Aquest és un curs sobre Geometria Simplèctica i Topologia amb un ull cap a les aplicacions en Dinàmica Hamiltoniana. La primera part de l'assignatura de Geometria simplèctica clàssica estableix el llenguatge i les eines de la teoria, i se centra en sistemes hamiltonians integrables, accions grupals de Geometria de Poisson. A la part final del curs, la teoria de la intersecció de subvarietats lagrangianes s'aplica a les varietats invariants d'objectes invariants dels sistemes hamiltonians, com els punts d'equilibri, òrbites periòdiques, toris invariants, els sistemes de Poisson s'introdueixen de manera natural a la Mecànica Celestial. prop de la col·lisió o de les varietats infinites, i el principi d'acció mínima s'aplica àmpliament en diversos escenaris, com ara el billar, els punts fixos el·líptics de mapes que conserven l'àrea i els toris invariants definits positius.
El curs té un enfocament multidisciplinari i, per tant, serà d'interès tant per a Geòmetres (Diferencial i algebraic) com per a Dinamistes, així com per a estudiants de grau que treballin amb equacions en derivades parcials i Física Matemàtica. En particular, es potenciarà la interacció entre els estudiants graduats d'aquestes diferents àrees.

• Conceptes bàsics de Geometria Simplèctica.
• Accions de grup simplèctiques i hamiltonianes sobre una varietat simplèctica.
• Sistemes hamiltonians integrables. Teorema d'Arnold-Liouville.
• Múltiples tòriques. Teorema de Delzant.
• Introducció a la Geometria de Poisson.

Part II: Topologia simplèctica (Ignasi Mundet)

• Estructures gairebé complexes i corbes pseudoholomorfes.
• compacitat Gromov.
• No espremer simplectic.
• Homologia de Floer. La conjectura d'Arnold.
• Norma de Hofer sobre el grup de simplectomorfismes hamiltonians.

Part III: Aplicacions als sistemes dinàmics (Amadeu Delshams)

• Teoria de la intersecció de varietats invariants lagrangianes i configuració pertorbativa.
• Varietats invariants simplèctiques normalment hiperbòliques en sistemes hamiltonians, mapes de dispersió.
• Estructures de Poisson. Aplicacions a les varietats infinites i col·lisions en la mecànica celeste.
• Acció mínima en billar convex (espectre de longitud: es pot escoltar la forma d'un tambor?), òrbites periòdiques, càustiques, integrabilitat i no integrabilitat.
• Formes normals de Birkhoff.

Veure programa complet en pdf.

• A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry, Lecture Notes in Mathematics 1764, Springer-Verlag, 2001 i 2008 (impressió corregida).
• V. I. Arnold, Geometria i topologia simplectiques, J. Math. Phys. 41, 3307 (2000).
• B. Bramham i H. Hofer, First Steps Towards a Symplectic Dynamics, Surveys in Differential Geometry, Volum 17 (2012 127 – 178, també disponible http://arxiv.org/abs/1102.3723.
• V. Guillemin i S. Sternberg, Symplectic Techniques in Physics, Cambridge University Press, 1990.
  Dusa McDuff i D. Salamon,Introduction to Symplectic Topology, Oxford University Press, 1998. ISBN 0-19-850451-9.
• K. R. Meyer, G. R. Hall, D. Offin, Introducció als sistemes dinàmics hamiltonians i el problema dels cossos N. Segona edició. Ciències Matemàtiques Aplicades, 90. Springer, Nova York, 2009.
• L. Polterovich, The Geometry of the Group of Symplectic Diffeomorphisms, Lectures in Mathematics ETH Zurich, Birkhauser, Verlag, Basilea, 2001.
• K. F. Siburg, The Principle of Least Action in Geometry and Dynamics.Lecture Notes in Mathematics, 1844. Springer-Verlag, Berlín, 2004.