Curs de teoria moderna dels semigrups de Cuntz

període: dimarts i dijous del 13 de febrer al 7 de març de 2024
Calendari: 11h a 13h
Febrer: dies 13, 15, 20, 22, 27 i 29
Març: dies 5 i 7

El semigrup de Cuntz és un poderós invariant per a les àlgebres C* introduït per Joachim Cuntz a finals dels anys setanta. Es construeix a partir dels anomenats elements positius d'una àlgebra C* d'una manera semblant a la construcció del semigrup de projecció, del qual prové el grup de Grothendieck. Tanmateix, la seva estructura és molt més complexa, ja que esdevé un semigrup abelià amb un ordre no algebraic. El seu ordre és la característica clau que va utilitzar A. Toms l'any 2008 per distingir dues àlgebres C* que d'altra manera eren iguals sota la llum de la teoria K, traces i molts altres invariants estables d'homotopia continus. Això va donar un gran impuls al programa de classificació en curs d'àlgebra C* nuclear simple, separable, llançat per G. A. Elliott. De fet, interpretat adequadament, el semigrup de Cuntz és un invariant classificador equivalent a l'anomenat invariant d'Elliott.

Amb el temps, ha demostrat ser un objecte essencial en la nostra comprensió de les propietats estructurals de les àlgebres C*. De fet, molts aspectes de la teoria es poden codificar en propietats algebraiques d'aquest semigrup. Per exemple, el fet que el seu ordre es pugui llegir a partir de funcionals adequats és un dels ingredients de l'anomenada conjectura de Toms-Winter, que prediu que tres condicions formalment diferents són de fet equivalents.

El semigrup Cuntz es troba en una categoria l'estructura de la qual s'ha analitzat amb molt de detall durant els darrers anys. Les construccions d'aquesta categoria s'han reflectit a les àlgebres C* i s'ha demostrat que el factor de semigrup de Cuntz conserva moltes d'aquestes construccions. Les tècniques introduïdes ens han permès obtenir una nova comprensió de la classe d'àlgebres C* de primer rang estable, resolent problemes oberts dins d'aquesta classe. Més recentment, també demostra ser un ingredient essencial per descriure productes creuats per determinades accions de grups. Aquests productes creuats són exemples importants que en molts casos poden satisfer propietats addicionals que els fan susceptibles de classificació. Per tant, aquesta és una àrea de recerca vibrant que continua expandint-se i produint nous resultats interessants.

Francesc Perera | Universitat Autònoma de Barcelona – Centre de Recerca Matemàtica

Professor associat del Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona i actual director de la revista. Publicacions Matemàtiques. Els seus interessos de recerca són l'àlgebra d'operadors, l'àlgebra no commutativa, la teoria de semigrups i la interacció entre aquestes; més concretament, està interessat en l'estructura de les àlgebres C* nuclears i la seva classificació, amb especial èmfasi en l'estudi d'invariants com la teoria K i el semigrup de Cuntz. A més, està implicat en les connexions d'àlgebres C* amb sistemes dinàmics i amb estructures algebraiques més generals, com les àlgebres de Steinberg i les àlgebres de camí de Leavitt.

És desitjable que els estudiants tinguin coneixements sobre aspectes d'anàlisi funcional i teoria d'anells. També és desitjable que els estudiants coneguin què és una àlgebra C*, així com la construcció del grup de Grothendieck.

• Teoria bàsica de les àlgebres C*
  • Radi espectral
  • Àlgebres de dimensions finites
  • Àlgebres commutatives i la representació de Gelfand
  • Espais Hilbert, la representació Gelfand-Naimark-Segal
• Projeccions, elements positius i unitats. \(\textbf{K}\)-Teoria 
  • Comparació de projeccions. El grup Grothendieck \(K_0\)
  • Comparació d'elements positius
  • Traces, funcions de dimensió
  • Les unitats. El grup \(K_1\)
• El programa Elliott
  • L'invariant d'Elliott i l'èxit del programa
  • Contraexemples de la conjectura original
  • La conjectura de Toms-Winter
• El semigrup Cuntz
  • Definició clàssica
  • Teorema de Cuntz sobre l'existència de quasitraces
  • No continuïtat del functor W(-), definició estable
• La categoria Cu
  • Definició de la categoria i relació amb C*-àlgebres
    • Contenció compacta
    • Axiomes (O1)-(O4)
    • La categoria Cu i el Teorema Coward-Elliott-Ivanescu
    • Axioma (O5)
    • Límits a la categoria
    • El functor de finalització: Cu(-) com a completació de W(-)
  • Exemples i aplicacions
    • Alguns exemples
    • Teorema de Brown-Perera-Toms per a àlgebres estables \(\mathcal Z\)
    • La relació del semigrup de Cuntz amb l'invariant d'Elliott
    • Gairebé desperforació i quasi divisibilitat: la relació amb la conjectura de Toms-Winter
  • El semigrup de Cuntz per a àlgebres C de primer rang estable.
    • Propietats addicionals: axiomes (O6) i (O6+), estructura inf-semilattica.
    • Les conjectures de Blackadar-Handelman
    • Glimm Halving
    • Realització de Graus
  • Més estructura categòrica
    • La \(\tau\)-construcció: semigrups de Cuntz bivariants
    • Estructura monoïdal tancada
    • Productes, coproductes i ultraproductes. Preservació d'aquestes estructures per a àlgebres C*.

[1] G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove, DS Scott, Reticles contínues
i dominis. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 93. Universitat de Cambridge
Press, Cambridge, 2003.
[2] GJ Murphy, C*-àlgebres i teoria d'operadors, Premsa Acadèmica, 1990.
[3] M. Rørdam, Classificació de les àlgebres C* nuclears. Enciclopèdia de Ciències Matemàtiques, 126.
Àlgebres d'operadors i geometria no commutativa, 7, 2002.
[4] M. Rørdam, F. Larsen, NJ Laustsen, Una introducció a la teoria K per a àlgebres C*, Londres
Mathematical Society Student Texts, 49. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.
[5] KR Strung, Una introducció a les àlgebres C* i al programa de classificació, Cursos Avançats
en Matemàtiques, Birkh¨auser/Springer, 2021.
[6] N. E. Wegge-Olsen, K-teoria i C*-àlgebres. Un enfocament amable. Oxford Science Publications,
1993.