Tendències en equacions diferencials, neurociència matemàtica i altres temes biològics

Les matemàtiques poden contribuir a la comprensió de la funció cerebral proporcionant models i eines analítiques per descriure i analitzar els mecanismes subjacents a l'activitat neuronal. Al llarg dels anys, hem desenvolupat enfocaments basats en sistemes dinàmics i models computacionals per explorar com la dinàmica neuronal configura la computació i el comportament.
En aquesta xerrada, revisarem diversos conceptes i marcs de modelització que han sorgit d'aquest treball amb el professor Guillamon. Aquests inclouen l'estudi d'isòcrones i descripcions de fase de sistemes oscil·latoris per caracteritzar els ritmes neuronals i la seva resposta a les pertorbacions; tècniques matemàtiques per abordar problemes inversos, destinades a inferir quantitats experimentalment inaccessibles com ara les conductàncies sinàptiques; i models dinàmics de multiestabilitat perceptiva, que proporcionen informació sobre la competència entre representacions neuronals alternatives en la percepció.
Juntes, aquestes contribucions il·lustren com la modelització matemàtica pot aclarir els mecanismes que impulsen la dinàmica neuronal i les seves conseqüències funcionals per a la computació neuronal.

L'origen de la vida en un escenari prebiòtic i l'emmagatzematge de grans quantitats d'informació comparteixen l'anomenada catàstrofe d'errors o taxa de mutació crítica. Aquest canvi brusc es deu a la gran acumulació esperada d'errors durant la replicació (Eigen 1971; Eigen i Schuster 1979; Swetina i Schuster 1982; Küppers 1985; Maynard-Smith i Szathmary 1995) i sembla estar intrínsecament relacionat amb la longitud del codi d'informació (paradoxa d'Eigen).
Per resoldre aquesta paradoxa, Eigen i Schuster (1979) van proposar una estructura bioquímica plausible que van anomenar "hipercicle". Els hipercicles són xarxes catalítiques de replicadors més petits (unitats que s'autocopien i comparteixen informació) disposats en una arquitectura cíclica. Aquesta configuració espacial evita la catàstrofe d'error i presenta escenaris d'estabilitat; tanmateix, la seva robustesa en presència de paràsits no sempre és clara. La seva riquesa des del punt de vista de la Teoria de Sistemes Dinàmics és significativa i presenta moltes característiques interessants, com han demostrat diversos articles de Solé, Sardanyés, Fontich, Guillamon i altres.
En aquesta xerrada farem un breu resum d'alguns d'aquests resultats.

Els sistemes diferencials sovint s'estudien amb l'ajuda de simetries, ja sigui per posar-les en una forma més convenient o per reduir el seu estudi a una porció adequada de l'espai. En alguns casos, trobar una simetria pot fins i tot conduir a descobrir propietats dinàmiques del sistema que d'altra manera serien difícils de demostrar. Aquest és el cas de les simetries de mirall, que poden mostrar l'existència de solucions periòdiques en presència d'òrbites rotatòries. Per als sistemes planars, aquesta és la manera més fàcil de demostrar l'existència de cicles en absència de primeres integrals conegudes. L'argument que demostra que cada òrbita rotatòria d'un sistema planar que talla l'eix de simetria és un cicle s'aplica sense canvis a les simetries no lineals de tipus mirall. Això proporciona una eina més general per demostrar la integrabilitat local. Aquestes simetries σ, generalment anomenades reversibilitats, es caracteritzen per la següent propietat de flux,

L'existència d'aquesta reversibilitat es pot demostrar sense conèixer el flux mostrant que

where Jσ és la matriu jacobiana de σ. Una propietat de flux diferent,

caracteritza una altra classe de simetries, l'existència de les quals es pot demostrar sense conèixer el flux mostrant que

Per simplificar, anomenem «simetries» només les transformacions de segon tipus, i utilitzem el terme «reversibilitats» per al primer tipus.

Demostrem que les simetries que preserven la mesura d'un sistema diferencial n-dimensional preserven la seva divergència i les derivades de divergència al llarg de les solucions. A més, demostrem que les reversibilitats que preserven la mesura preserven les derivades de divergència d'ordre senar al llarg de les solucions, i que les derivades d'ordre parell es multipliquen per −1. Apliquem aquests resultats per trobar totes les simetries i reversibilitats que preserven l'àrea dels sistemes planars de Lotka-Volterra i Liènard.

Els fantasmes han fascinat la nostra imaginació durant molt de temps. Habiten mites i religions, apareixen a la literatura, inspiren cançons i pel·lícules i poblen gèneres sencers de narrativa. Es descriuen com a presències que persisteixen després que alguna cosa hagi desaparegut: rastres sense substància, influència sense materialització. No es veuen directament; es perceben els seus efectes. Tant si aquestes entitats existeixen com si no fora del folklore, les matemàtiques proporcionen un escenari precís en què els fantasmes apareixen innegablement.
Els fantasmes apareixen quan les estructures invariants desapareixen però la seva influència dinàmica persisteix. Després d'una bifurcació, els equilibris o les varietats invariants poden xocar, perdre estabilitat o deixar d'existir a l'espai de fase real. Tot i això, les trajectòries encara s'alenteixen, persisteixen a prop del conjunt desaparegut i presenten lleis d'escalat robustes en els seus temps transitoris. Allò que desapareix geomètricament continua organitzant el flux.
En aquesta xerrada, presento una visió unificada dels fantasmes com a restes d'objectes normalment hiperbòlics invariants. Les bifurcacions clàssiques de sella-node proporcionen l'exemple més senzill: l'anihilació dels equilibris deixa retards de coll d'ampolla. Però aquest mecanisme s'estén molt més enllà de les bifurcacions locals. Quan les corbes d'equilibris quasi neutres es descomponen a través de bifurcacions globals, les seves restes generen fenòmens de desacceleració qualitativament diferents, reflectint la naturalesa de dimensionalitat superior de l'estructura invariant subjacent.
El soroll intrínsec no destrueix aquests fantasmes. Al contrari, la dinàmica estocàstica revela la seva geometria encara més clarament, ja que les lleis d'escalat emergeixen de l'estructura hamiltoniana subjacent a les grans desviacions. A través de sistemes deterministes i estocàstics, bifurcacions locals i globals, emergeix un principi comú: el caràcter del transitori recorda la dimensió de l'objecte que ha desaparegut.
Una idea central és que els fantasmes no es poden entendre completament restringint l'atenció només al retrat de fase real. Les estructures invariants responsables de les transicions retardades no simplement desapareixen; persisteixen en un entorn geomètric estès on la seva influència continua sent dinàmicament significativa. Per veure un fantasma, cal mirar en un espai prou ric per contenir la seva continuació.
En aquest sentit, els fantasmes no són anomalies sinó generadors de transitoris universals, cosa que revela que les bifurcacions reorganitzen la geometria abans de reorganitzar la dinàmica. Acabaré la xerrada mostrant proves d'un fantasma real.

Les equacions diferencials periòdiques no autònomes més simples que poden tenir cicles límit són les equacions diferencials de Riccati i Abel.
Des de molts punts de vista, les equacions diferencials de Riccati són ben conegudes. Per exemple, el seu flux en el temps T és un mapa de Möbius, cosa que implica que poden tenir com a màxim dues solucions periòdiques aïllades (cicles límit).
El primer objectiu d'aquesta xerrada és demostrar que aquestes equacions encara presenten preguntes obertes interessants i, potser més important, que sorgeixen naturalment en l'estudi del nombre exacte de cicles límit per a diverses famílies d'equacions diferencials planars.
A tall d'il·lustració, descrivim alguns resultats sobre certes famílies de sistemes rígids a trossos [4]. També presentem nous resultats sobre el nombre exacte de cicles límit per a diverses famílies d'equacions de Riccati [3].
D'altra banda, les equacions d'Abel són molt més complicades i no és fàcil trobar criteris per tenir límits superiors per a algunes subfamílies. Il·lustrem aquests fets amb alguns resultats de [1,2].
El ponent rep el suport parcial de l'Agència Estatal d'Investigació, a través de la beca del projecte PID2022-136613NB-I00.
referències
[1] A. Gasull. Alguns problemes oberts en sistemes dinàmics de baixa dimensió. SeMA J., 78, 233–269. 2021.
[2] A. Gasull, A. Guillamon. Cicles límit per a equacions d'Abel generalitzades. Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg., 16(2), 3737–3745. 2006.
[3] A. Gasull, DD Novaes, J. Torregrosa. Problema de Coppel feble per a una classe d'equacions diferencials de Riccati. Preimpressió 2025.
[4] A. Gasull, J. Torregrosa. Cicles límit per a sistemes rígids a trossos amb no linealitats homogènies. En preparació.

Comprendre com l'estimulació cerebral interactua amb la dinàmica intrínseca de la xarxa és clau per dissenyar protocols de neuromodulació eficaços. Vam estudiar els efectes dels camps de corrent altern (CA) amb diferents amplituds i freqüències en talls corticals que mostraven oscil·lacions lentes espontànies. L'arrossegament va emergir dins d'una regió semblant a la llengua d'Arnold al voltant de la freqüència endògena. En canvi, l'estimulació de freqüència més alta lleugerament desafinada va induir un règim desincronitzat, cosa que suggereix una nova estratègia per interrompre la sincronia patològica.
L'addició d'un offset de corrent continu (CC) va ampliar el rang modulador, permetent l'arrossegament o la desincronització depenent de la polaritat de CC. Aquests resultats es van reproduir quantitativament mitjançant un model de neurona d'espigament, donant suport a un marc d'oscil·lador no lineal per predir respostes corticals als camps de CA. Les troballes proporcionen tant informació mecanística com un protocol d'estimulació robust amb potencial rellevància clínica.

Les xarxes neuronals fortament acoblades es consideren un model dinàmic plausible de l'escorça cerebral i poden explicar característiques de múltiples funcions cerebrals, com ara la memòria a curt termini o les oscil·lacions neuronals. Introduiré el motiu fonamental del sistema dinàmic que subjau al nostre pensament sobre la funció de la xarxa cortical, basat en una forta retroalimentació positiva i una retroalimentació negativa més lenta. Basant-me en aquest principi general, mostraré com es pot construir un model de xarxa biològica basat en un fort acoblament entre neurones excitadores i inhibidores per simular de prop dues funcions cerebrals molt diferents: la memòria de treball espacial i el son d'ona lenta. Finalment, presentaré la nostra última investigació sobre pacients amb encefalitis anti-NMDAR i persones amb esquizofrènia, on hem utilitzat aquest model de xarxa computacional per interpretar el seu rendiment de la memòria de treball i el seu EEG durant el son. Mostraré com afegir plasticitat sinàptica a curt termini al model permet interpretar tots aquests resultats empírics com una reducció de la potenciació sinàptica cortical a curt termini en aquests trastorns neuropsiquiàtrics.

Els filtres de freqüència neuronal tenen un paper crucial en la cognició, el comportament motor i la dinàmica del processament de la informació a les xarxes neuronals, tant en la salut com en la malaltia. Les propietats de filtratge de les neurones estan determinades per diversos factors, com ara les propietats intrínseques de les neurones, la seva geometria dendrítica i la distribució heterogènia dels corrents iònics. En les neurones piramidals CA1, els resultats experimentals mostren l'existència de dos mecanismes ressonants theta (∼ 4-10 Hz) diferents: (i) una ressonància perisomàtica mediada per un corrent de potassi de tipus M ( ) i amplificat per un corrent de sodi persistent ( ), i (ii) una ressonància dendrítica mediada per un corrent activat per hiperpolarització ().
Tot i que la propagació de les ressonàncies (d'amplitud) al llarg dels arbres dendrítics ja s'ha investigat anteriorment, no està clar com interactuen els dos tipus de ressonància observats experimentalment, biofísicament diferents i espacialment segregats, en presència d'una distribució heterogènia de corrents iònics i variacions del potencial de membrana. També es desconeix quines són les propietats d'interacció i propagació de les fasonàncies associades (ressonàncies de fase) generades per mecanismes similars i segregats. En aquest treball, abordem aquests problemes utilitzant les neurones piramidals CA1 com a estudi de cas. Utilitzem un model multicompartimental basat en el formalisme de Hodgkin-Huxley. El model inclou , i , distribuïdes espacialment i heterogèniament al llarg de les dendrites, i entrades oscil·latòries en diferents ubicacions. Els nostres resultats revelen que les variacions de voltatge al llarg del cable dendrític activen diferencialment els canals iònics, creant una gamma diversa de respostes ressonants i fasenants. L'estructura espacial de les dendrites proporciona a la neurona una flexibilitat notable per processar aquestes entrades i admetre una varietat d'escenaris d'interacció ressonant.

L'existència d'una simetria d'inversió temporal en sistemes lineals periòdics imposa una certa estructura a la matriu de monodromia. Per a sistemes planars, estudiem la geometria local dels seus límits d'estabilitat al voltant d'alguns valors crítics dels paràmetres. Expliquem com cada corba de les llengües d'Arnold està associada a l'anul·lació de certes entrades a la matriu de monodromia. Aquest és un treball conjunt amb Emilio Freire i Manuel Ordóñez.

Els models de població neuronal proporcionen un marc de baixa dimensió per descriure la dinàmica col·lectiva de grans conjunts neuronals. Malgrat la seva dimensionalitat reduïda, aquests models poden generar patrons d'activitat rics que abasten múltiples escales temporals. Aquestes dinàmiques multiescala sorgeixen naturalment de mecanismes subjacents, com ara interaccions sinàptiques, connectivitat recurrent i plasticitat dependent de l'activitat. En aquesta xerrada, presentaré una visió general de la dinàmica multiescala en models de massa neuronal. Il·lustraré com els diferents processos temporals donen lloc a patrons d'activitat estructurats com ara oscil·lacions, modulacions lentes i dinàmiques transitòries. A més, discutiré com la teoria de pertorbacions singulars geomètriques proporciona un marc matemàtic basat en principis per disseccionar i interpretar aquests fenòmens multiescala. Aquest enfocament ens permet separar subsistemes ràpids i lents, descobrir varietats invariants i analitzar sistemàticament els mecanismes subjacents a l'activitat complexa de la població. Juntes, aquestes perspectives ofereixen eines conceptuals i analítiques per comprendre com l'estructura multiescala configura la dinàmica de la població neuronal.

Eigen i Schuster van introduir els hipercicles com a sistemes de macromolècules acoblades de manera que cadascuna catalitza l'autoreplicació de la següent en una estructura de bucle tancat. Es van introduir com a possibles models d'evolució prebiòtica des d'elements simples fins a estructures més complexes. Posteriorment, els hipercicles s'han utilitzat per modelar molts fenòmens diferents. Aquí considerem una versió en temps discret d'un hipercicle introduït per Hofbauer i estudiem algunes característiques de la seva dinàmica. Mouent un paràmetre, podem estudiar la transició de la cooperació global a la degradació d'un membre al següent. Aquesta transició es reflecteix en una bifurcació transcrítica degenerada de Neimark-Sacker. Aquest va ser un treball conjunt amb Toni Guillamón, Julia Perona i Josep Sardanyés.

L'estudi de la funció de període es remunta com a mínim al 1673, quan Christiaan Huygens va observar que el rellotge de pèndol té una funció de període monòtona i, per tant, oscil·la amb un període més curt a mesura que la seva energia disminueix, és a dir, a mesura que la molla del rellotge es desenrotlla. Motivat per la necessitat d'una major precisió en la navegació marítima, va intentar construir un rellotge que presentés oscil·lacions realment isòcrones. La seva solució, el pèndol cicloidal, és potser l'exemple més antic conegut d'un sistema isòcron no lineal.

A la segona meitat del segle XX, molts investigadors van reprendre l'estudi de qüestions relacionades amb el comportament de la funció període. Loud, Urabe, Opial, Chow, Obi i Chicone, entre d'altres, van fer contribucions pioneres en aquesta direcció.

En aquesta xerrada, ens centrarem en els resultats relacionats amb la monotonia de la funció període. El nostre punt de partida serà un bell teorema de Freire, Gasull i Guillamon, que relaciona la derivada de la funció període amb l'existència d'un normalitzador per al camp vectorial X. Aquest és un dels pocs resultats que s'aplica a camps vectorials generals. A continuació, ens especialitzarem en el cas en què X és un camp vectorial potencial i revisarem els criteris de monotonia establerts per Schaaf, Chicone, Chow i Wang, i Rothe. Si el temps ho permet, esbossarem les idees principals de les seves demostracions, presentarem un lleuger refinament d'un d'aquests criteris i discutirem algunes aplicacions rellevants.

Quan s'adapten a entorns canviants, els sistemes vius es beneficien de modular la seva resposta a les condicions presents segons les seves experiències passades. En aquesta xerrada, parlaré d'un exemple específic d'aquest comportament dependent de l'experiència en un organisme model mínim, concretament el nematode C. elegans. Explicaré com la modelització matemàtica ens pot ajudar a validar els mecanismes moleculars utilitzats per aquest cuc per codificar tant el seu present com el seu passat recent. També mostraré com aquest nivell molecular de descripció es combina amb els nivells cel·lular i organismal per proporcionar una comprensió integrada de la codificació de l'experiència en un organisme model mínim.

La xarxa Brunel és un model de xarxa neuronal compost per neurones excitadores i inhibidores amb fuites d'integració i activació. Se sap que aquest model presenta quatre estats d'activitat diferents, que es poden caracteritzar principalment per la sincronia i la regularitat de l'activació neuronal.
L'anàlisi de dades topològiques (TDA) és un camp dins de la topologia algebraica i la geometria computacional que va sorgir a principis dels anys 2000, amb l'objectiu de descobrir l'estructura topològica de conjunts de dades complexos. La seva eina central és l'homologia persistent, un marc algebraic que analitza com les característiques topològiques, com ara cavitats o forats en diferents dimensions, apareixen i desapareixen a través d'escales.
L'objectiu d'aquesta xerrada és demostrar que l'homologia persistent pot ser útil per identificar la dinàmica de les xarxes neuronals. En aquest cas, apliquem l'homologia persistent per distingir els quatre estats d'activitat generats per la xarxa de Brunel. A més, utilitzem aquestes tècniques topològiques per detectar i caracteritzar els canvis dinàmics induïts per la plasticitat sinàptica, concretament la depressió a curt termini, a la xarxa de Brunel.