes lliures de torsió equivariants, connectades d'una manera molt natural a la teoria dels ideals monomis. Introduïm la noció d'un diagrama de Klyachko, que generalitza el diagrama clàssic d'escales d'un ideal monomi. Proporcionem molts exemples per il·lustrar els resultats al llarg de les dues seccions principals d'aquest capítol. Després de descriure mètodes per calcular el diagrama de Klyachko d'un ideal monomi, l'utilitzem per descriure el primer mòdul de cohomologia local, que mesura la saturació d'un ideal monomi. Finalment, apliquem la noció de diagrama de Klyachko al càlcul de la funció de Hilbert i del polinomi de Hilbert d'un ideal monomi. Com a conseqüència, caracteritzem tots els ideals monomis que tenen un polinomi de Hilbert constant, en termes de la forma del diagrama de Klyachko. El capítol 3 està dedicat a l'estudi de les garbes reflexes equivariants en una varietat tòrica completa llisa. Descrivim una família de polítops de gelosia que codifiquen com canvien les seccions globals d'una faixa reflexa equivariant a mesura que la girem per un paquet de línies. En particular, això proporciona un mètode per calcular el polinomi de Hilbert d'una faixa reflexa equivariant. Estudiem amb detall el cas de les varietats tòriques llises amb ventall desdoblador. Som capaços de donar límits per al grau inicial multigraduat i per a l'índex de regularitat multigradual d'una faixa reflexa equivariant en una varietat tòrica llisa amb ventall divisor. A partir d'aquest darrer resultat donem un mètode per calcular explícitament el polinomi de Hilbert d'una faixa reflexa equivariant en una varietat tòrica llisa amb ventall de divisió. Finalment, apliquem aquestes eines per presentar un mètode destinat a trobar paquets d'Ulrich equivariants en una superfície de Hirzebruch, i donem un exemple d'un paquet d'Ulrich equivariant de rang 3 a la primera superfície de Hirzebruch. El capítol 4 tracta l'estabilitat dels paquets sizigics en una varietat tòrica determinada. Contribuïm a la conjectura d'Ein-Lazarsfeld-Mustopa, demostrant l'estabilitat del paquet sizigi de qualsevol polarització d'una explosió d'un espai projectiu al llarg d'un subespai lineal. Finalment, estudiem la rigidesa dels fibrats de sizígia en aquest entorn, tots els quals corresponen a punts suaus en el seu espai de mòduls associat.

Director(s) de tesi: Rosa Maria Miró Roig

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

En aquesta tesi s'estudien diversos aspectes del semigrup de Cuntz associats a una àlgebra C*, així com els anomenats semigrups abstractes de Cuntz. En particular, analitzem el problema de rang per la classe d'àlgebres d'IA separables, obtenint una caracterització completa. També s'introdueix una noció de dimensió per als semigrups de Cuntz abstractes, que en el cas de funcions contínues en un espai topològic coincideix amb la dimensió de Lebesgue habitual. Aquesta dimensió també està relacionada amb la dimensió nuclear d'una àlgebra C*, i està demostrat que ambdues coincideixen en casos significatius. Es presta especial atenció al cas de dimensió zero, on es pot donar una caracterització d'aquests semigrups en termes de condicions de densitat d'alguns elements privilegiats. Finalment, s'introdueix la noció d'àlgebres C* disperses enlloc, i es demostra que és una classe molt àmplia, que inclou totes les àlgebres simples de dimensions infinites. Es donen diverses caracteritzacions d'aquest concepte, inclosa una descripció en termes de propietats de divisibilitat del semigrup de Cuntz. Aquesta noció està íntimament lligada a l'anomenat Global Glimm Problem, que també s'analitza a la tesi, donant una reformulació a través de condicions del semigrup de Cuntz.

Director(s) de tesi: Francesc Perera

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

El problema de tres cossos restringit modela el moviment d'un cos de massa insignificant sota la influència gravitatòria de dos cossos massius, anomenats primaris. Si els primaris fan moviments circulars i el cos sense massa és coplanar amb ells, es té el problema de 3 cossos circulars planars restringits (RPC3BP). En coordenades sinòdiques, és un sistema hamiltonià autònom de dos graus de llibertat amb cinc punts crítics, L3,……,L1, anomenats punts de Lagrange. El punt de Lagrange L5 és un punt crític del centre de sella que és colineal amb els primaris i es troba més enllà del més gran. Aquesta tesi se centra en l'estudi de les varietats unidimensionals inestables i estables associades a L3 i l'anàlisi de diferents fenòmens homoclínics i caòtics que les envolten. Suposem que la relació entre les masses de les primàries és petita. En primer lloc, obtenim una fórmula asimptòtica per a la distància entre les varietats inestables i estables de L3. Quan la relació entre les masses dels primaris és petita els valors propis associats a L3 tenen escales diferents, amb el mòdul dels valors propis hiperbòlics més petit que els el·líptics. A causa d'aquesta dinàmica de rotació ràpida, les varietats invariants de L3 estan exponencialment properes entre si pel que fa a la relació de masses i, per tant, les tècniques pertorbatives clàssiques (és a dir, el mètode Poincaré-Melnikov) no es poden aplicar. De fet, la fórmula per a la distància entre les varietats inestables i estables de L3 es basa en una constant de Stokes que ve donada per l'equació interna. Aquesta constant no es pot calcular analíticament, però les evidències numèriques mostren que és diferent de zero. Aleshores, es dedueix que no existeixen òrbites homoclíniques d'3 ronda, és a dir, connexions homoclíniques que s'acosten al punt crític només una vegada. El segon resultat de la tesi es refereix a l'existència d'òrbites homoclíniques de 1 rodones a L2, és a dir, connexions que s'acosten dues vegades al punt crític. Més concretament, demostrem que existeixen connexions de 3 rodones per a una seqüència específica de valors dels paràmetres de relació de massa. També obtenim una expressió asimptòtica per a aquesta seqüència. A més, demostrem que existeix un conjunt d'òrbites periòdiques de Lyapunov les varietats inestables i estables de dues dimensions es tallen transversalment. La família d'òrbites periòdiques de Lyapunov de L2 té un nivell d'energia hamiltonià exponencialment proper al del punt crític L3. Aleshores, segons el teorema homoclínic de Smale-Birkhoff, això implica l'existència de moviments caòtics (ferradura de Smale) en un barri exponencialment proper a L3 i les seves varietats invariants. A més, també demostrem l'existència d'un desplegament genèric d'una tangència homoclínica quadràtica entre les varietats inestable i estable d'una òrbita periòdica específica de Lyapunov, també amb un nivell d'energia hamiltonià exponencialment proper al de L3.

Director(s) de tesi: Marcel Guardia i Inmaculada Baldomá

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi està dedicada a l'anàlisi del moviment de cossos petits, com els asteroides, al voltant del sistema Terra-Lluna des d'un enfocament de la mecànica celeste. Aquesta és una àmplia àrea d'investigació on probablement, el model matemàtic simplificat més estès és el conegut sistema hamiltonià autònom, el Restricted Three-Body Problem (RTBP). S'han proposat moltes modificacions a aquest model, buscant una descripció més precisa del sistema. Una de les maneres més senzilles d'introduir efectes físics addicionals és mitjançant pertorbacions periòdiques, de manera que el nou sistema no autònom s'acosta a l'autònom, i té moltes solucions periòdiques o quasi periòdiques. Si aquestes solucions són hiperbòliques, tenen varietats invariants estables/inestables, de manera que les varietats estables s'apropen a les solucions quasi periòdiques cap endavant en el temps, mentre que les varietats inestables ho fan cap enrere en el temps, constituint l'esquelet dels fenòmens de transport dinàmic que ens interessen. Observeu que una dimensió es pot reduir definint un mapa temporal de Poincaré adequat. Per tant, el nostre objectiu és calcular les solucions quasi periòdiques i les seves varietats en aquest mapa. La major part de l'esforç d'aquesta tesi s'adreça al Problema Bicircular (BCP), en què la Terra i la Lluna es tracten com a primàries a l'RTBP i el camp gravitatori del Sol s'introdueix com un forçament periòdic temporal de l'RTBP. En particular, hem analitzat àmpliament la família horitzontal de solucions quasi periòdiques bidimensionals al voltant del punt d'equilibri inestable colineal L3. Hem trobat que diverses trajectòries que connecten la Terra, la Lluna i el sistema exterior Terra-Lluna es regeixen per la dinàmica L3. Es presta molta atenció a les trajectòries que vénen de la Lluna cap a la Terra, ja que poden donar una visió del viatge que fan els meteorits lunars abans d'aterrar al nostre planeta. Aquests resultats s'han traduït i comparat amb els d'un model realista basat en efemèrides JPL (Jet Propulsion Laboratory), mostrant una bona concordança entre els resultats obtinguts. També hem proposat i dut a terme una estratègia per capturar un asteroide proper a la Terra (NEA) utilitzant les varietats invariants estables de la família horitzontal d'òrbites quasi periòdiques al voltant de L3 al BCP. Amb aquest objectiu s'introdueix la parametrització d'alt ordre de les varietats invariants estables/inestables, per al qual s'ha utilitzat la tècnica del transport a raig. Finalment, l'estratègia s'aplica al NEA 2006 RH120. Les contribucions al BCP presentades en aquesta tesi inclouen dues aplicacions més. El primer està dedicat a l'estudi del comportament inestable prop dels punts triangulars, mentre que el segon està dedicat a una família de corbes estables invariants al voltant de la Lluna que estan properes a una ressonància, afavorint l'aparició de moviment caòtic. L'última part de la tesi se centra en el càlcul efectiu de la parametrització d'ordre alt de les varietats invariants estables i inestables associades a toris invariants reductibles de qualsevol dimensió elevada. Per a això, recorrem al sistema reductible, que ofereix un alt grau de paral·lelització dels càlculs. A més, expliquem com combinar els mètodes presentats amb múltiples tècniques de tir per calcular amb precisió objectes invariants altament inestables. Finalment, apliquem els algoritmes desenvolupats per calcular la parametrització d'ordre alt de les varietats associades a L1 i L2 en un sistema Terra-Lluna que inclou cinc forçaments periòdics relacionats amb quatre característiques físiques del sistema, a més del camp gravitatori solar.

Director(s) de tesi: Àngel Jorba

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona