Geometria de Poisson i els seus parents: un dia temàtic al CRM

La geometria de Poisson és una extensió natural de la geometria simplèctica que codifica la dinàmica hamiltoniana, les àlgebres de Lie i les foliacions singulars mitjançant camps bivectorials antisimètrics. En aquesta xerrada, exploraré una contrapart simètrica d'aquest marc introduint estructures de Poisson simètriques, definides com a parells que consisteixen en un camp bivectorial simètric i una connexió lliure de torsió que satisfà una condició de compatibilitat natural. Aquestes noves estructures geomètriques estenen la geometria (pseudo)riemanniana i descriuen distribucions localment geodèsicament invariants dotades d'una mètrica al llarg d'elles. En particular, inclouen foliacions totalment geodèsiques equipades amb una mètrica i una connexió compatible a cada fulla. Explicaré com la geometria de Poisson simètrica està estretament relacionada amb la mètrica de Patterson-Walker, una mètrica de signatura dividida al fibrat cotangent que és anàloga a la forma simplèctica canònica.
Finalment, presentaré diversos exemples d'estructures de Poisson simètriques, amb especial èmfasi en el cas lineal, que es troba en correspondència biunívoca amb àlgebres de Jacobi-Jordan de dimensió finita reals.

En aquesta xerrada, parlaré del treball conjunt recent amb Fabio Gironella sobre els homeomorfismes de Poisson, definits com a límits $C^0$ dels difeomorfismes de Poisson. El nostre objectiu és fer alguns primers passos cap al desenvolupament del que es podria anomenar "geometria $C^0$-Poisson", alhora que abordem diverses qüestions plantejades per Joksimović i Mărcuț. Tot i que passar a la categoria $C^0$ condueix a nous fenòmens de flexibilitat, certes propietats de rigidesa intrínseques persisteixen. Establim aquests resultats de rigidesa per a la foliació simplèctica i per a subvarietats coisotròpiques. Al mateix temps, la flexibilitat apareix a través de foliacions característiques i la noció d'homeomorfismes de Poisson "elevables". Curiosament, aquesta perspectiva també condueix a nous invariants per a objectes llisos (com ara subvarietats coisotròpiques) i invariants llisos (com ara subàlgebres de Lie) obtinguts a partir d'objectes no llisos. En les nostres demostracions, els "punts d'intersecció nets" tenen un paper important, una noció d'interès independent que introduïm i estudiem en el context de foliacions singulars i simplèctiques.

Això es basa en un treball conjunt amb M. del Hoyo. Primer presentarem un procediment general per diferenciar grupoides de Lie d'ordre superior i varietats simplicials. Es basa en quocientar la informació de les cocadenes amb ordre superior que s'anul·la en simplex degenerats. Aquesta construcció estén les clàssiques per a grups i grupoides, i inclou una aplicació de van Est sobre cocadenes infinitesimals. Finalment, expliquem un teorema d'isomorfisme de van Est generalitzat sota supòsits de connectivitat adequades i algunes aplicacions.

La qüestió de l'existència de foliacions simplèctiques de codimensió u en varietats va tenir un paper important en el desenvolupament de la teoria de la foliació: començant amb la foliació de Reeb sobre $S^3$ fins a la caracterització completa de Thurston en termes de la característica d'Euler. El següent pas després de l'exemple de Reeb va ser la foliació de Lawson sobre $S^5$ (i altres esferes de dimensió imparell, i totes elles al final). Una qüestió similar per a les foliacions simplèctiques està lluny de ser entesa. Mentre que es veu fàcilment que la de Reeb sobre $S^3$ funciona, la de Lawson sobre $S^5$ ja és molt desafiant. I tot i que el cas de $S^5$ va ser respost positivament per Mitsumatsu, la construcció és força tècnica i aparentment ad hoc. L'objectiu d'aquesta xerrada és explicar que les estructures complexes generalitzades (estables) es poden utilitzar per refer el cas de $S^5$ d'una manera, creiem, molt més conceptual i transparent. Això es basa en el treball conjunt amb Gil Cavalcanti.