Wigglyhedra: una nova estructura combinatòria i geomètrica

A l'article «Wigglyhedra», els investigadors Asilata Bapat (Universitat Nacional Australiana) i Vincent Pilaud (Universitat de Barcelona – Centre de Recerca Matemàtica) presenten el complex ondulat, una nova estructura combinatòria i geomètrica, juntament amb el seu polítop associat, el wigglyedre, que uneix la geometria, la combinatòria i la teoria de categories de maneres innovadores.

En el seu article recent, Wigglyhedra, publicat a Revista matemàtica, Asilata Bapat (The Australian National University) i Vincent Pilaud (Universitat de Barcelona – Centre de Recerca Matemàtica) presenten el complex ondulat, una estructura combinatòria i geomètrica nova i rica. A través d'una exploració profunda de les seves propietats (combinatòria, categòrica i geomètrica), construeixen la wigglyhedre, un polítop que realitza aquest complex i el connecta a marcs matemàtics més amplis com ara les xarxes cambrianes, gràfics giratoris, i la teoria de la representació.

El complex ondulat (esquerra) i el gràfic de gir ondulat (dreta). Figura extreta de la publicació original.

El viatge comença amb una idea senzilla: dibuixar arcs entre punts d'una línia, permetent-los moure's per sobre i per sota de l'eix, però mai creuar-se. Aquests arcs ondulats constitueixen la base del complex ondulat, una pseudovarietat de dimensió (2n−1) sense vora. És el complex simplicial de subconjunts d'arcs ondulats interns que es creuen i que es divideixen per parells.

Els arcs ondulats es van inspirar en certes descomposicions de trajectòries corbes arbitràries entre punts que sorgeixen d'un model geomètric en teoria de la representació.
Donat un conjunt de punts al llarg d'un segment de línia, proporcionen una manera combinatòria de decidir en quin costat de la línia es troba cada punt.
També van aparèixer en el treball de Nathan Reading sobre diagrames d'arcs que no es creuen, tot i que la condició de compatibilitat era molt diferent.

- Vincent Pilaud (UB – CRM)

La vèrtexs del complex són els arcs ondulats en si, corbes que es mouen al voltant de n+2 punts colineals. La seva cares són conjunts d'arcs que tenen punts per parells i no es creuen, i els seus facetes-va trucar pseudotriangulacions ondulades— són conjunts màxims d'aquest tipus. Aquestes pseudotriangulacions divideixen l'espai en regions corbes, semblants a triangles, que formen les cel·les de dimensió superior del complex.

Quatre pseudotriangles ondulats. Figura extreta de la publicació original.

En la meva feina, és molt important experimentar amb els objectes combinatoris, familiaritzar-se amb les seves propietats i desenvolupar conjectures i afirmacions. Faig molts experiments utilitzant el programari de codi obert sagemath. En particular, un cop vam descobrir la regla per a les coordenades dels raigs del ventall ondulat i de les facetes del wigglyedre, va ser interessant observar el ventall ondulat tridimensional i el wigglyedre que es representen a l'article.

- Vincent Pilaud (UB – CRM)

El complex ondulat no és només un objecte geomètric, sinó que codifica estructures combinatòries profundes. Els autors defineixen permutacions ondulades, una classe de permutacions que eviten patrons de [2n], i demostrar una bijecció entre aquestes i pseudotriangulacions ondulades. Aquesta bijecció indueix un isomorfisme a partir de gràfic ondulat al gràfic de portada de la xarxa onduladaLes permutacions ondulades formen una subxarxa de l'ordre feble de les permutacions (la xarxa ondulada), el diagrama de Hasse del qual és regular de grau 2n−1 i isomorf al gràfic de la wigglyhedre orientat en una direcció adequada.

El resultat més sorprenent és que el complex ondulat és el complex límit d'un polítop.
Mentre que els complexos simplicials són molt comuns en matemàtiques (només codifiquen col·leccions de subconjunts tancats sota subconjunts), els complexos de frontera dels polítops són molt específics.

— Vincent Pilaud (UB – CRM)

Aquest punt de vista de la teoria de la xarxa s'enriqueix amb un punt de vista categòric. Utilitzant el model de Khovanov-Seidel, els autors interpreten els objectes descompostos en una categoria triangulada com a arcs ondulats, les interseccions dels quals corresponen a morfismes. La descomposició d'una corba general en arcs ondulats reflecteix la descomposició d'un objecte complex en les seves peces de cohomologia.

A més, la compatibilitat es defineix tant geomètricament (no encreuament i punteig) com categòricament: cada arc correspon a un objecte en una categoria abeliana, i la compatibilitat reflecteix l'absència d'extensions entre aquests objectes. Aquesta doble interpretació permet als autors connectar la geometria amb l'àlgebra homològica d'una manera precisa i elegant.

Alguns arcs ondulats incompatibles: no apuntats (esquerra) i creuats (dreta). Figura extreta de la publicació original.

Després de desenvolupar el complex ondulat i les seves estructures associades, els autors construeixen el wigglyhedre—un politop simplicial el polar del qual té un complex límit isomorf al complex ondulat. Aquest politop es defineix de dues maneres equivalents:

• Com la intersecció de semiespais definits per tots els arcs ondulats interns.
• Com l'embolcall convex de punts associats amb totes les pseudotriangulacions ondulades.

El wigglyedre té connexions profundes amb la teoria de la representació (però no diria que això fos inesperat, ja que la motivació de la definició va venir d'aquest costat).
Si intentem estendre el wigglyedre a conjunts de punts arbitraris del pla, també necessitem entendre les connexions amb la teoria de la rigidesa (però això també era d'esperar, ja que ja era present en el treball de Rote-Santos-Streinu).

— Vincent Pilaud (UB – CRM)

La col·lecció de cons generats per la g-vectors de pseudodisseccions ondulades formen el ventilador ondulant, el fan habitual d'aquest polítop simplicial.

El ventall ondulat WF2, intersectat amb l'esfera unitària i projectat estereogràficament al pla. Els vèrtexs de la projecció són raigs de WF2 i estan etiquetats amb els arcs ondulats corresponents. Figura extreta de la publicació original.

La wigglyhedre no és un objecte aïllat. De fet, conté estructures conegudes del món cambrià:

• Qualsevol associatedre cambrià de tipus A normalment és equivalent a una cara ben escollida del wigglyedre.
• La xarxa cambriana corresponent —que apareix a través de triangulacions, permutacions, pseudotriangulacions ondulades i permutacions ondulades— emergeix com un interval en la xarxa ondulada.
• El ventall cambrià és una baula del ventall ondulat.

Aquestes connexions posicionen el wigglyedre com un objecte unificador en geometria discreta, capaç de capturar i estendre construccions clàssiques.

 El wigglyedre W2. Els vèrtexs estan etiquetats amb les pseudotriangulacions ondulades corresponents. Figura extreta de la publicació original.

L'article conclou amb un conjunt ric de problemes oberts, agrupats en tres àrees principals:

Propietats gràfiques i geomètriques

• Quin és el diàmetre del gràfic de gir ondulat?
• El complex ondulat satisfà la propietat de la cara no sortint, rellevant per a la navegació i l'optimització de polítops?
• El gràfic ondulat admet un camí o un cicle hamiltonià?

Generalitzacions i dualitats

• Hi ha una doble interpretació de les pseudotriangulacions ondulades, com una mena d'arranjaments de pseudolínies?
• Podem definir un complex multi-ondulat?
• Es pot estendre el complex ondulat a grups de Coxeter finits arbitraris?

Preguntes categòriques i algebraiques

• Podem caracteritzar col·leccions d'objectes compatibles màximes sense fer referència a corbes?
• Es poden realitzar aquestes col·leccions sempre com a peces de cohomologia d'un objecte més gran?

Espero que el nostre treball tingui conseqüències en la teoria de la representació. Com que no sóc un teòric de la representació, és difícil imaginar què hi aportarà, però la meva experiència indica que sens dubte inspirarà resultats futurs.

— Vincent Pilaud (UB – CRM)

La wigglyhedre no és el punt de partida, sinó la culminació d'una exploració profunda de l'estructura de la complex ondulatMitjançant una barreja de geometria, combinatòria i teoria de categories, Bapat i Pilaud han introduït una nou paisatge matemàtic, ric en connexions i preguntes obertes. El seu treball estableix les bases per a futurs descobriments a la intersecció de la geometria discreta i les estructures algebraiques.

El problema obert més difícil és ampliar el nostre estudi al complex ondulat de conjunts de punts arbitraris en el pla. En el nostre treball, considerem el complex ondulat d'un conjunt de n punts alineats i demostrem que és el complex de frontera d'un polítop. Rote-Santos-Streinu va obtenir el mateix resultat per al complex de pseudotriangulació (aquí no hi ha cap ondulació, els segments de línia són tots rectes) d'un conjunt de n punts en posició general en el pla (quan no hi ha tres punts alineats). Aquests són els dos extrems d'una situació molt més general d'un conjunt de punts arbitrari en el pla (no necessàriament alineat, no necessàriament en posició general), per al qual hi ha una noció natural de complex ondulat que també hauria de ser el complex de frontera d'un polítop.

— Vincent Pilaud (UB – CRM)