Seeing Through Walls: María Ángeles García Ferrero al CRM

D'octubre a novembre de 2025, María Ángeles García Ferrero va ocupar la Càtedra d'Excel·lència CRM, col·laborant amb Joaquim Ortega-Cerdà sobre desigualtats de concentració i impartint un curs de BGSMath sobre el tema. La seva principal recerca se centra en el problema de Calderón, determinant la conductivitat elèctrica interna d'un medi a partir de mesures de superfície, que té aplicacions en imatges mèdiques per distingir tipus d'ictus i monitoritzar la funció cerebral.

A l'octubre i novembre de 2025, María Ángeles García Ferrero (ICMAT – Institut de Ciències Matemàtiques) va passar dos mesos al CRM com a Càtedra d'Excel·lència Maria de Maeztu, treballant en problemes que semblen gairebé màgia: com veure el que està amagat, com saber el que no es pot mesurar directament, com reconstruir l'invisible.

El seu camp principal són els problemes inversos, les matemàtiques per obtenir informació sobre un objecte desconegut a partir de dades relacionades. "En particular, treballo en el problema de Calderón, que intenta determinar la conductivitat elèctrica d'un medi a partir de mesures de voltatge i corrent al límit", explica. És el tipus de problema que només té sentit quan penses en el que permet. Si pots mesurar senyals elèctrics a la superfície d'un crani humà, pots cartografiar què passa dins del cervell? Si saps com flueix l'electricitat a través dels diferents teixits, pots distingir un ictus causat per una hemorràgia d'un causat per un bloqueig?

Va arribar al camp durant el seu primer postdoctorat. "Estava connectat amb el que havia fet anteriorment, però era una cosa diferent", diu. El canvi va obrir una nova porta, i el que la va fer sortir va ser l'aplicabilitat. "Les aplicacions d'aquests problemes, que en particular impliquen tècniques d'imatge mèdica, van ser una de les raons que em van fer seguir amb aquest tema. Per tant, m'interessa matemàticament, però la motivació del món real em dóna incentius addicionals per dedicar-m'hi".

Treballant amb Joaquim Ortega-Cerdà

No obstant això, al CRM, García Ferrero va treballar en una cosa diferent: les desigualtats de concentració per a funcions holomorfes, un tema que va desenvolupar a través de la seva col·laboració amb Joaquim Ortega-Cerdà (Universitat de Barcelona – CRM). «És un tema que vaig conèixer gràcies a ell», diu. «Sincerament, escoltar-lo parlar de qualsevol tema i no interessar-se és molt difícil.»

El treball que estan duent a terme és tant una continuació com una expansió. En un article anterior, van estudiar com de concentrats poden ser els polinomis quan es restringeixen a dominis del pla complex. Ara estan generalitzant aquest resultat, tot i que no totes les eines que funcionaven abans estan disponibles en el nou entorn. És el tipus de problema que requereix la construcció de nova maquinària.

Del 27 d'octubre al 5 de novembre, García Ferrero va impartir un curs de BGSMath precisament sobre aquest tema: desigualtats de concentració per a funcions holomorfes. Cinc sessions, cadascuna de dues hores de durada. El curs va tractar els principis d'incertesa, els espais de funcions holomorfes, la conjectura de Lieb sobre l'entropia de Wehrl generalitzada i l'estabilitat d'aquestes desigualtats. És un camp on les conjectures de finals dels anys setanta només s'han demostrat recentment i on encara estan sorgint resultats d'estabilitat quantitativa.

El problema Calderón

El 19 de novembre, García Ferrero va impartir un col·loqui a la Conferència de Cloenda Maria de Maeztu, una reunió de la comunitat investigadora del CRM que marca la finalització d'un programa de recerca estratègic de quatre anys. La distinció María de Maeztu, atorgada pel Ministeri de Ciència i Innovació d'Espanya, reconeix les unitats de recerca que demostren un lideratge científic internacional excepcional. Proporciona un finançament substancial i connecta el CRM amb l'aliança SOMMa dels principals centres de recerca i unitats d'excel·lència d'Espanya. És un dels màxims honors de la recerca espanyola.

La seva xerrada va tornar a la seva principal recerca: el problema de la conductivitat inversa, també conegut com a problema de Calderón. Anomenat així pel matemàtic argentí Alberto Calderón, que el va plantejar el 1980, el muntatge sembla enganyosament senzill. Si es pot mesurar el voltatge i el corrent a la superfície d'un objecte, es pot determinar la seva conductivitat elèctrica interna?

Pensa-hi com si fossin raigs X, però en comptes d'utilitzar radiació, estàs utilitzant mesures elèctriques. Apliques voltatge al límit, mesures el corrent resultant i intentes reconstruir què deu estar passant a dins. En imatges mèdiques, això es tradueix en tomografia d'impedància elèctrica (TEE). Diferents teixits condueixen l'electricitat de manera diferent: sang, os, teixit sa, teixit tumoral, sagnat i bloquejos. Si pots resoldre el problema de Calderón, pots controlar la funció cerebral o controlar l'activitat pulmonar dels nadons prematurs sense procediments invasius ni els riscos de les radiografies repetides.

«Crec que iniciatives com la Càtedra d'Excel·lència MdM són importants perquè de vegades busquem models a seguir en el nostre dia a dia. Aquesta oportunitat que he tingut de venir aquí i parlar amb estudiants, amb gent que visita el CRM i també les universitats de Barcelona, ​​crec que ajuda molt a donar visibilitat a aquest paper de les dones en les matemàtiques, però d'una manera accessible.»

La xerrada de García Ferrero va repassar les preguntes principals: Es pot determinar de manera única la conductivitat? Si és així, com d'estable és la reconstrucció? Un petit error de mesura condueix a un error catastròfic en la conductivitat recuperada? I es pot calcular realment? En una dimensió, el problema no té cap solució: conductivitats completament diferents poden produir mesures de contorn idèntiques. En dues dimensions, la singularitat es va demostrar el 2006 per a conductivitats limitades. En tres o més dimensions, l'avenç va arribar a la dècada del 1980 de la mà de John Sylvester i Gunther Uhlmann, però només per a conductivitats molt suaus.

La xerrada també va tractar què fa que el problema sigui matemàticament delicat. L'estabilitat és logarítmica, és a dir, que per millorar la precisió de la reconstrucció per un factor de 10, cal millorar la precisió de la mesura exponencialment. Això no és només una molèstia tècnica; és fonamental per a l'estructura del problema. Sota certes suposicions especials (per exemple, si la conductivitat és constant a trossos amb ubicacions de salt conegudes), l'estabilitat millora dràsticament. Però en el cas general, us quedeu amb l'estabilitat logarítmica.

El col·loqui va cobrir tot l'arc temàtic: els orígens del problema en la prospecció geofísica i les imatges mèdiques, el marc matemàtic dels mapes de Dirichlet a Neumann que codifiquen les mesures de límit, la construcció de solucions CGO que fan possible la reconstrucció i el treball en curs per gestionar perfils de conductivitat cada cop més realistes. Va ser tècnic però accessible, presentat a un públic de matemàtics de totes les especialitats. I va mostrar exactament allò que el programa María de Maeztu pretén donar suport: recerca de frontera amb profunditat matemàtica i impacte al món real.

Visibilitat del dia a dia

El programa de la Càtedra d'Excel·lència no només finança estades de recerca. Està dissenyat per posar les matemàtiques sèniors en contacte sostingut amb la comunitat del CRM. "Crec que és important perquè de vegades busquem models a seguir en la nostra vida quotidiana", diu García Ferrero. "Aquesta oportunitat que he tingut de venir aquí i parlar amb estudiants, amb gent que visita el CRM i també les universitats de Barcelona, ​​crec que ajuda molt a donar visibilitat al paper de les dones en les matemàtiques, però d'una manera accessible".

La visibilitat no és només veure algú en una conferència. Es tracta de proximitat. Es tracta de les converses que tenen lloc als passadissos, les preguntes que es fan després d'un curs, la presència que esdevé ordinària en lloc d'excepcional. Per a García Ferrero, la Càtedra també tenia un significat personal. “A nivell personal, és un honor pel centre que l'atorga, per la gent que conec que hi ha al darrere. És un reconeixement molt important. I a nivell encara més personal, l'oportunitat de tornar a la comunitat matemàtica de Barcelona, ​​on ja havia passat temps abans, és una oportunitat que no podia deixar passar.”

Actualment treballa a l'ICMAT de Madrid, és investigadora titular i va ser elegida membre del Comitè Executiu de la Societat Matemàtica Europea el 2024. Però durant dos mesos, la seva oficina va ser al CRM, la seva col·laboració va ser amb Ortega-Cerdà i el seu treball va ser sobre polinomis i desigualtats de concentració. El problema invers en què sempre treballa (com reconstruir l'ocult a partir del visible) va prendre una forma diferent. I la visibilitat que va proporcionar, simplement estant present, treballant en problemes en temps real, és exactament per a què es va dissenyar el programa.

Podeu veure l'entrevista completa amb María Ángeles García Ferrero al canal de YouTube del CRM: