22a Escola sobre Interaccions entre Sistemes Dinàmics i Equacions Diferencials Parcials (JISD 2026)

El model de la gota líquida

Rupert Frank

Universitat de Maximilià Ludwig de Munic

Resum: El model de gota líquida es va introduir originalment a la literatura de física nuclear el 1930 i recentment s'ha estudiat àmpliament utilitzant tècniques del càlcul de variacions, l'anàlisi geomètrica, l'EDP i la física matemàtica. El curs proporcionarà una introducció suau a aquest tema. Entre els temes que es tractaran hi ha una certa qüestió de tipus isoperimètric, que encara està oberta en general. També discutirem una aplicació del model de gota líquida en astrofísica, incloent-hi una demostració rigorosa d'una de les fases de la pasta nuclear.

Formes normals de Birkhoff, teoria KAM i renormalització: una aplicació a l'existència de dominis de rotació exòtics i anells de Herman per a mapes complexos quadràtics de Hénon

Raphaël Krikorian

École Polytechnique i CY Cergy Paris Université

abstracteUn mapa quadràtic d'Hénon és un automorfisme de de la forma Té una constant jacobiana igual a i té dos punts fixos. Si Si h es troba al cercle unitari (es diu que h és conservativa), aquests punts fixos poden ser tots dos el·líptics o tots dos hiperbòlics. En el cas el·líptic, sota una condició diofàntica addicional, una simple aplicació del teorema de Siegel mostra que h admet òrbites quasiperiòdiques amb dues freqüències al voltant dels seus punts fixos. Sorprenentment, en alguns casos hiperbòlics, Shigehiro Ushiki va observar numèricament el que semblen ser òrbites quasiperiòdiques pertanyents a alguns "dominis de rotació exòtics", tot i que no hi ha cap disc de Siegel associat als punts fixos. L'objectiu d'aquesta sèrie de conferències és desenvolupar un marc teòric que expliqui i demostri l'existència d'aquests "dominis de rotació exòtics". Aquest marc també s'aplica al cas dissipatiu () i permet demostrar l'existència d'anells atractius de Herman.

Les principals eines que utilitzarem són: tècniques de formes normals de Birkhoff, aproximació per camps vectorials, teoria KAM, renormalització.

Fluxos geomètrics i aplicacions

Alessandra Pluda

Universitat de Pisa

abstracte: Aquest curs ofereix una introducció als fluxos geomètrics intrínsecs i les seves aplicacions en diversos contextos matemàtics. Comença amb la derivació del flux de curvatura mitjana, des de l'àrea funcional fins a l'equació diferencial parcial associada que governa la seva dinàmica. A continuació, realitzarem una anàlisi exhaustiva del flux d'escurçament de corbes, examinant les seves propietats i implicacions en l'evolució geomètrica. El curs també tractarà el flux de xarxa i la seva relació amb els límits de gra. Finalment, presentarem el flux de curvatura mitjana inversa, destacant la seva aplicació original en la demostració de la desigualtat de Penrose de Riemann.

Singularitats CR i sistemes dinàmics

Laurent Stolovitch

CNRS i Université Côte d'Azur

Resum: En aquesta sèrie de conferències, revisarem alguns resultats recents obtinguts des del treball seminal de Moser i Webster sobre superfícies analítiques reals llises en  que són totalment reals a tot arreu excepte en un punt on l'espai tangent és una recta complexa. Aquest punt s'anomena singularitat de l'estructura de Cauchy-Riemann. Ens interessa la classificació holomòrfica i la geometria d'aquestes superfícies prop d'aquesta singularitat. Resulta que hi ha una connexió profunda amb la classificació holomòrfica d'alguns sistemes dinàmics holomòrfics prop d'un punt fix, de manera que els nous resultats per al segon proporcionen nous resultats per al primer. En particular, presentarem nous resultats recents sobre la teoria de tipus KAM per a difeomorfismes holomòrfics en un punt fix, la dinàmica parabòlica en dimensió 2 i la dinàmica holomòrfica integrable en dimensió superior.