Equacions diferencials parcials
Equacions diferencials parcials
Data
Primavera 2014
registre
-
Ubicació
Sala T1, Facultat de Matemàtiques, UB
El curs començarà amb una revisió moderna dels temes clau apresos en un primer curs de PDE. Es continuarà amb les tècniques essencials i més avançades basades en l'Anàlisi Funcional i el Càlcul de Variacions, incloent una introducció al mètode dels elements finits per calcular solucions. Els resultats teòrics s'explicaran en relació amb models concrets de Física, Finances, Processament d'Imatges i Biologia.
Data
Primavera 2014
registre
-
Ubicació
Sala T1, Facultat de Matemàtiques, UB
El curs començarà amb una revisió moderna dels temes clau apresos en un primer curs de PDE. Es continuarà amb les tècniques essencials i més avançades basades en l'Anàlisi Funcional i el Càlcul de Variacions, incloent una introducció al mètode dels elements finits per calcular solucions. Els resultats teòrics s'explicaran en relació amb models concrets de Física, Finances, Processament d'Imatges i Biologia.
Professors
Xavier Cabré ICREA (UPC)
Maria del Mar Gonzalez (UPC)
contingut
- Transport unidimensional, ones i difusió:
Modelització matemàtica, transport lineal de primer ordre, fórmula d’Alembert, reflex d’ones, energia, separació de variables, sèrie de Fourier, teoria de Sturm-Liouville. Aplicacions: equació de Schrödinger i equació de Black-Scholes en finances - L'equació de difusió en Rn:
Principi de màxim, teorema de la divergència i mètode de l'energia, solució fonamental en Rn, delta de Dirac, convolucions, caminades aleatòries, probabilitats i equació de difusió. Aplicacions: tractament d'imatges - Les equacions de Laplace i Poisson:
Funcions convexes i holomòrfiques, propietat del valor mitjà, principi màxim, potencial newtonià, funcions de Green, relació entre caminades aleatòries, probabilitats laplacianes (discretes) i de sortida, mètode de diferències finites. Aplicacions: fluids ideals - El càlcul de variacions i les tècniques espacials de Hilbert:
Principi de minimització de Dirichlet i mètode d'energia, principi de Dirichlet no local, projeccions ortogonals en espais de Hilbert, introducció als espais de Sobolev, mètode dels elements finits. Aplicacions: superfícies mínimes i tractament d'imatges - Equacions de primer ordre no lineals:
Equacions quasilineals de primer ordre, equació de Burgers, mètode de les característiques, introducció a les equacions de Hamilton-Jacobi. Aplicacions: dinàmica del trànsit, problemes de control òptim
Bibliografia
Bàsic:
- Strauss, Walter. Equacions en derivacions parcials: una introducció. Segona edició. Wiley, 2008.
- Pinchover, Yehuda; Rubinstein, Jacob. Introducció a les equacions en derivades parcials. Cambridge University Press, 2005.
Més avançat:
- Salsa, Sandro. Equacions diferencials parcials en acció, de la modelització a la teoria. Springer, 2008.
- Evans, Lawrence C. Equacions en derivades parcials. Segona edició, American Mathematical Society, 2010.
- Brezis, Haim. Anàlisi funcional, espais de Sobolev i equacions en derivades parcials. Universitext, Springer, 2011.