Un nou model matemàtic ajuda a millorar la filtració de contaminants competidors

Cada vegada que cremem combustible, pintem un cotxe o fins i tot produïm biogàs "verd", alliberem un còctel de contaminants a l'aire. Molts d'aquests productes químics, com ara els siloxans, el toluè o el decà, són nocius per al medi ambient i la salut humana. Cal capturar-los abans que s'escapin a l'atmosfera. Els models estàndard tracten la captura d'un sol contaminant, però aquí teniu el problema: aquests contaminants rarament arriben sols. Arriben junts, sovint lluitant pels mateixos punts limitats als filtres dissenyats per atrapar-los.

Imagineu-vos un tren ple de gom a gom a l'hora punta. Alguns passatgers són insistents i decidits (penseu en el "contaminant A"), mentre que d'altres són més passius ("contaminant B"). Quan el tren (la nostra columna de filtració) arriba, qui puja a bord? I qui és apartat? Aquesta és la pregunta que es fan els matemàtics. Marc Calvo-Schwarzwälder (Universitat Politècnica de Catalunya–CRM), Tim Myers (CRM), Alba Cabrera-Codony (Universitat de Girona), i Abel Valverde (UPC) es va proposar respondre. El seu estudi, publicat recentment a la revista del primer decil, Revista internacional de transferència de calor i massa, introdueix un nou model matemàtic que prediu com es comporten dos contaminants diferents quan competeixen per espai en un material filtrant.

Els models tradicionals se centren en un sol contaminant i funcionen bé en casos simples, però les coses es compliquen quan diversos contaminants competeixen pel mateix espai: un pot adherir-se més fàcilment o fins i tot desplaçar l'altre, cosa que fa que les prediccions precises siguin molt més difícils.

Muntatge experimental. Una mescla de gasos amb dos contaminants flueix a través d'una columna plena d'un material adsorbent, els contaminants competeixen pels llocs d'adsorció.

Deixa que les matemàtiques facin la feina

Per abordar això, l'equip va desenvolupar un model matemàtic que tracta la columna de filtració com un carrer de sentit únic: els contaminants hi entren, interactuen amb l'adsorbent i entre ells, i avancen lentament a través de la columna. El model captura els processos físics clau implicats: com es mouen i es propaguen els contaminants (advecció i difusió), com s'adhereixen i es desprenen del filtre (adsorció i desorció) i com competeixen pels mateixos punts (dinàmica de reemplaçament).

Una de les eines clau que van utilitzar els investigadors és la idea d'"ona viatgera". Aquest concepte, manllevat de la física matemàtica, permet a l'equip simplificar un sistema complex d'equacions diferencials parcials en un problema que implica una sola variable. "Després de les etapes inicials del procés", explica Tim Myers, "tenim una ona contaminant que es mou entre la regió de la columna que està plena de contaminant i una regió molt més endavant on el material adsorbent està net. Si triem un sistema de coordenades que viatgi amb aquesta ona, podem trobar una forma fixa".

«Matemàticament», continua, «això significa que podem reduir un sistema d'equacions diferencials parcials a un problema que implica una sola variable. Això és molt més fàcil de resoldre i ens permet fer progressos analítics. Efectivament, podem veure com tots els paràmetres del sistema afecten el procés d'adsorció i, per tant, com millorar o optimitzar el sistema».

Basant-se en els models clàssics de contaminant únic (desenvolupats recentment pel grup), van introduir una nova manera de rastrejar quanta superfície del filtre ocupa cada contaminant i quant espai queda lliure. A mesura que els contaminants viatgen a través de la columna, cadascun intenta adherir-se on pot. Tanmateix, com que competeixen pels mateixos llocs, un contaminant més fort pot empènyer un de més feble fora del filtre i ocupar el seu lloc.

El model utilitza regles simples de reacció química per descriure aquests comportaments, combinades amb equacions que rastregen el moviment dels contaminants. El resultat és una representació compacta però potent d'un procés molt desordenat. Per destacar les dinàmiques més influents, els investigadors van aplicar una formulació no dimensional: totes les quantitats es van reescala de manera que només es van conservar els efectes clau.

«Deixem que les matemàtiques facin la feina!», diu Myers. «El sentit comú pot ajudar a decidir què és important i què no, però preferim utilitzar tècniques de no dimensionalització. La mida dels coeficients ens indica quins termes importen. Si ignorem els termes petits, podem simplificar un model i tenir una idea dels errors esperats resultants de l'aproximació».

Aquest mètode no només ajuda a simplificar el model, sinó que també permet als investigadors estimar fins a quin punt es poden equivocar les aproximacions. A partir d'aquí, van aplicar tècniques com les aproximacions d'ona viatgera per trobar solucions analítiques, que són més transparents que les purament numèriques.

«Amb una solució analítica», afegeix Myers, «podem veure exactament com els paràmetres del sistema afecten un procés i, en conseqüència, identificar maneres de fer millores».

Proves del món real

Un bon model ha de coincidir amb la realitat. L'equip va validar les seves prediccions utilitzant dades experimentals amb contaminants reals, incloent-hi siloxans i toluè sobre carbó activat, aconseguint una precisió superior al 98% (R²> 0.98).

«La qualitat de les dades experimentals és fonamental», afirma Marc Calvo. «La validació del model, i per tant de les conclusions que se'n treuen, en depèn. I no n'hi ha prou amb un sol experiment per verificar els resultats. Per reduir el risc de mala interpretació, és important comparar les nostres solucions amb múltiples experiments, tal com vam fer en aquest treball».

Aquesta forta concordança suggereix que el model pot guiar millor el disseny de filtres i anticipar com es comporten les mescles més complexes. Però també es basa en simplificacions clau: només dos contaminants alhora, adhesions irreversibles i comportament de les espècies dominants. «Negligir la desorció ha estat una suposició crítica», reconeix Calvo. «Les simulacions numèriques indiquen que si s'inclou aquest mecanisme, l'estratègia de l'ona viatgera ja no és vàlida».

«Recentment hem pogut resoldre el problema també en el cas reversible», assenyala. «Però quan es consideren més de dos contaminants, la part de modelització esdevé significativament més complexa i el nombre de suposicions augmenta. Serà crucial tenir experiments que ens ajudin a entendre els processos i incorporar-los al model».

I si encara us pregunteu si les matemàtiques poden marcar la diferència, Myers comparteix aquesta anècdota: "Un grup d'enginyers va aplaudir una vegada quan vaig acabar de demostrar com un model matemàtic simple podia predir el creixement del gel en un avió. Quan vaig preguntar per què havien aplaudit, em van dir que ningú pensava que un matemàtic pogués resoldre el seu problema".

Cita:

Calvo-Schwarzwälder, M., Cabrera-Codony, A., Valverde, A., Myers, TG (2025). Un model analític per a l'adsorció en columna amb dos contaminants competidors. International Journal of Heat and Mass Transfer, 245, 124938. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2024.124938