Integrals singulars
Integrals singulars
Data
Dia d'inici: Octubre 7, 2019.
L'últim dia: Gener 23, 2020.
Horari: Dilluns 11 h. a les 13 h. i dijous 11 h. a les 13 h. (pot haver-hi certa flexibilitat en cas d'incompatibilitats).
Ubicació
Sala A2 del Centre de Recerca Matemàtica (CRM)
Professors: Xavier Tolsa, ICREA-UAB (teoria), Yorgos Sakellaris, UAB (sessions problemàtica)
Descripció del curs:
Aquest és un curs bàsic i més aviat estàndard sobre integrals singulars, un tema d'importància central en les àrees d'anàlisi i PDE. El curs pot ser útil especialment per a analistes i persones de PDE, i també per a probabilistes.
Organitzador:
Xavier Tolsa, ICREA-UAB (teoria)
Data
Dia d'inici: Octubre 7, 2019.
L'últim dia: 23 de gener de 2020 (hi haurà 9 setmanes de curs abans de les vacances de Nadal, i dues setmanes addicionals el gener).
Horari: Dilluns 11 h. a les 13 h. i dijous 11 h. a les 13 h.
(però pot haver-hi certa flexibilitat en cas d'incompatibilitats).
Dijous, una de les hores serà una sessió de problemes, i les altres tres hores de la setmana es dedicaran a la teoria.
Ubicació
Sala A2 del Centre de Recerca Matemàtica (CRM)
Facultat de Ciències i Biociències de la UAB (Bellaterra)
Professors: Xavier Tolsa, ICREA-UAB (teoria), Yorgos Sakellaris, UAB (sessions problemàtica)
Descripció del curs:
Aquest és un curs bàsic i més aviat estàndard sobre integrals singulars, un tema d'importància central en les àrees d'anàlisi i PDE. El curs pot ser útil especialment per a analistes i persones de PDE, i també per a probabilistes.
Organitzador:
Xavier Tolsa, ICREA-UAB (teoria)
Programa
1. Revisió dels resultats bàsics.
– Cobrint teoremes.
– L'operador de Hardy-Littlewood i el teorema de diferenciació de Lebesgue.
– La interpolació de Riesz-Thorin i Marcinkiewitz.
2. Les transformacions de Hilbert i Riesz.
– La funció harmònica conjugada i el nucli conjugat de Poisson.
– El valor principal d'1/x i les transformades de Hilbert. Relació amb el nucli de Poisson conjugat.
- L2 acotació de la transformada de Hilbert.
– El Riesz es transforma. L2 limitació.
3. Integrals singulars amb un nucli de Calderon-Zygmund.
– Definicions. Integrals singulars truncades.
– La descomposició Calderon-Zygmund.
– Limitació feble (1,1) i forta (p,p).
– El mètode de les rotacions.
– La desigualtat de Cotlar.
- Lp i convergència puntual de les integrals singulars truncades.
– Mesures de duplicació i AD-regulars.
4.H1, BMO i mesures de Carleson.
- L'espai atòmic H1. Limitació de H1 a L1 dels operadors Calderon-Zygmund.
– BMO i la desigualtat de John-Nirenberg.
- Limitació de L1 als operadors de BMO de Calderon-Zygmund.
– Mesures de Carleson i teorema de Carleson.
5. El teorema T(1).
– Diferents versions del teorema T1.
– La base Haar.
– Demostració del teorema T1 i paraproductes.
– El teorema Tb.
Temes opcionals
En funció de l'interès del públic i del temps que queda, un dels
es podrien estudiar els tres temes següents.
6. Potencials de Riesz i teorema de Sobolev.
Els potencials de Riesz.
L-Lq limitació dels potencials de Riesz.
El teorema de Sobolev.
Els potencials de Bessel.
7. Teoria de Calderon-Zygmund per a mesures de no duplicació amb
creixement polinomial.
– Motivació: la transformada de Cauchy i el problema de Painlevé. El
hipòtesi de creixement lineal.
– Exemples de mesures de no duplicació.
– Cobrint teoremes i operadors màxims.
– Doblar cubs i boles.
– Descomposició Calderon-Zygmund.
– Feble (1,1) i Lp limitació dels operadors de Calderon-Zygmund.
– La desigualtat de Cotlar.
8. La transformada i curvatura de Cauchy.
– El nucli de Cauchy i la curvatura de Menger.
– La transformada de Cauchy sobre gràfics de Lipschitz.
– El teorema T1 de la transformada de Cauchy.
referències
Javier Duoandikoetxea, Anàlisi de Fourier, Text de Grau en Matemàtiques, vol 29, Societat Americana de Matemàtiques.
Loukas Grafakos. Anàlisi de Fourier clàssica i moderna. Pearson, Prentice-Hall.
Pertti Mattila. Geometria de conjunts i mesures en espais euclidians. Cambridge University Press.
Elias Stein. Anàlisi harmònica: mètodes de variables reals, ortogonalitat i integrals oscil·latòries. Princeton University Press.
Elias Stein. Integrals singulars i propietats de derivabilitat de les funcions. Princeton University Press.