És ben sabut que la cèlebre estimació de Gagliardo es pot veure com una extensió de la desigualtat isoperimètrica clàssica, tot i que Gagliardo no va obtenir la millor constant. En aquesta xerrada, explorarem algunes generalitzacions d'aquest resultat que impliquen pesos i discutirem com es pot estendre més enllà de dominis suaus. També discutirem un cert tipus de desigualtats de Sobolev ponderades, inspirades en un treball de David-Semmes.

En aquesta xerrada, revisaré resultats recents relacionats amb les propietats de limitació d'operadors integrals singulars multilineals associats amb nuclis homogenis aproximats. Es posarà èmfasi en el cas en què la restricció del nucli integral singular subjacent a l'esfera unitària pertany a l'espai L^q, on q>1. També discutiré l'ús d'espais funcionals menys estàndard en aquest sentit. La xerrada es basa en projectes conjunts amb G. Dosidis, L. Grafakos, D. He, P. Honzík, S. Lappas i B. Park.

Motivats pel problema clàssic de Pauli de determinar una funció $f$ (fins a la fase global) a partir de les magnituds $|f|,|\widehat{f}|$, investigarem una qüestió relacionada: donats els valors de $|f|$ i $|\widehat{f}|$ en seqüències discretes, quan és possible recuperar els valors de $|f|,|\widehat{f}|$ en tota la recta real?

Mitjançant l'ús de tècniques desenvolupades recentment en el context dels parells d'unicitat de Fourier, veurem diverses condicions necessàries i suficients perquè la propietat anterior es compleixi. Si el temps ho permet, també veurem com aquests resultats es generalitzen a dimensions superiors i tenen conseqüències directes sobre problemes de tipus recuperació per a equacions diferencials parcials.

Aquesta xerrada es basa en un treball conjunt amb Mateus Sousa

Discutirem dos teoremes de mostreig en l'espai invariant en desplaçament generat per la funció gaussiana bivariant.

Primer, considerem el problema de mostreig mòbil per a una col·lecció de línies paral·leles
Λ := {(x, y) ∈ R^2: (x, y) · ⃗v ∈ Γ}, Γ ⊂ R està separat.

Donem una condició necessària i suficient perquè Λ formi una trajectòria de mostreig mòbil per a V^2g(R^2) en termes de la densitat uniforme més baixa del conjunt Γ i el vector de direcció v. A diferència de la configuració estàndard de Paley-Wiener (vegeu, per exemple, [2]), els resultats són completament diferents per a línies amb pendents racionals o irracionals.

En segon lloc, per a l'espai V^2g(R^2), resolem els problemes de mostreig clàssics (és a dir, donem condicions necessàries i suficients per a una recuperació estable de qualsevol senyal a partir de mostres separades) per a una gran classe de xarxes distribuïdes al llarg de línies paral·leles amb pendent racional.

Finalment, utilitzant la relació entre el mostreig en espais invariants de desplaçament i els sistemes de Gabor generats per gaussianes bivariants, establim nous exemples de referències de Gabor amb xarxes no complexes que tenen un volum proper al crític.

referències
[1] José Luis Romero, Alexander Ulanovskii, Ilya Zlotnikov, Mostreig a l'espai invariant de desplaçament generat per la funció gaussiana bivariant, Journal of Functional Analysis, volum 287, número 9, 110600, (2024) DOI: 10.1016/j.jfa.2024.110600
[2] Alexander Rashkovskii, Alexander Ulanovskii, Ilya Zlotnikov, Sobre el mostreig mòbil bidimensional, Anàlisi harmònica aplicada i computacional, volum 2, 62-1, (23) DOI: 2023/j.acha.10.1016.

Un famós resultat de Delort (1991) estableix el fenomen de concentració-cancel·lació de les equacions d'Euler 2D, modelant la dinàmica d'un fluid ideal, sempre que la funció màxima de vorticitat corresponent presenti un decaïment logarítmic d'ordre 1/2. D'altra banda, DiPerna i Majda (1987) van mostrar que si la suposició de decaïment logarítmic és estrictament més gran que 1, la conservació de l'energia es compleix. Aleshores, l'anomenat problema de la bretxa de DiPerna-Majda pregunta: concentració-cancel·lació vs. conservació de l'energia en el rang logarítmic restant (1/2,1]?

En aquesta xerrada, després de revisar contribucions anteriors al problema de la bretxa de DiPerna-Majda, presentaré un nou enfocament a aquesta qüestió basat en tècniques modernes d'anàlisi harmònica: la dispersió. La xerrada serà independent i no caldran requisits previs addicionals. 

Sigui ${{\bf R}_{\mathbb S^{d-1}}}(p\to q)$ la millor constant per a la desigualtat de restricció de Fourier $L^p(\R^d)\to L^q(\mathbb S^{d-1})$ a l'esfera unitària $\mathbb S^{d-1}$, i sigui ${\bf R}_{\mathbb S^{d-1}} (p\to q;\textup{rad})$ la constant corresponent per a les funcions radials. Investiguem el comportament asimptòtic de les normes d'operador ${{\bf R}_{\mathbb S^{d-1}}}(p\to q)$ i ${\bf R}_{\mathbb S^{d-1}} (p\to q;\textup{rad})$ a mesura que la dimensió $d$ tendeix a infinit. A més, establim una desigualtat de Stein-Tomas per a extrems sense dimensió per a funcions radials, juntament amb l'estimació corresponent per a funcions generals que demostrem amb una dependència $O(d^{1/2})$. Els nostres mètodes es basen en un refinament uniforme bilateral de l'estimació asimptòtica $L^p$ de Stempak per a les funcions de Bessel. Aquesta xerrada es basa en el treball conjunt amb B{\l}a{\.z}ej Wr{\'o}bel.