abstracte

Aquesta tesi consta de dues parts. A la primera part, proposem un algorisme per calcular els intervals de rotació de sistemes dinàmics definits per mapes sobre el cercle unitari. Aquest algorisme permet el càlcul exacte de l'interval de rotació per a una àmplia família de mapes quan els seus punts finals són racionals. Aquest algorisme és general i no requereix que la funció objectiu sigui diferenciable. La segona part de la tesi se centra en l'obtenció d'un mètode semianalític per calcular l'expansió d'onades truncades per a un atractor sobre un producte oblicu forçat quasi periòdicament. Per obtenir l'expansió de l'ondelet, hem hagut de perfeccionar i millorar la capacitat d'avaluar una wavelet en un punt, desenvolupant aplicacions de l'algoritme Daubechies-Lagarias en el procés. Finalment, amb la sèrie truncada obtinguda, hem aplicat els resultats de l'anàlisi funcional que ens permeten determinar la regularitat de les funcions a partir dels seus coeficients wavelet. Això ens ha permès mesurar (imperfectament) l'estranyesa dels atractius. A partir d'això, hem pogut estudiar alguns casos d'atractors estranys no caòtics.

Director(s) de tesi: Lluís Alsedà i Soler

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquesta tesi estudiem diversos objectes matemàtics que són essencials per formular i modelar sistemes físics. Aplicant les eines que proporciona la geometria diferencial, desenvolupem i analitzem diferents estructures matemàtiques que s'utilitzen en tres contextos físics: dinàmica dissipativa, sistemes integrables i quantificació geomètrica. Per fer-ho, utilitzem principalment la configuració de la geometria simplèctica b, una extensió natural de la geometria simplèctica que està dissenyada específicament per abordar varietats amb límit. Es basa en el concepte de formes b introduït per Melrose i va ser iniciat per Guillemin, Miranda i Pires. En primer lloc, en el context de la dinàmica dissipativa, introduïm i discutim una varietat de models de cotangent b retorçat. En aquests models, definits en el paquet cotangent d'una varietat llisa, l'estructura fonamental és una forma b-simplectica que és singular dins de les fibres del paquet. Els nostres models donen lloc a sistemes dinàmics governats per l'Hamiltonià estàndard d'una partícula lliure, acompanyats d'un potencial dependent de la posició. Després d'examinar diferents tipus de potencials i de trobar que tots ells indueixen la dissipació d'energia al sistema, demostrem que aquests models bcotangents retorçats ofereixen una formulació hamiltoniana adequada per als sistemes dissipatius. En conseqüència, amplien l'abast de la dinàmica hamiltoniana i aporten un nou enfocament a l'estudi de sistemes no conservadors. En segon lloc, en el context dels sistemes integrables, introduïm i investiguem els sistemes bsemitòrics, una família de sistemes que generalitza simultàniament sistemes semitòrics i sistemes b-tòrics, i que s'adapta a varietats b-simplectiques. Proporcionem una definició completa de sistemes b-semitòrics, que adapta les característiques dels sistemes semitòrics al marc de varietats b-simplectics, i construïm tres exemples d'aquest tipus de sistemes. Els tres exemples es basen en modificacions del sistema de moments angulars acoblats, un sistema semitòric clàssic que representa l'acoblament de dos rotors rígids. El nostre examen dels exemples, que inclou la classificació dels punts singulars i l'estudi de la dinàmica global, ens permet destacar les característiques úniques dels sistemes b-semitòrics. En tercer lloc, en el context de la quantització geomètrica, introduïm un mètode de quantització de Bohr-Sommerfeld per a varietats tòriques b-simplectics. Establim que la dimensió d'aquest mètode de quantificació depèn d'un recompte amb signe dels punts enters a la imatge del mapa de moments de l'acció tòrica. A més, demostrem la seva equivalència amb la quantificació geomètrica formal d'aquestes varietats. A més, presentem un model de quantificació geomètrica basat en cohomologia de feixa, adequat per a sistemes integrables amb singularitats no degenerades, que també es basa en el recompte dels punts enters a la imatge del mapa de moments.

Director(s) de tesi: Eva Miranda Galcerán

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

En aquesta tesi investiguem diversos aspectes de la dinàmica de camps vectorials hamiltonians en varietats simplectiques singulars.

Ens centrem en dues qüestions: primer, investiguem una generalització de la conjectura d'Arnold en el context de la geometria simplèctica singular. En segon lloc, explorem construccions per a sistemes integrables en aquest context.

En el capítol 2 proporcionem el material bàsic necessari per a aquesta tesi. Comencem aprofundint en la teoria de la geometria simplèctica. A continuació, presentem la conjectura d'Arnold, que afirma que hi ha un límit inferior en el nombre d'òrbites 1 periòdiques per a un sistema hamiltonià no degenerat, i que aquest límit inferior es pot formular estrictament en termes topològics. També presentem una eina utilitzada en la investigació d'aquesta conjectura: la teoria de Floer.

A continuació, expliquem algunes nocions de geometria de Poisson abans d'explorar una noció fonamental per a aquesta tesi: la d'un bm-varietat simplèctica. Es tracta de varietats amb una estructura que és simplèctica gairebé a tot arreu però que "explota" en una hipersuperfície, que anomenem hipersuperfície singular. Exposem algunes tècniques utilitzades en l'estudi de bm-varietats simplèctiques, amb èmfasi en un procediment anomenat desingularització.

Finalment, fem un resum de la teoria dels sistemes integrables i l'estudi dels seus punts singulars.

Al capítol 3 investiguem el comportament dinàmic de certs camps vectorials en bm-geometria simplèctica, procedent de bm-Hamiltonians. Ens centrem en l'estudi de la seva dinàmica en un barri de la hipersuperfície singular, i trobem una família de bm-Hamiltonians on es pot formular una versió de la conjectura d'Arnold. A continuació, explorem nous aspectes del procediment de desingularització en relació amb el bm-Dinàmica hamiltoniana, i proporcionen algunes tècniques que ens permeten relacionar aquestes dinàmiques amb les de la geometria simplèctica clàssica. Acabem amb dos resultats que donen versions parcials de la conjectura d'Arnold bm-Camps vectorials hamiltonians.

Al capítol 4 mostrem l'existència d'una homologia de Floer per bm-varietats simplèctiques. Això ho gestionem mitjançant una investigació de l'equació de Floer per a la família de bm-Hamiltonians presentats al capítol 3. Al capítol 5 introduïm la noció de classes de b-integrable i b- sistemes semitòrics. Estudiem les característiques de b-sistemes semitòrics utilitzant alguns exemples interessants i la investigació dels seus punts singulars.

Director(s) de tesi: Sonja Verena Hohloch i Eva Miranda Galcerán

universitat: Universiteit Antwerpen i Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La memòria de treball, la capacitat de mantenir i manipular la informació a la nostra ment quan ja no està disponible a l'entorn, és una funció central de la cognició. Un dels correlats neuronals més importants d'aquesta funció cognitiva són les anomenades neurones persistents, que responen selectivament a l'estimulació sensorial i mantenen la seva activitat augmentada fins i tot després d'eliminar l'estímul. Aquest fenomen, observat amb més freqüència a l'escorça prefrontal, ha estat descrit amb èxit mitjançant models de xarxes neuronals amb dinàmica d'atractor. Tanmateix, només algunes de les neurones que es dediquen a tasques de memòria de treball tenen activitat persistent. A més, l'anàlisi dels enregistraments experimentals a nivell de població revela que el codi experimenta un canvi entre la presentació de l'estímul i les èpoques de manteniment, que no és compatible amb un codi de memòria de treball que només dependria de cèl·lules persistents actives estables. La prevalença d'aquesta troballa ha motivat la proposta de mecanismes alternatius, però els models computacionals actuals que expliquen la dinàmica no inclouen èpoques estables o no proporcionen una interpretació mecanicista clara. En aquesta tesi, utilitzem l'anàlisi de dades estadístiques i el modelatge de xarxes neuronals per investigar si subpoblacions neuronals especialitzades subjacent als codis de memòria de treball estables i dinàmics. En primer lloc, vam investigar la connexió entre la dinàmica observada en el codi de memòria de treball i l'estructura funcional dels circuits prefrontals. Hem analitzat els enregistraments prefrontals de micos macacs que es comporten i hem observat que la selectivitat de les característiques es distribueix de manera no aleatòria entre les neurones. Aquesta distribució de selectivitat de característiques no aleatòria o estructurada està relacionada amb subpoblacions funcionals diferents l'activitat contrastada de les quals explica la transició dinàmica a estable en el codi de memòria de treball. En segon lloc, vam desenvolupar un model computacional que representa tres subpoblacions funcionals com a xarxes d'atracció que treballen en diferents règims dinàmics. El model il·lustra com l'estructura de la població, que implica diferents neurones actives en diferents èpoques de tasques, està directament relacionada amb la transició dinàmica del codi. A més, mostrem com l'arquitectura de tres xarxes es pot estendre fàcilment per tenir en compte funcions addicionals, com ara l'activitat en rampa i períodes de manteniment variables. En tercer lloc, les nostres xarxes basades en subpoblacions tenen l'avantatge funcional de ser robustes contra estímuls que distreuen. El model captura la vulnerabilitat observada experimentalment als distractors presentada poc després de l'eliminació de l'estímul. A més, prediu que la retroalimentació de dalt a baix millora la robustesa general de la xarxa. En resum, mostrem com la presència de subpoblacions funcionals a l'escorça prefrontal es pot relacionar amb la transició dinàmica a estable en el codi de memòria de treball i amb una capacitat millorada per filtrar estímuls que distreuen.

Director(s) de tesi: Klaus Wimmer

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi està dedicada a la complexa estructura d'ones sorgida en hidrodinàmica d'escenaris relativistes quan es consideren fluids realistes amb una rica termodinàmica. L'equació d'estat és una relació constitutiva que codifica les propietats termodinàmiques d'un fluid i, en dinàmica de fluids compressibles, és necessària per tancar les equacions d'evolució. Una equació d'estat no convexa és candidata per induir dinàmiques d'ones complexes. Amb l'objectiu d'estudiar la Hidrodinàmica relativista especial no convexa (SRHD), la tesi es divideix en dues parts. La primera està dedicada a l'estudi de la SRHD no convexa des del punt de vista de la solució de les equacions d'evolució, que consisteixen en un sistema hiperbòlic no lineal de lleis de conservació. La segona part posa l'accent en la modelització de fluids realistes tenint en compte les implicacions sobre la dinàmica estudiada a la primera part. D'una banda, presentem un solucionador de Riemann exacte per a SRHD no convex, ampliant la seva aplicabilitat al cas de velocitats tangencials diferents de zero. El problema de Riemann és una condició inicial per al sistema, la prova fonamental en hidrodinàmica. La seva solució conté tots els elements presents en escenaris més complicats i permet entendre la dinàmica de les ones que es poden presentar. En proporcionar la solució exacta, millorem la comprensió de la complexa dinàmica en joc en sistemes relativistes no convexos. Particularitzem el solucionador d'una equació d'estat fenomenològica no convexa i proporcionem la solució exacta per a una sèrie de problemes estàndard que inclouen ones d'explosió relativistes. Utilitzem les solucions exactes obtingudes per validar mètodes numèrics utilitzats per resoldre equacions SRHD inicialitzades amb condicions inicials complexes. Mesurem la precisió de dos dels mètodes més utilitzats en el camp i analitzem el seu rendiment en presència d'una estructura d'ona complexa. Continuem la nostra anàlisi centrant-nos en les estrelles de neutrons com a objectes astrofísics composts per un fluid que pateixen una evolució hidrodinàmica relativista. Els models realistes en aquesta matèria condueixen a equacions d'estat tabulades, que inclouen efectes microfísics detallats però que representen una opció computacionalment ineficient per a simulacions numèriques. Ens centrem en el modelatge d'aquestes dades tabulades amb una expressió analítica senzilla que dóna especial consideració a les transicions de fase, un fenomen de la matèria amb el potencial de fer que l'equació d'estat no sigui convexa. Analitzem les implicacions del nostre model en les propietats estel·lars de l'estrella de neutrons i la seva evolució hidrodinàmica, comparant els resultats amb els models analítics actuals utilitzats en simulacions.

Director(s) de tesi: Susana Serna Salichs

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Estudiem problemes discrets de minimització d'energia en varietats homogènies de dos punts. Com que trobar configuracions de N punts amb energia òptima és molt difícil, els enfocaments recents han implicat examinar processos puntuals aleatoris amb poca energia esperada per obtenir bones configuracions de N punts. Al capítol 2, calculem la segona intensitat conjunta del procés de punts aleatoris donada pels zeros dels polinomis el·líptics, la qual cosa ens permet recuperar l'energia logarítmica esperada a l'esfera bidimensional prèviament calculada per Armentano, Beltrán i Shub. A més, obtenim l'energia s de Riesz esperada, que és notablement propera a l'energia òptima conjecturada. L'energia esperada serveix com a límit per a l'energia s extrema, millorant així els límits derivats de l'estudi del conjunt esfèric per Alishahi i Zamani. Entre altres resultats addicionals, obtenim una expressió tancada per a la distància de separació esperada entre punts mostrats a partir dels zeros dels polinomis el·líptics. Al capítol 2, explorem les discrepàncies mitjanes i els errors del pitjor cas de les configuracions de punts aleatoris a l'esfera d-dimensional. Trobem que els punts extrets de l'anomenat conjunt esfèric i els zeros dels polinomis el·líptics aconsegueixen una discrepància esfèrica òptima L^3 de mitjana. A més, proporcionem un límit superior per a la discrepància L^intiy per a configuracions de N punts extretes del conjunt harmònic en qualsevol espai homogeni de dos punts, generalitzant així les troballes anteriors per a l'esfera de Beltrán, Marzo i Ortega-Cerdà. Introduïm una versió no determinista de la força de Quasi Monte Carlo (QMC) per a seqüències aleatòries de punts i calculem el seu valor per al conjunt esfèric, els zeros dels polinomis el·líptics i el conjunt harmònic. Finalment, comparem els nostres resultats amb les forces QMC conjecturades de determinades distribucions deterministes associades a aquests processos puntuals aleatoris. Al capítol 2, el nostre enfocament se centra en el problema de minimització de l'energia verda. En primer lloc, ampliem el treball de Beltrán i Lizarte sobre esferes per establir un límit inferior proper a agut per a l'energia verda mínima en qualsevol varietat homogènia de dos punts, millorant els límits inferiors existents en els espais projectius. En segon lloc, adaptant un mètode introduït per Wolff, deduïm un límit superior per a la discrepància L^intiy de conjunts de N punts que minimitzen l'energia verda.

Director(s) de tesi: Jordi Marzo Sánchez

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

Aquesta tesi doctoral tracta qüestions qualitatives de la teoria de les equacions diferencials parcials el·líptiques (PDE) i les equacions integro-diferencials. Ens interessa principalment una classe distingida de solucions que satisfan les condicions de minimalitat adequades. La primera part de la tesi proporciona una teoria de la regularitat per a solucions estables a problemes semilineals que impliquen coeficients variables. Aquí, l'estabilitat es refereix a la no-negativitat del valor propi principal de l'equació linealitzada. Per als problemes variacionals, això equival a la no-negativitat de la segona variació, una condició necessària per a la minimalitat. El nostre èxit principal és mostrar la limitació de solucions estables en dominis C11 en el rang òptim de dimensions n < 10. Aquest resultat és nou fins i tot per al laplacià, per al qual es necessitava una suposició C3 sobre el domini. La segona part proporciona condicions naturals suficients per a la minimització dels punts crítics en un marc general no local. És a dir, construïm un calibratge per a funcionals d'energia no locals, sota el supòsit que el punt crític està incrustat en una família de sub/supersolucions els gràfics de les quals produeixen una foliació. Com a conseqüència, deduïm que la solució és un minimitzador respecte als competidors que prenen valors a la regió foliada. El nostre resultat amplia, per primera vegada, la teoria clàssica de camps extrems de Weierstrass en el càlcul de variacions a un entorn no local. Trobar un calibratge per a la funcionalitat fraccionària més bàsica, la seminorma de Gagliardo-Sobolev, va ser un important problema obert que hem resolt.

Director(s) de tesi: Xavier Cabré Vilagu

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquest treball està dedicat a l'estudi de diversos models d'estructures aleatòries des de la perspectiva de la lògica de primer ordre. Demostrem que les probabilitats asimptòtiques d'enunciats de primer ordre convergeixen en un model general d'estructures aleatòries amb densitat lineal, ampliant els resultats anteriors de Lynch. A més, donem una aplicació d'aquest resultat al problema SAT aleatori. També inspeccionem el conjunt de probabilitats limitants de propietats de primer ordre en gràfics binomials dispersos, hipergrafs binomials d-uniformes i gràfics amb seqüències de graus donades. En particular, caracteritzem les condicions en què aquest conjunt de probabilitats asimptòtiques és dens a l'interval [0, 1]. Finalment, introduïm la qüestió de si els teoremes de preservació, és a dir, el teorema de Los-Tarski i el teorema de Lyndon, es mantenen en un sentit probabilístic en diversos models de gràfics aleatoris. Obtenim diversos resultats positius en diferents règims del gràfic aleatori binomial i gràfics uniformes de classes menors-tancades agregables.

Director(s) de tesi: Marc Noy Serrano

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

En el cas de categories parcialment ordenades (posets per abreujar), es demostra que la propietat pseudo-projectiva és equivalent a cofibrant en la categoria de funtors covariants descrita en aquest treball. També s'introdueix una noció de functor Mackey per a posets, inspirada en la noció clàssica de functor Mackey per a categories d'òrbita. En aquest cas, està demostrat que els funtors de Mackey amb una noció addicional de quasi-unitat són cofibrants; per tant, els seus colímits superiors s'esvaeixen en graus positius. Utilitzant l'estructura combinatòria de la substitució i les eines de càlcul presentades, es demostren límits explícits de fuga per als límits superiors. Utilitzant diferents estratègies, aquestes es descriuen en funció de la geometria del poset, els límits locals dels límits superiors i les filtracions dels funtors atòmics. Finalment, s'estudia amb detall el cas dels límits superiors de funtors indexats en posets CL-shellable. Aquests posets tenen el tipus d'homotopia d'una suma de falques d'esferes de la mateixa dimensió, de manera que els límits superiors en graus estrictament positius d'un functor constant es concentren en un sol grau. Motivat per aquest cas particular, s'abstraeix una propietat suficient per a un functor, que garanteix que els seus límits superiors s'esvaeixen per a dimensions inferiors a la longitud del poset. Com a exemple d'aplicació, es descriu el cas de la família de n-funtors de formes lineals en disposicions hiperplanes.

Director(s) de tesi: Natàlia Castellana i Antonio Díaz

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En la present tesi, estudiem la teoria dels espais de descomposició, centrant-nos en la construcció d'intervals per a espais de descomposició i l'espai de descomposició dels intervals subdividits U, que va ser construït per Gálvez, Kock i Tonks com a receptor de la construcció d'intervals de Lawvere. El nostre interès per U es deu a la conjectura de Gálvez–Kock–Tonks, que afirma que U gaudeix d'una certa propietat universal: per a cada espai de descomposició complet X, l'espai de funtors culf de X a U és contractible. La primera contribució principal, desenvolupada en col·laboració amb Alex Cebrian, és introduir el concepte d'espècies hereditàries dirigides connectades i no connectades i demostrar que tenen espais de descomposició monoïdals associats, biàlgebres comodules i categories operàdiques. La segona contribució principal és demostrar la conjectura de Gálvez–Kock–Tonks. Primer, vam demostrar la conjectura per al cas discret. Per al cas general de la conjectura, imposem límits cardinals mitjançant la condició de Möbius per als espais de descomposició. Aquesta és una certa condició de finitud que assegura que el principi general d'inversió de Möbius admet una cardinalitat d'homotopia. Des d'aquesta perspectiva, demostrar la conjectura equival a demostrar que l'espai de descomposició dels intervals de Möbius subdividits és un objecte terminal en la categoria ∞ dels espais de descomposició de Möbius i mapes de culf. La demostració es dóna combinant la teoria de (∞,2)-colímits, la construcció d'intervals i l'equivalència de redreçament-desdretització de les ∞-categories. El cas de Möbius, juntament amb el fet que la ∞-categoria d'espais de descomposició i mapes de culf és localment un ∞-topos implica que la ∞-categoria dels espais de descomposició i mapes de culf de Möbius és un ∞-topos.

Director(s) de tesi: Joachim Kock

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquest treball s'estudien diversos problemes matemàtics derivats de la manipulació robòtica de la tela. En primer lloc, desenvolupem un model continu sense bloqueig per a la simulació física de tèxtils inextensibles. Presentem una discretització nova d'"element finit" de les nostres limitacions d'inextensibilitat que dóna lloc a un tractament unificat de les malles triangulars i quadrilàteres de la tela. A continuació, expliquem com incorporar els contactes, les autocollisions i la fricció a les equacions del moviment, de manera que les forces de fricció i les restriccions d'inextensibilitat i col·lisió es puguin integrar implícitament i sense cap desacoblament. Desenvolupem un solucionador de "conjunt actiu" eficient adaptat al nostre problema no lineal que té en compte les restriccions actives del passat per accelerar la resolució de contactes no resolts i, a més, es pot inicialitzar des de qualsevol punt no necessàriament factible. Després, ens embarquem en la validació empírica del model desenvolupat. Enregistrem en un entorn de laboratori –amb càmeres de profunditat i sistemes de captura de moviment– els moviments de set tipus de tèxtils (com ara cotó, denim i polièster) de diferents mides i velocitats i acabem amb més de 80 gravacions. Els escenaris considerats són tots dinàmics i impliquen sacsejades i torsió ràpides dels teixits, col·lisions amb objectes de fricció i fins i tot cops forts amb un pal llarg. Aleshores, comparem els tèxtils gravats amb les simulacions donades pel nostre model inextensible i trobem que, de mitjana, l'error mitjà és de l'ordre d'1 cm fins i tot per a les mides més grans (DIN A2) i els escenaris més difícils. A més, també abordem altres problemes rellevants per a la manipulació robòtica de la tela, com ara la percepció de la tela i la classificació dels seus estats. Presentem un algorisme de reconstrucció basat en la teoria Morse que procedeix directament d'un núvol de punts per obtenir una descomposició cel·lular d'una superfície amb o sense límit: els resultats són una parametrització a trossos de la superfície de la tela com una unió de cèl·lules Morse. A partir de la descomposició cel·lular es pot deduir immediatament la topologia de la superfície. Finalment, estudiem l'espai de configuració d'una peça de tela: com que l'estat original d'una peça de tela és pla, el conjunt d'estats possibles sota el supòsit inextensible és el conjunt de superfícies desenvolupables isomètriques a una de fixa. Demostrem que una corba regular genèrica simple, tancada i a trossos a l'espai pot ser el límit de només un nombre finit de superfícies desenvolupables amb una curvatura mitjana que no es vagi. Inspirats en aquest resultat, introduïm les coordenades de tela dGLI, una representació de dimensions baixes de l'estat d'una peça de tela basada en una derivada direccional de la integral d'enllaç de Gauss. Aquestes coordenades –calculades a partir de la posició del límit de la tela– permeten distingir els canvis qualitatius clau en les seqüències de plegament.

Director(s) de tesi: Jaume Amorós Torrent i Maria Alberich Carramiñana

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La tesi es divideix principalment en dues parts. En essència, el primer és una extensió del document [Ter22]. Utilitzant la fórmula regularitzada de Siege-Weil de [GQT14] obtenim una expressió explícita per a la integral truncada de la funció theta de Siegel. L'aplicació principal d'aquest resultat és una fórmula explícita per a la integral del logaritme de les formes de Borcherd. El resultat implica diferents valors zeta i coeficients de la sèrie d'Eisenstein. Completa el treball de [Kud03]. A més de la fórmula esmentada per a la integral de la funció theta, es requereix una anàlisi detallada de la funció theta de Siegel prop de l'infinit. El segon capítol és una ampliació del treball amb Antonio Cauchi a [CT]. L'objectiu d'aquesta part és doble. D'una banda, sota algunes condicions, mostrem que la multiplicitat del model de Shalika de representacions no ramificades per al grup GU(2, 2) és una. Utilitzant aquest resultat i seguint les idees de [Sak06], podem trobar una expressió de la funcional de Shalika en termes del paràmetre Satake d'una representació en GSp4. D'altra banda, utilitzem aquest resultat i per establir una relació entre una integral zeta per a un grup GU(2,2) i una funció L estàndard retorçada de GSp4, on la relació entre les representacions automòrfiques implicades ve donada pel theta. correspondència.

Director(s) de tesi: Victor Rotger Cerdà i Gerard Freixas i Montplet

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi tracta de l'estudi de varietats invariants i òrbites periòdiques de sistemes dinàmics discrets i continus. La memòria està dividida en dues parts que es poden llegir de manera independent. La primera part (Capítols 1-6) està dedicada a l'estudi de varietats invariants associades a punts parabòlics i toris invariants parabòlics. La segona part (Capítols 7-9) es refereix a l'estudi de les òrbites periòdiques de sistemes dinàmics sobre varietats. En els capítols 2 i 3 estudiem l'existència i regularitat de varietats invariants de mapes planars amb un punt fix parabòlic amb part nilpotent mitjançant el mètode de parametrització. L'estudi es fa per a mapes analítics i per a mapes infinitament diferenciables. En el cas analític, demostrem l'existència d'una varietat analítica invariant unidimensional en condicions adequades sobre els coeficients dels termes no lineals del mapa. En el cas diferenciable, demostrem que si la regularitat del mapa és més gran que algun valor, aleshores existeix una varietat invariant de la mateixa regularitat, lluny del punt fix. En el capítol 4 considerem un problema anàleg com en els capítols 2 i 3, però per a camps vectorials plans. Presentem els resultats de l'existència de corbes invariants d'aquests camps vectorials utilitzant els resultats dels capítols anteriors i el fet que, en condicions adequades, les varietats invariants d'un camp vectorial són les mateixes que les varietats invariants del seu flux de temps-t. . En els capítols 5 i 6 considerem mapes i camps vectorials que tenen un torus invariant parabòlic d-dimensional amb part nilpotent. En aquest context, donem condicions sobre els coeficients dels termes no lineals del mapa (resp. camp vectorial) sota el qual el tor invariant posseeix varietats invariants estables i inestables. També considerem el mateix problema per a camps vectorials no autònoms que depenen quasi periòdicament del temps, i presentem algunes aplicacions dels nostres resultats. Tots els resultats de l'existència de varietats invariants s'especifiquen en dos passos. En el primer pas presentem un algorisme per calcular una aproximació d'una parametrització de la varietat invariant. En el segon pas, presentem un resultat «a posteriori», que assegura que existeix una veritable varietat invariant propera a aquesta aproximació. Combinant els dos resultats s'obté l'existència d'una varietat invariant que queda ben aproximada per la parametrització proporcionada en el primer pas. Al capítol 8 fem servir els nombres de Lefschetz i la funció zeta de Lefschetz per obtenir informació sobre el conjunt de períodes de certs difeomorfismes en varietats compactes. Considerem la classe de diffeomorfismes Morse-Smale definits a l'esfera n-dimensional, als productes de dues esferes de dimensió arbitrària, a l'espai projectiu complex n-dimensional i a l'espai projectiu al quaternió n-dimensional. A continuació, es descriuen els conjunts mínims de períodes de Lefschetz per a aquests difeomorfismes Morse-Smale, que és un subconjunt del conjunt de períodes que es conserven sota l'equivalència d'homotopia. Finalment, al capítol 9 estudiem l'existència de cicles límit de camps vectorials lineals en varietats. És ben sabut que els camps vectorials lineals en R^n no poden tenir cicles límit, perquè o bé no tenen òrbites periòdiques o les seves òrbites periòdiques formen un continu.

Director(s) de tesi: Ernest Fontich Julià i Jaume Llibre

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

La iteració racional és l'estudi del comportament asimptòtic de les seqüències donades pels iterats d'un mapa racional sobre l'esfera de Riemann. Segons la teoria de Montel sobre les famílies normals, l'espai de fases (també anomenat pla dinàmic) es divideix completament en dos conjunts de variants coneguts com el conjunt de Fatou (un conjunt obert on la dinàmica és domesticada) i el conjunt de Julia (un conjunt tancat on la dinàmica és caòtica). El tema principal d'aquesta tesi és l'estudi de la connectivitat dels components de Fatou per a determinades famílies de mapes racionals. D'una banda, considerem una família de pertorbacions singulars i ampliem els resultats anteriors sobre pertorbacions singulars dels productes de Blaschke. El resultat principal és mostrar que els plans dinàmics dels mapes corresponents presenten components de Fatou de connectivitat arbitràriament grans i determinen precisament aquestes connectivitats. D'altra banda, considerem un problema diferent relacionat amb els algorismes de recerca d'arrel. Més precisament, estudiem els mètodes Chebyshev-Halley aplicats a una família simètrica de polinomis de grau arbitrari. L'objectiu principal és mostrar l'existència de paràmetres de manera que les conques d'atracció immediates corresponents a les arrels de la unitat estiguin infinitament connectades. A més, també demostrem que el pla dinàmic corresponent conté una component connectada del conjunt de Julia, que és una deformació quasiconforrnal del conjunt de Julia del mapa obtingut aplicant el mètode de Newton.

Director(s) de tesi: Xavier Jarque Ribera i Jordi Canela Sánchez

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

La tesi desenvolupa una metodologia incipient per estudiar les bifurcacions de corbes invariants en sistemes discrets unidimensionals i quasi periòdics, basada en teoremes de corbes traduïdes i teoria KAM. la línia real és la fibra, però tant la metodologia com els resultats es poden adaptar fàcilment a tori de dimensions superiors (la dimensió és el nombre de freqüències externes). Els sistemes en si són mapes de paquets sobre translacions en el torus amb freqüències d. sobre translacions al torus amb freqüències d. La metodologia inclou la teoria KAM, la teoria de la bifurcació i els teoremes de corbes traduïdes (a l'esperit de Moser, Rüßmann, Herman, Delshams i Ortega). En el projecte s'obtenen resultats rigorosos en format a posteriori sobre l'existència de famílies de tori traduïts en el marc analític, establint una metodologia per estudiar les bifurcacions de tori traduïts. El format a posteriori és adequat per desenvolupar càlculs numèrics rigorosos. Complementàriament, s'han implementat a l'ordinador els algorismes derivats del procés iteratiu associat a aquesta metodologia.

Director(s) de tesi: Àlex Haro Provinciale i Ernest Fontich Julià

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

El problema dels 3 cossos (3BP) modela el moviment de tres cossos que interactuen mitjançant la gravitació newtoniana. S'anomena restringit quan un cos té massa zero i els altres dos, els primaris, tenen masses estrictament positives. A la regió de l'espai de fases on un cos està lluny dels altres dos (els primaris per al cas restringit), ambdós models es poden estudiar com un sistema hamiltonià gairebé integrable. Aquest és l'anomenat règim jeràrquic. La present tesi tracta de l'existència de moviments inestables, en el 3BP i/o les seves versions restringides. Més concretament, s'analitza l'existència d'inestabilitat topològica, conjunts hiperbòlics no trivials i moviments oscil·latoris (òrbites completes il·limitades però que tornen infinitament sovint a alguna regió acotada). D'una banda, Herman va encunyar l'existència d'una (una forma forta de) inestabilitat topològica en el problema del cos N com "la qüestió més antiga dels sistemes dinàmics". D'altra banda, els moviments oscil·latoris són l'únic tipus de moviments complets per a la 3BP que no estan presents en l'aproximació integrable. La seva connexió amb l'existència de conjunts hiperbòlics no trivials ha conduït a la formulació de conjectures fonamentals, encara no resoltes, sobre la seva abundància. Establim l'existència de la difusió d'Arnold, un mecanisme robust que condueix a la inestabilitat topològica, a la 3BP restringida per a qualsevol valor de les masses de les primàries. La cadena de transició que condueix a la difusió d'Arnold es construeix a la regió jeràrquica. Ampliem un resultat anterior de Kaloshin, Delshams, De la Rosa i Seara, que s'aplicava a una proporció de massa arbitràriament petita. El seu entorn, que aprofita el truc, utilitzat per Arnold en el seu article original, de fer ús de dos paràmetres pertorbatius, condueix a un model a priori inestable. En el nostre entorn, ens enfrontem a alguns dels reptes presents en sistemes estables a priori. Presentem diversos resultats sobre l'existència de moviments oscil·latoris i conjunts hiperbòlics no trivials en el problema del cos 3 restringit i no restringit. En primer lloc, desenvolupem noves eines que combinen idees geomètriques amb tècniques variacionals per demostrar que existeixen moviments oscil·latoris en el 3BP restringit en un règim no gairebé integrable. En segon lloc, mostrem l'existència de conjunts hiperbòlics no trivials i moviments oscil·latoris a la 3BP per a tots els valors de les masses. El conjunt hiperbòlic no trivial, contingut en un subconjunt de la regió jeràrquica on els cossos interns realitzen moviments aproximadament circulars, s'associa a una intersecció transversal entre les varietats estables i inestables d'una varietat invariant normalment hiperbòlica. L'existència de direccions centrals complica molt tant l'anàlisi de l'existència d'interseccions transversals entre aquestes varietats invariants com la construcció de la ferradura. L'aportació de l'autor se centra a completar el primer d'aquests dos passos. Finalment, s'estudia l'existència de la difusió d'Arnold en el 3BP per a tots els valors de les masses. La robustesa del mecanisme que utilitzem per demostrar l'existència d'Arnold Diffusion a la 3BP restringida implica que la cadena de transició obtinguda admet una continuació en la 3BP si una massa és prou petita. La diferència substancial quan les masses estan fixes és que es pot construir una cadena de transició al llarg de la qual hi ha un intercanvi significatiu d'impuls entre els cossos interiors i externs, donant lloc a un gran canvi de l'excentricitat dels cossos interiors. Això requereix molt més treball que en la nostra construcció de la cadena de transició a la 3BP restringida i la nostra construcció de conjunts hiperbòlics per a la 3BP.

Director(s) de tesi: Marcel Guàrdia Munarriz i Teresa Martínez-Seara Alonso

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

La distribució de Poisson representa un punt de referència per modelar dades de recompte, ja sigui en el cas d'observacions independents, amb mesures repetides o en presència de factors aleatoris. Però a la pràctica, les limitacions apareixen en l'anàlisi d'aquest tipus de dades en dissenys experimentals complexos. D'una banda, la distribució té la restricció que les dades ajustades han d'estar equidisperses, cosa que no és habitual i requereix la consideració de distribucions més complexes. D'altra banda, és difícil comparar propostes alternatives, quantificar la bondat d'ajust o validar els supòsits del model, a causa de la naturalesa de les eines de modelització. L'objectiu general d'aquesta tesi doctoral és descriure les principals estratègies per a l'anàlisi de dades de recompte amb mesures repetides, incidint en les seves limitacions pràctiques, i a més, introduir noves propostes complementàries. En primer lloc, es revisen les principals tècniques de modelització utilitzades en la pràctica estadística: models lineals, models lineals generalitzats, models mixts i models lineals mixts generalitzats, amb especial èmfasi en el cas de les dades de recompte. Es presenta la formulació corresponent juntament amb detalls sobre els procediments d'ajust, validació i tasques inferencials. En relació amb els models lineals mixtes i els models mixts lineals generalitzats, es destaquen dues visions oposades de la modelització: el model condicional i el model marginal, que donen lloc a certa controvèrsia. En aquest sentit, es presenten diferents casos pràctics per exemplificar aquestes estratègies de modelització i les seves limitacions: l'estudi dels accidents de trànsit a diferents cruïlles de la ciutat de Barcelona sota determinades intervencions preventives, mitjançant models mixtes lineals generalitzats condicionals i l'anàlisi de l'impacte. de targetes vermelles sobre el nombre de gols marcats en diferents partits de futbol utilitzant models mixtes lineals generalitzats marginals. Finalment, es presenten estratègies alternatives per modelar dades de recompte en experiments amb subrèplicats mitjançant estadístiques d'ordre de distribucions discretes.

Director(s) de tesi: Pere Puig Casado

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

Una vela solar és un mètode de propulsió de naus espacials que només utilitza la pressió de radiació solar (SRP). L'objecte principal d'investigació d'aquesta tesi és una nau espacial de vela solar en les òrbites del punt de libració creades artificialment. Proposa una estratègia per realitzar maniobres impulsives canviant els paràmetres de la vela. Els principals resultats nous són els següents: 1. Càlcul de punts de libració artificial en funció dels paràmetres d'una vela solar (angle del con α, angle del rellotge δ i nombre de lleugeresa β). L'SRP és una acceleració repulsiva addicional al CR3BP. Com a resultat, els punts d'equilibri CR3BP L1, L2...L5 es desplacen de les seves posicions originals. Els nous punts SL1, SL2...SL5 corresponen a posicions del sistema rotatiu on s'equilibren les forces gravitatòries, centrífugues i SRP. Aquests punts es poden representar en funció dels paràmetres de la vela α, δ i β. Determinació i ajust dels paràmetres de la vela solar, càlcul de maniobres d'impuls i la seva aplicació a transferències d'òrbita heteroclínica entre òrbites de Lissajous més una anàlisi de sensibilitat dels paràmetres de la maniobra per a transferències d'òrbita. La dinàmica de les maniobres de veles solars és conceptualment diferent de les maniobres de control clàssiques, que es basen només en canvis impulsius a la velocitat d'una nau espacial. Les òrbites de vela solar són contínues tant en posició com en velocitat en un camp vectorial variable, la qual cosa obre la possibilitat de l'existència de connexions heteroclíniques canviant el camp vectorial amb una maniobra de vela. A partir d'una anàlisi acurada de la geometria de l'espai de fases de les equacions lineals de moviment al voltant dels punts d'equilibri, els punts clau són la identificació dels principals paràmetres dinàmics i la representació de les solucions mitjançant les variables d'angle d'acció. S'han identificat les propietats dinàmiques bàsiques de les famílies de connexió, presentant noves opcions sistemàtiques per a l'anàlisi de la missió en el règim de punts de libració. A partir del mètode proposat per fer maniobres d'impuls, aquesta tesi ha dut a terme una investigació extensa: (1) Aplicant una maniobra d'un sol impuls, dues naus espacials poden arribar a la mateixa òrbita final de Lissajous tot i partir de diferents fases inicials. (2) Es proposa una estratègia de transferència que utilitza maniobres multiimpulsos. Es fixen els paràmetres inicials i finals de la vela solar. (3) Una nau espacial pot utilitzar maniobres de múltiples impulsos per fer salts d'anada i tornada entre les òrbites inicials i finals del punt de libració artificial. 2. Evitar zones prohibides considerant maniobres impulsives amb la vela. Hi ha una zona semblant a un cilindre al voltant de l'eix Sol-Terra on la radiació electromagnètica solar és especialment forta. El punt de libració L1 es troba en aquest eix i es troba entre els dos cossos. La mitja ombra de la Terra a la regió L2 també pot impedir que una nau espacial obtingui energia solar. Ambdós problemes es poden modelar col·locant una zona prohibida o d'exclusió al pla YZ (al voltant del punt de libració), que no s'ha de creuar. Per simplificar i visualitzar l'evitació de zones prohibides, aquesta tesi projecta les zones prohibides en 3D en l'anomenat pla de fase efectiva (PPE), que té la dimensió 2. 3. Estacionament d'una vela solar que es mou al llarg d'una òrbita de Lissajous. El procediment de manteniment de l'estació dissenyat realitza periòdicament una maniobra per evitar que la nau espacial s'escapi d'una determinada òrbita de Lissajous. La maniobra es calcula de manera que anul·li el component inestable de l'estat. A més, s'assumeix que hi ha un error aleatori en l'execució de la maniobra.

Director(s) de tesi: Josep Masdemont Soler, Yue Xiokui i Gerard Gómez Muntané

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

En aquest treball, s'estudia la funció de període per a famílies fixes de camps vectorials diferencials a trossos amb una línia de discontinuïtats. Aquests sistemes, anomenats indistintament a trossos o no suaus, apareixen en diverses aplicacions, entre d'altres, el control òptim, la mecànica no suau i la manipulació robòtica. Per a una família, utilitzant un mètode basat en equacions de Picard-Fuchs per a corbes algebraiques, caracteritzem el comportament global de la funció període. És a dir, determinem regions de l'espai de paràmetres per a les quals la funció de període corresponent és monòtona o té períodes crítics. A més, en una d'aquestes famílies s'estudia la bifurcació dels períodes crítics a l'interior de l'anell del període des del centre feble i del centre isòcron mitjançant el càlcul dels desenvolupaments de Taylor de les constants dels períodes propers al centre. A més, presentem l'inici de l'estudi del comportament global de la funció de període per al sistema lineal a trossos pla que conté un anell de període a l'infinit.

Director(s) de tesi: Alex Carlucci Rezende i Joan Torregrosa Arús

universitat: Universitat Federal de São Carlos

abstracte

La idea de Terraformation prové de la literatura de ciència ficció, on els humans tenen la capacitat de canviar un planeta no habitable per un de semblant a la Terra. Avui dia, la natura canvia ràpidament, els pols es fonen, la biodiversitat dels oceans s'esvaeix a causa de la contaminació per plàstics i els deserts avancen a un ritme imparable. Aquesta tesi és un primer pas cap a l'exploració de noves estratègies que puguin servir per canviar aquestes tendències pernicioses que comprometen els ecosistemes. Suggerim que no només és possible afegint noves espècies (espècies exòtiques), sinó també enginyeria d'espècies microbianes autòctones que ja estan adaptades al medi. Aquesta enginyeria pot millorar les seves funcions i capacitats permetent-los recuperar l'ecosistema (amfitrió) després de la seva reintroducció. Aquestes noves funcionalitats haurien de fer que els microbis siguin capaços d'induir un canvi de baix a dalt en l'ecosistema: de la microescala (microambient) a la macroescala (fins i tot canviant la composició de les espècies en tot l'ecosistema). Per fer-ho possible, l'anomenada estratègia de Terraformació ha de fusionar molts camps de coneixement diferents. L'objectiu d'aquesta tesi es basa en l'estudi del resultat de les interaccions entre les espècies i el seu entorn (Ecologia), en fer les modificacions desitjades mitjançant l'enginyeria genètica de les espècies de tipus salvatge (Biologia sintètica) i en el seguiment de l'avaluació de la estats actuals dels ecosistemes, provant els possibles canvis i predint el desenvolupament futur de possibles intervencions (sistemes dinàmics). Per fer-ho, en aquesta tesi hem recollit les eines que ens aporten aquests diferents àmbits de coneixement. La metodologia es basa en bucles entre observació, disseny i predicció. Per exemple, si hi ha una manca d'humitat als ecosistemes semiàrids, llavors proposem dissenyar, p. Nostoc sp. per millorar la seva capacitat de produir matriu extracel·lular (augment de la retenció d'aigua). Amb aquest marc, realitzem un model per entendre les diferents dinàmiques possibles, mitjançant equacions dinàmiques per avaluar, p. quan una soca sintètica romandrà a l'ecosistema i els efectes que produirà. També hem estudiat models espacials per predir la seva capacitat per modificar l'organització espacial de la vegetació. La dinàmica transitòria depèn del tipus de transició subjacent al punt d'inflexió que es produeix. Per aquest motiu, hem estudiat diferents sistemes: dinàmica de vegetació amb facilitació (típica de secà), un sistema cooperador-paràsit i un model de cadena tròfica on es poden provar diferents intervencions humanes (és a dir, caça, desforestació, degradació del sòl, destrucció d'hàbitats). Es demostra que tots aquests sistemes promouen diferents tipus de transicions (és a dir transicions suaus i catastròfiques). Cada transició té la seva pròpia empremta digital dinàmica i, per tant, conèixer-les pot ajudar a controlar i anticipar aquestes transicions fins i tot abans que es produeixin, aprofitant els anomenats senyals d'alerta primerenca. En aquest viatge, hem descobert que els transitoris poden ser un fenomen important en el món canviant actual.

Director(s) de tesi: Ricard Solé, Josep Sardanyés i Núria Conde

universitat: Universitat Pompeu Fabra

abstracte

La matriu G és un resum estadístic de la base genètica d'un conjunt de trets i un pilar central de la genètica quantitativa. Una controvèrsia persistent és si G canvia lentament o ràpidament amb el temps. L'evolució de G és important perquè afecta la capacitat de predir, o reconstruir, l'evolució per selecció. Els estudis empírics han trobat resultats contradictoris sobre la rapidesa amb què evoluciona G. El treball teòric s'ha desenvolupat en gran mesura sota el supòsit que la relació entre la variació genètica i la variació fenotípica —el mapa genotip-fenotip (GPM)— és lineal. Sota aquesta hipòtesi, s'espera que G es mantingui constant durant llargs períodes de temps. Tanmateix, segons la biologia del desenvolupament, el GPM sol ser complex i no lineal. Aquí, utilitzem un model GPM basat en el desenvolupament d'un òrgan pluricel·lular per estudiar com evoluciona G. Trobem que G pot canviar relativament ràpid i de diferents maneres qualitatives, que descriurem amb detall. Els canvis poden ser especialment grans quan la població es creua entre regions del GPM que tenen propietats diferents. Això pot provocar que la variància genètica additiva en la direcció de la selecció fluctuï amb el temps i fins i tot augmenti malgrat l'efecte erosionador de la selecció.

Director(s) de tesi: Isaac Salazar

universitat: Universitat d'Hèlsinki

abstracte

L'angiogènesi, la formació de nous vasos sanguinis a partir dels preexistents, és essencial per al desenvolupament normal i té un paper crucial en patologies com el càncer, la diabetis i l'aterosclerosi. Malgrat la investigació extensa, molts aspectes de com broten nous vasos de la vasculatura existent encara no estan clars. Els resultats experimentals recents indiquen que les cèl·lules endotelials, que recobreixen les parets internes dels vasos sanguinis, es reorganitzen dins dels vasos en creixement i que l'allargament dels brots està dominat per la barreja cel·lular durant les primeres etapes de l'angiogènesi. S'ha demostrat que els reordenaments cel·lulars estan regulats per l'adaptació dinàmica de l'expressió gènica cel·lular o fenotip cel·lular. Tanmateix, la majoria dels models teòrics d'angiogènesi no tenen en compte aquests fenòmens i, en canvi, assumeixen que les posicions cel·lulars són fixes i que el fenotip cel·lular és irreversible durant la germinació. En aquesta tesi, formulem un model multiescala de germinació angiogènica impulsada per reordenacions cel·lulars dinàmiques. El nostre model té en compte la barreja cel·lular que està regulada per un model estocàstic de senyalització subcel·lular vinculada al canvi de fenotip. Inicialment ens centrem en la germinació angiogènica primerenca quan els efectes de la proliferació cel·lular són insignificants. Validem el nostre model amb les dades experimentals disponibles. A continuació, l'utilitzem per desenvolupar una mesura per quantificar la quantitat de reordenació cel·lular que es produeix durant la germinació i investigar com canvia l'estructura de ramificació de les xarxes vasculars a mesura que varia el nivell de mescla cel·lular. Els nostres resultats suggereixen que la barreja cel·lular afecta directament la morfologia de les vasculatures en creixement. En particular, els reordenaments de cèl·lules endotelials amb fenotips diferents poden provocar canvis en l'estructura de la xarxa, ja que l'adaptació del fenotip cel·lular és més lenta que la migració cel·lular. La mescla cel·lular també contribueix a la remodelació de la matriu extracel·lular que, al seu torn, guia el creixement vascular. Per tal d'investigar els efectes de la proliferació cel·lular, que opera en escales de temps més llargues que la migració cel·lular, primer desenvolupem un mètode, basat en la teoria de grans desviacions, que ens permet reduir la complexitat computacional del nostre model híbrid multiescala mitjançant el gran gruixut de l'interior. dinàmica dels seus agents cel·lulars. El mètode de gra gruixut (CG) és aplicable a sistemes en què el comportament de l'agent és descrit per sistemes estocàstics amb múltiples estats estacionaris estables. La tècnica CG redueix el sistema estocàstic original a un procés de salt de Markov en l'espai dels seus estats estacionaris estables. El nostre mètode CG conserva la descripció original dels estats de l'agent (en lloc de convertir-los en discrets) i les transicions estocàstiques entre ells, alhora que redueix considerablement la complexitat computacional de les simulacions de models. Després de formular el mètode CG per a una classe general de models híbrids, il·lustrem el seu potencial aplicant-lo al nostre model d'angiogènesi. Examinem el model subcel·lular, que determina l'especificació del fenotip cel·lular. Això redueix substancialment el cost computacional de les simulacions. A continuació, ampliem el nostre model per tenir en compte la proliferació cel·lular i el validem mitjançant les dades experimentals disponibles. Aquest marc ens permet estudiar el creixement de la xarxa en escales de temps associades a l'angiogènesi in vivo i investigar com la variació de la taxa de proliferació cel·lular afecta el creixement de la xarxa. En resum, aquest treball proporciona una nova visió dels complexos comportaments cel·lulars que impulsen la germinació angiogènica.

Director(s) de tesi: Tomás Alarcon , Helen M. Byrne i Philip K. Maini

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En la tesi considerem una major regularitat dels límits lliures en diferents variacions del problema d'obstacles, és a dir, quan l'operador de Laplace b. es substitueix per un altre operador el·líptic o parabòlic. En el problema d'obstacles fraccionaris amb deriva (L = (-'6.)8 + b · v'), demostrem que per a b constant i irracional s > ½ la frontera lliure és C00 prop de punts regulars sempre que l'obstacle sigui C00. Per fer-ho, establim desigualtats de Harnack de límit d'ordre superior per a equacions lineals. Això dóna un argument d'arrencada, ja que la normal de la frontera lliure es pot expressar amb quocients de derivades de solució del problema d'obstacles. A més, establim l'estimació de límit de Harnack per a operadors parabòlics lineals (L = Ot – b.) en dominis parabòlics C1 i C1•°' i donem una nova prova de l'estimació de límit d'ordre superior de Harnack en dominis ck,a. De la mateixa manera que en el problema d'obstacles fraccionaris amb deriva, això implica que el límit lliure en el problema d'obstacles parabòlics és C00 prop de punts regulars. També s'estudia la regularitat del límit lliure en el problema d'obstacles fraccionaris parabòlics (L = Ot + (-b.)8) en els casos > ½- Som capaços de demostrar una estimació de Harnack del límit en dominis C1•°', que millora la regularitat del límit lliure de C1•°' a C2•°'. Finalment, establim la teoria de regularitat completa per a límits lliures en problemes d'obstacles parabòlics totalment no lineals. Concretament trobem la divisió del límit lliure en punts regulars i singulars, mostrem que prop de punts regulars el límit lliure és localment un gràfic d'una funció C00, i que els punts singulars són "rars": es poden cobrir amb un Lipschitz. varietat de co-dimensió 2, que és arbitràriament plana en l'espai.

Director(s) de tesi: Xavier Ros-Oton

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

Els resultats d'aquesta tesi es refereixen a temes extremals i probabilístics en entorns teòrics de nombres. Demostrem condicions suficients quan certs tipus de solucions senceres de sistemes lineals d'equacions en conjunts aleatoris binomials es distribueixen amb normalitat, els resultats en l'estructura aproximada típica de parells de subconjunts enters amb una cardinalitat de suma determinada, així com els límits superiors de la mida de família de conjunts enters que defineixen conjunts de sumes diferents per parelles poden ser. Per tal de demostrar el resultat estructural típic en parells de conjunts enters, també establim una nova versió multipartida del mètode dels contenidors hipergràfics, generalitzant el treball anterior de Morris, Saxton i Samotij.

Director(s) de tesi: Oriol Serra i Juan Jose Rue

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi tracta de la complexitat de la demostració de sistemes de demostració algebraics i semialgebraics Càlcul polinomial, Sumes de quadrats i Sherali-Adams. La mesura de complexitat més estudiada per a aquests sistemes és el grau de les demostracions. Aquesta tesi es concentra en altres possibles mesures de complexitat d'interès per demostrar la complexitat, la mida del monomi i la complexitat de bits. Pretenem demostrar que també hi ha una teoria raonablement ben comportada per a aquestes mesures. En primer lloc, lligem les mesures de complexitat del grau i la mida del monomi demostrant una compensació mida-grau per a Sums de quadrats i Sherali-Adams. Mostrem que si hi ha una refutació amb com a màxim s molts monomis, aleshores hi ha una refutació el grau de la qual és d'ordre arrel quadrada de n log s més k, on k és el grau màxim de les restriccions i n és el nombre de variables. . Per al càlcul polinomial, Impagliazzo, Pudlák i Sgall van obtenir una compensació similar. En segon lloc, demostrem una propietat d'interpolació factible per als tres sistemes. Mostrem que per a cada sistema hi ha un algorisme de temps polinomial que donat dos conjunts P(x,z) i Q(y,z) de restriccions polinomials en successions disjuntes x,y i z de variables, una refutació de la unió de P (x,z) i Q(y,z), i una assignació a a les variables z, troba una refutació de P(x,a) o una refutació de Q(y,a). Finalment considerem la relació entre la mida del monomi i la complexitat de bits en el càlcul polinomial i la suma de quadrats. Mostrem que hi ha un conjunt insatisfactori de restriccions polinomials que té refutacions tant de càlcul polinomial com de suma de quadrats de mida de monomi polinomi, però per a les quals qualsevol refutació de càlcul polinomi o de suma de quadrats requereix complexitat de bits exponencial. A més de l'èmfasi en les mesures de complexitat diferents del grau, un altre tema unificador en els tres resultats és l'ús de caracteritzacions semàntiques de proves i refutacions limitades per recursos. Tots els resultats fan un gran ús de les propietats d'exhaustivitat d'aquestes caracteritzacions. Amb tot, el treball sobre aquestes caracteritzacions semàntiques es presenta com la quarta aportació central d'aquesta tesi.

Director(s) de tesi: Albert Atserias

universitat: Univeristat Politècnica de Catalunya

abstracte

El 2016 H. Matui va conjecturar que els grups K de l'àlgebra C* associats a un grupoide d'étale mínim efectiu, amb un conjunt de Cantor com a espai unitari, es podrien calcular com la suma directa infinita dels grups d'homologia d'un grupoide donat. Tot i que E. Scarparo va trobar un contraexemple el 2020, l'estudi de les condicions suficients i/o necessàries perquè la conjectura es mantingui segueix sent rellevant. L'objectiu principal d'aquesta tesi és aprofundir encara més en el coneixement d'aquesta conjectura, aportant-ne alguns exemples i contraexemples i, el que és més important, desenvolupant noves tècniques per al càlcul d'invariants de grupoides. Les dues classes principals de grupoides implicades en el nostre treball són els de Deaconu-Renault i els autosimilars.

Director(s) de tesi: Pere Ara i Joan Bosa Puigredon

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

En aquest treball generalitzem la construcció de funcions L anticiclotòmiques p-àdiques associades a una corba el·líptica E/F i una extensió quadràtica K/F, definint una mesura µ_f^p unida a K/F i una forma automòrfica. En el cas del paral·lel 2, la forma automòrfica s'associa a una corba el·líptica E/F. El primer resultat principal és una fórmula p-àdica de Gross-Zagier: si E té una reducció multiplicativa dividida a p i p no es divideix a K/F, calculem la primera derivada de la funció L p-àdica relacionant-la amb la diferència conjugada d'un punt de Darmon retorçat per un caràcter ¿. La demostració utilitza el mapa de reciprocitat proporcionat per la teoria de camps de classe com una forma natural d'interpretar les diferències conjugades de punts en E(Kp) com a elements en l'augment ideals per a l'aluació en el caràcter ¿. Això generalitza un resultat de Bertolini i Darmon. Amb un argument similar, després de descobrir el treball de Fornea i ehrmann sobre punts plèctics, demostrem una fórmula zero excepcional que relaciona una derivada d'ordre superior de En aquest treball generalitzem la construcció de funcions L anticiclotòmiques p-àdiques associades a una corba el·líptica. E/F i una extensió quadràtica K/F, definint una mesura µ_f^p unida a K/F i una forma automòrfica. En el cas del paral·lel 2, la forma automòrfica s'associa a una corba el·líptica E/F. El primer resultat principal és una fórmula p-àdica de Gross-Zagier: si E té una reducció multiplicativa dividida a p i p no es divideix a K/F, calculem la primera derivada de la funció L p-àdica relacionant-la amb la diferència conjugada d'un punt de Darmon retorçat per un caràcter ¿. La demostració utilitza el mapa de reciprocitat proporcionat per la teoria de camps de classe com una forma natural d'interpretar les diferències conjugades de punts en E(Kp) com a elements en l'augment ideals per a l'avaluació en el caràcter ¿. Això generalitza un resultat de Bertolini i Darmon. Amb un argument similar, després de descobrir el treball de Fornea i Gehrmann sobre els punts plèctics, demostrem una fórmula zero excepcional que relaciona una derivada d'ordre superior de µ_f^S amb punts plèctics. Trobem una mesura d'interpolació µ_F^p per a µ_f^p adjunta a una família Hida d'interpolació F per a f. Aquí µ_F^p es pot considerar com una funció L p-àdica de dues variables, que ara inclou el pes com a variable. Aleshores definim la funció L p-àdica de Hida-Rankin Lp(f^p, ¿, k) com la restricció de µ_F^p a l'espai de pes. Finalment, demostrem una fórmula que relaciona el terme principal de pes de Lp(f^p, ¿, k) amb punts plèctics. En resum, el terme principal és una constant explícita multiplicada pels factors d'Euler per el logaritme de la traça d'un punt plectic. Aquesta fórmula és una generalització d'un resultat de Longo, Kimball i Hu, que s'ha utilitzat per demostrar la racionalitat d'un punt de Darmon sota algunes hipòtesis.

Director(s) de tesi: Santiago Molina i Víctor Rotger

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

En aquesta tesi s'estudien les estructures de Poisson en països de mòduls i en accions grupals. En particular, l'atenció se centra en les estructures b^m-simplèctiques, que es poden veure com estructures simplèctiques amb singularitats o també amb un tipus particular d'estructures de Poisson. També estudie les estructures de Poisson en varietats de caràcters associats a equacions diferencials fúcsianes i el comportament d'aquestes estructures de Poisson sota la confluència de singularitats. En el cas de les varietats b^m-simplèctiques, considereu diverses classes d'accions grupals, començant per les b^m-accions hamiltonianes, una generalització natural de les funcions de moment hamiltonianes en un context simplèctic singular. Després, Generalitzem es va enfrontar a més que això, va notar singulars accions grupals quasi hamiltonianes. Aquesta atrevida generalització ve motivada per aquelles accions grupals que conserven l'estructura ab^m-simplèctica a la varietat però no admeten una funció de moment convencional. Utilitzem ambdues funcions de moment (b^m-Hamiltoniana i quasi-Hamiltoniana singular) per demostrar una generalització corresponent del teorema de reducció de Marsden-Weinstein, demostrant que en l'entorn singular, el procediment de reducció elimina la singularitat. Demostrem un teorema del tall singular com a primer pas per a la demostració de la reducció. Mostrem que la reducció singular de Marsden-Weinstein admet la reducció “per etapes” i es desplaça amb el procediment de desingularitat. per la correspondència Riemann-Hilbert. En primer lloc, considerem diversos casos en què la correspondència de Riemann-Hilbert es pot resoldre explícitament en una corba el·líptica. A continuació, passem al cas dels transcendents de Painlevé sobre l'esfera de Riemann. En particular, el Hamiltonià d'Okamoto per a la segona equació del te Painlevé és una estructura b-simplectica natural. Per a la resta d'equacions, l'estructura és més complicada. Comencem considerant les estructures de Poisson en l'espai de mòduls de plans de connexió i varietats de caràcters corresponents a equacions fucsianes, totes les singularitats són pols simples (en particular, Painlevé VI). Considereu estructures de Poisson per a les quals la correspondència de Riemann-Hilbert és un mapa de Poisson. També vaig estudiar estructures de Poisson relacionades amb l'equació de Painlevé V (3 pols: un d'ordre 2 i two simple pols)

Director(s) de tesi: Eva Miranda

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Emmarcada dins de les àrees de la geometria algebraica i l'àlgebra commutativa, aquesta tesi contribueix a l'estudi de faixos i paquets vectorials sobre varietats tòriques. Des de diferents perspectives, aprofitem la teoria de les varietats tòriques per abordar dos problemes principals: una millor comprensió de l'estructura de les garbes equivariants en una varietat tòrica, i la conjectura d'EinLazarsfeld-Mustopa sobre l'estabilitat dels paquets sizigics en varietats projectives. Després d'un capítol preliminar 1, el nucli d'aquesta tesi es desenvolupa en tres capítols principals. La línia argumental comença amb l'estudi de les garbes lliures de torsió equivariants, i evoluciona cap a l'estudi de les garbes reflexives equivariants amb una aplicació al problema de trobar paquets d'Ulrich equivariants en una varietat tòrica projectiva. Finalment, acabem aquesta tesi abordant l'estabilitat dels paquets sizigics en determinades varietats tòriques completes llises i el seu espai mòdul, contribuint a la conjectura d'Ein-Lazarsfeld-Mustopa. Més precisament, el capítol 1 conté les definicions i nocions preliminars utilitzades en el cos principal d'aquest treball. Introduïm la noció de varietat tòrica i les seves característiques principals, destacant la noció d'anell de Cox i la correspondència algebraica entre mòduls i feixes. En particular, centrem la nostra atenció en les garbes equivariants d'una varietat tòrica. Recordem la construcció de Klyachko que descriu polees equivariants lliures de torsió mitjançant una família d'espais vectorials filtrats, i ho il·lustrem amb molts exemples. En el capítol 2, centrem la nostra atenció en l'estudi de les garbes lliures de torsió equivariants, connectades d'una manera molt natural a la teoria dels ideals monomis. Introduïm la noció d'un diagrama de Klyachko, que generalitza el diagrama clàssic d'escales d'un ideal monomi. Proporcionem molts exemples per il·lustrar els resultats al llarg de les dues seccions principals d'aquest capítol. Després de descriure mètodes per calcular el diagrama de Klyachko d'un ideal monomi, l'utilitzem per descriure el primer mòdul de cohomologia local, que mesura la saturació d'un ideal monomi. Finalment, apliquem la noció de diagrama de Klyachko al càlcul de la funció de Hilbert i del polinomi de Hilbert d'un ideal monomi. Com a conseqüència, caracteritzem tots els ideals monomis que tenen un polinomi de Hilbert constant, en termes de la forma del diagrama de Klyachko. El capítol 3 està dedicat a l'estudi de les garbes reflexes equivariants en una varietat tòrica completa llisa. Descrivim una família de polítops de gelosia que codifiquen com canvien les seccions globals d'una faixa reflexa equivariant a mesura que la girem per un paquet de línies. En particular, això proporciona un mètode per calcular el polinomi de Hilbert d'una faixa reflexa equivariant. Estudiem amb detall el cas de les varietats tòriques llises amb ventall desdoblador. Som capaços de donar límits per al grau inicial multigraduat i per a l'índex de regularitat multigradual d'una faixa reflexa equivariant en una varietat tòrica llisa amb ventall divisor. A partir d'aquest darrer resultat donem un mètode per calcular explícitament el polinomi de Hilbert d'una faixa reflexa equivariant en una varietat tòrica llisa amb ventall de divisió. Finalment, apliquem aquestes eines per presentar un mètode destinat a trobar paquets d'Ulrich equivariants en una superfície de Hirzebruch, i donem un exemple d'un paquet d'Ulrich equivariant de rang 3 a la primera superfície de Hirzebruch. El capítol 4 tracta l'estabilitat dels paquets sizigics en una varietat tòrica determinada. Contribuïm a la conjectura d'Ein-Lazarsfeld-Mustopa, demostrant l'estabilitat del paquet sizigi de qualsevol polarització d'una explosió d'un espai projectiu al llarg d'un subespai lineal.

Director(s) de tesi: Rosa Maria Miró Roig

universitat: Universitat de Barcelona

abstracte

En aquesta tesi s'estudien diversos aspectes del semigrup de Cuntz associats a una àlgebra C*, així com els anomenats semigrups abstractes de Cuntz. En particular, analitzem el problema de rang per la classe d'àlgebres d'IA separables, obtenint una caracterització completa. També s'introdueix una noció de dimensió per als semigrups de Cuntz abstractes, que en el cas de funcions contínues en un espai topològic coincideix amb la dimensió de Lebesgue habitual. Aquesta dimensió també està relacionada amb la dimensió nuclear d'una àlgebra C*, i està demostrat que ambdues coincideixen en casos significatius. Es presta especial atenció al cas de dimensió zero, on es pot donar una caracterització d'aquests semigrups en termes de condicions de densitat d'alguns elements privilegiats. Finalment, s'introdueix la noció d'àlgebres C* disperses enlloc, i es demostra que és una classe molt àmplia, que inclou totes les àlgebres simples de dimensions infinites. Es donen diverses caracteritzacions d'aquest concepte, inclosa una descripció en termes de propietats de divisibilitat del semigrup de Cuntz. Aquesta noció està íntimament lligada a l'anomenat Global Glimm Problem, que també s'analitza a la tesi, donant una reformulació a través de condicions del semigrup de Cuntz.

Director(s) de tesi: Francesc Perera

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona

abstracte

El problema de tres cossos restringit modela el moviment d'un cos de massa insignificant sota la influència gravitatòria de dos cossos massius, anomenats primaris. Si els primaris fan moviments circulars i el cos sense massa és coplanar amb ells, es té el problema de 3 cossos circulars planars restringits (RPC3BP). En coordenades sinòdiques, és un sistema hamiltonià autònom de dos graus de llibertat amb cinc punts crítics, L3,……,L1, anomenats punts de Lagrange. El punt de Lagrange L5 és un punt crític del centre de sella que és colineal amb els primaris i es troba més enllà del més gran. Aquesta tesi se centra en l'estudi de les varietats unidimensionals inestables i estables associades a L3 i l'anàlisi de diferents fenòmens homoclínics i caòtics que les envolten. Suposem que la relació entre les masses de les primàries és petita. En primer lloc, obtenim una fórmula asimptòtica per a la distància entre les varietats inestables i estables de L3. Quan la relació entre les masses dels primaris és petita els valors propis associats a L3 tenen escales diferents, amb el mòdul dels valors propis hiperbòlics més petit que els el·líptics. A causa d'aquesta dinàmica de rotació ràpida, les varietats invariants de L3 estan exponencialment properes entre si pel que fa a la relació de masses i, per tant, les tècniques pertorbatives clàssiques (és a dir, el mètode Poincaré-Melnikov) no es poden aplicar. De fet, la fórmula per a la distància entre les varietats inestables i estables de L3 es basa en una constant de Stokes que ve donada per l'equació interna. Aquesta constant no es pot calcular analíticament, però les evidències numèriques mostren que és diferent de zero. Aleshores, es dedueix que no existeixen òrbites homoclíniques d'3 ronda, és a dir, connexions homoclíniques que s'acosten al punt crític només una vegada. El segon resultat de la tesi es refereix a l'existència d'òrbites homoclíniques de 1 rodones a L2, és a dir, connexions que s'acosten dues vegades al punt crític. Més concretament, demostrem que existeixen connexions de 3 rodones per a una seqüència específica de valors dels paràmetres de relació de massa. També obtenim una expressió asimptòtica per a aquesta seqüència. A més, demostrem que existeix un conjunt d'òrbites periòdiques de Lyapunov les varietats inestables i estables de dues dimensions es tallen transversalment. La família d'òrbites periòdiques de Lyapunov de L2 té un nivell d'energia hamiltonià exponencialment proper al del punt crític L3. Aleshores, segons el teorema homoclínic de Smale-Birkhoff, això implica l'existència de moviments caòtics (ferradura de Smale) en un barri exponencialment proper a L3 i les seves varietats invariants. A més, també demostrem l'existència d'un desplegament genèric d'una tangència homoclínica quadràtica entre les varietats inestable i estable d'una òrbita periòdica específica de Lyapunov, també amb un nivell d'energia hamiltonià exponencialment proper al de L3.

Director(s) de tesi: Marcel Guardia i Inmaculada Baldomá

universitat: Universitat Politècnica de Catalunya

abstracte

Aquesta tesi està dedicada a l'anàlisi del moviment de cossos petits, com els asteroides, al voltant del sistema Terra-Lluna des d'un enfocament de la mecànica celeste. Aquesta és una àmplia àrea d'investigació on probablement, el model matemàtic simplificat més estès és el conegut sistema hamiltonià autònom, el Restricted Three-Body Problem (RTBP). S'han proposat moltes modificacions a aquest model, buscant una descripció més precisa del sistema. Una de les maneres més senzilles d'introduir efectes físics addicionals és mitjançant pertorbacions periòdiques, de manera que el nou sistema no autònom s'acosta a l'autònom, i té moltes solucions periòdiques o quasi periòdiques. Si aquestes solucions són hiperbòliques, tenen varietats invariants estables/inestables, de manera que les varietats estables s'apropen a les solucions quasi periòdiques cap endavant en el temps, mentre que les varietats inestables ho fan cap enrere en el temps, constituint l'esquelet dels fenòmens de transport dinàmic que ens interessen. Observeu que una dimensió es pot reduir definint un mapa temporal de Poincaré adequat. Per tant, el nostre objectiu és calcular les solucions quasi periòdiques i les seves varietats en aquest mapa. La major part de l'esforç d'aquesta tesi s'adreça al Problema Bicircular (BCP), en què la Terra i la Lluna es tracten com a primàries a l'RTBP i el camp gravitatori del Sol s'introdueix com un forçament periòdic temporal de l'RTBP. En particular, hem analitzat àmpliament la família horitzontal de solucions quasi periòdiques bidimensionals al voltant del punt d'equilibri inestable colineal L3. Hem trobat que diverses trajectòries que connecten la Terra, la Lluna i el sistema exterior Terra-Lluna es regeixen per la dinàmica L3. Es presta molta atenció a les trajectòries que vénen de la Lluna cap a la Terra, ja que poden donar una visió del viatge que fan els meteorits lunars abans d'aterrar al nostre planeta. Aquests resultats s'han traduït i comparat amb els d'un model realista basat en efemèrides JPL (Jet Propulsion Laboratory), mostrant una bona concordança entre els resultats obtinguts. També hem proposat i dut a terme una estratègia per capturar un asteroide proper a la Terra (NEA) utilitzant les varietats invariants estables de la família horitzontal d'òrbites quasi periòdiques al voltant de L3 al BCP. Amb aquest objectiu s'introdueix la parametrització d'alt ordre de les varietats invariants estables/inestables, per al qual s'ha utilitzat la tècnica del transport a raig. Finalment, l'estratègia s'aplica al NEA 2006 RH120. Les contribucions al BCP presentades en aquesta tesi inclouen dues aplicacions més. El primer està dedicat a l'estudi del comportament inestable prop dels punts triangulars, mentre que el segon està dedicat a una família de corbes estables invariants al voltant de la Lluna que estan properes a una ressonància, afavorint l'aparició de moviment caòtic. L'última part de la tesi se centra en el càlcul efectiu de la parametrització d'ordre alt de les varietats invariants estables i inestables associades a toris invariants reductibles de qualsevol dimensió elevada. Per a això, recorrem al sistema reductible, que ofereix un alt grau de paral·lelització dels càlculs. A més, expliquem com combinar els mètodes presentats amb múltiples tècniques de tir per calcular amb precisió objectes invariants altament inestables.

Director(s) de tesi: Àngel Jorba

universitat: Universitat Autònoma de Barcelona