Processos de Poisson: anàlisi estocàstica, mètode de Malliavin-Stein i geometria estocàstica

Els processos de Poisson són una classe important de processos estocàstics que apareixen en moltes branques de la teoria de la probabilitat. Tenen un paper central en la geometria estocàstica, on sovint s'interessen les estructures geomètriques aleatòries construïdes a partir dels processos de Poisson subjacents. Els exemples inclouen tessel·lacions aleatòries, gràfics geomètrics aleatoris, models booleans i polítops aleatoris.

A l'inici d'aquest curs s'introdueixen els processos de Poisson i les seves propietats bàsiques, així com alguns models de geometria estocàstica. A continuació, es considera el càlcul de Malliavin per a funcionals de Poisson (és a dir, variables aleatòries que depenen d'un procés de Poisson subjacent). Combinant el càlcul de Malliavin amb el mètode de Stein, s'obtenen límits generals per a l'aproximació normal de les funcionals de Poisson, en particular les desigualtats de Poincaré de segon ordre. Aquests resultats s'apliquen a diversos exemples de geometria estocàstica. A més, es deriven teoremes de límit centrals per a les anomenades funcionals estabilitzadores. Finalment, es discuteixen diversos exemples d'aproximació de processos de Poisson i Poisson.

En aquest curs, d'una banda, es desenvolupa una teoria general per a les funcionals de Poisson. D'altra banda, aquests resultats s'apliquen a models de geometria estocàstica. A part d'una sòlida formació en teoria de probabilitats, no s'assumeix cap coneixement previ.