Si $n$ "corredors" es mouen al llarg d'un cercle de longitud u, tots començant a l'origen, cadascun amb la seva pròpia velocitat (constant), aleshores hi ha un temps en què tots es troben a una distància d'almenys $1/(n+1)$ de l'origen.

En la seva versió desplaçada (sLRC), es permet que els corredors comencin cadascun en una posició diferent i se suposa que les velocitats són diferents (ja que, en cas contrari, donar a tots els corredors la mateixa velocitat produeix un contraexemple fàcil). La conjectura s'ha abordat des de diferents perspectives i es demostra fins a $n=6$ a la versió original (Barajas i Serra 2008) i $n=3$ a la versió desplaçada (Cslovjecsek et al. 2022). Aquesta última es basa en una reformulació de LRC i sLRC com a preguntes sobre els radis de cobertura de certs zonòtops, una connexió desenvolupada per Malikiosis i Schymura (2017).

En aquesta xerrada revisaré la conjectura i la seva relació amb els zonòtops i els radis de cobertura, i mostraré que, tant en la versió original com en la desplaçada, si la conjectura es compleix per a velocitats enteres que sumen com a màxim $n^{2n}$, aleshores es compleix per a velocitats arbitràries. Això millora un resultat recent de Terence Tao, que va demostrar el mateix amb un límit de $n^{Cn^2}$. A continuació, utilitzem aquest límit per demostrar computacionalment la versió desplaçada sLRC de la conjectura en el primer cas obert, $n=4$. La primera part és conjunta amb Malikiosis i Shymura, i la segona part amb Alcántara i Criado.

El vector h d'un matroide és un invariant important que ha estat objecte d'un estudi intens en els darrers anys. Una conjectura encara oberta de Stanley postula que el vector h d'un matroide és una seqüència O pura, és a dir, que es pot obtenir comptant cares d'un multicomplex pur. Merino va establir la conjectura de Stanley per al cas de matroides cogràfics mitjançant el xip-firing en grafs i la noció d'una funció G-parking. Inspirats en aquestes construccions, introduïm la noció d'un "sistema de cicles" per a un matroide M: una família de circuits de M amb propietats de superposició que imiten conjunts de tall en un graf. Una elecció de sistema de cicles sobre M defineix una col·lecció de seqüències enteres que anomenem "funcions de coparking", que mostrem que estan en bijecció amb el conjunt de bases de M. Això condueix a una demostració de la conjectura de Stanley per al cas de matroides que admeten sistemes de cicles, que, per exemple, inclouen matroides gràfics de cons, així com grafs lliures K_{3,3}-menors. Treball conjunt amb Scott Corry, Solis McClain, David Perkinson i Lixing Yi.

Un polítop s'anomena indecomposable si no es pot expressar (de manera no trivial) com una suma de Minkowski d'altres polítops. No és fàcil certificar la indecomposabilitat d'un polítop, i s'han desenvolupat diversos criteris amb força creixent des que Gale va introduir el concepte el 1954. Presentaré un nou enfocament per demostrar la indecomposabilitat dels polítops mitjançant el gràfic (ampliat) de dependències d'aresta que engloba la majoria de les tècniques anteriors. La nostra primera aplicació és proporcionar una nova família de permutaedres deformats indecomposables que no siguin polítops matroides. El problema de caracteritzar els raigs extrems del con submodular, és a dir, permutaedres deformats indecomposables, es remunta a Edmonds el 1970 i és completament obert. Aquest és un treball conjunt amb Germain Poullot.

La convexitat direccional és una noció refinada de convexitat en què la convexitat només es requereix al llarg de direccions específiques. Aquest concepte sorgeix naturalment en la teoria del càlcul multivariant de variacions i té aplicacions interessants en criptografia. Tanmateix, la construcció de closques convexes direccionals continua sent un problema molt difícil. En els pocs casos en què es coneixen construccions explícites, les closques resultants presenten estructures combinatòries riques, de vegades polièdriques, altres vegades semialgebraiques. En aquesta xerrada, revisaré els resultats i algoritmes clau relacionats amb la convexitat direccional i presentaré els desenvolupaments recents d'un treball conjunt amb Bogdan Raita.

En aquesta xerrada explorarem l'operació fonamental de descompondre un polítop en una suma de Minkowski de dos altres polítops. Aquesta idea ens porta a estudiar el conjunt de tots els sumands de Minkowski possibles, que forma un con polièdric. Examinem mètodes computacionals per construir aquests cons, tècniques per comprendre la seva estructura facial i aplicacions a polítops definits combinatòriament. Aquesta xerrada serà una revisió del camp alhora que destacarà preguntes obertes per a futures investigacions.

Motivats per una conjectura recent que el polinomi de cadena de qualsevol xarxa geomètrica només té zeros reals, estudiem la família de xarxes d'enllaç de gràfics bipartits complets $ K_{m,n}$.

La xarxa d'enllaços $ \mathcal L_G$ d'un graf $G$ és una xarxa geomètrica els elements de la qual són particions de vèrtexs de $G$ en què cada bloc indueix un subgraf connectat.

El polinomi en cadena de $ \mathcal L_G$ coincideix amb el $f$-polinomi del complex d'ordre $\Delta(\mathcal L_G)$ de $\mathcal L_G$.

Com que l'arrelament real del polinomi $h$ implica el del polinomi $f$, ens centrem en el primer, per al qual hi ha disponible una gamma més àmplia de tècniques.

En particular, explotem el fet que cada xarxa geomètrica admet un etiquetatge $R$ que, al seu torn, proporciona una interpretació combinatòria del polinomi $h$ com la distribució de descensos sobre totes les cadenes maximals.

Apliquem el marc anterior a grafs bipartits complets $ K_{2,n} $, derivant una fórmula sorprenentment simple per al polinomi $ h $, que inclou polinomis eulerians i bicolors.

A continuació, discutim com aquests resultats s'estenen al cas de $ K_{3,n} $ amb l'objectiu d'obtenir informació sobre possibles generalitzacions a la família de tots els grafs bipartits complets $K_{m,n}$.

Aquest és un treball conjunt en curs amb Katerina Kalampogia.

A. Genevois (2022) va introduir i investigar els grafs mediangles com una generalització comuna dels grafs medians (1-sekeleta de complexos cúbics CAT(0)) i els grafs de Coxeter (grafs de Cayley de grups de Coxeter) i va estudiar els grups que hi actuaven. Es va preguntar si els grafs mediangles poden estar dotats de l'estructura d'un complex cel·lular contràctil. En un treball conjunt amb K. Knauer, responem afirmativament demostrant que els grafs mediangles (bipartits) són grafs topals de complexos finits de matroides orientats (COM). També mostrem que els matroides orientats (OM) que constitueixen les cel·les dels COM que sorgeixen dels grafs mediangles són exactament els OM simplicials.

A la xerrada, intentaré explicar aquest resultat i descriure'n la demostració.

El graf base d'un matroide és el graf els vèrtexs del qual són les bases del matroide i les arestes del qual són els parells {A,B} de bases que difereixen per un intercanvi elemental (és a dir, la diferència simètrica d'A i B és de mida 2). Els grafs base dels matroides han estat caracteritzats per Maurer (1973) com a grafs que satisfan algunes condicions locals i condicions mètriques globals. En aquesta xerrada, presentarem el resultat de Maurer i explicarem com podem substituir la condició mètrica global per una condició topològica.

(basat en el treball conjunt amb Victor Chepoi i Damian Osajda)

La configuració d'un matroide M és la xarxa abstracta de plans cíclics (plans que són unions de circuits) on registrem la mida i el rang de cada pla cíclic, però no el conjunt. A partir de la configuració de M, es poden calcular invariants matroides coneguts com el polinomi de Tutte i el G-invariant més fort. Mostrem com, donat un matroide M que satisfà una condició que implica parells no modulars de plans cíclics, produir un matroide M' que no és isomorf a M però que té la mateixa configuració que M. A continuació, observem aquesta construcció dins dels matroides de camí de xarxa i mostrem que es pot aplicar a tots els LPM excepte a aquells que són matroides transversals fonamentals. Per tant, la majoria dels LPM tenen una coincidència equivalent a Tutte (que en realitat no és un LPM). També introduirem la noció de matroide de configuració única (és a dir, un matroide determinat únicament, fins a isomorfisme, per la seva configuració) i comentarem alguns resultats sobre els matroides de configuració única.

Els polítops de base matroide són les envolupes convexes dels vectors indicadors de les bases d'un matroide. Malgrat un interès considerable, històricament se sabia molt poc sobre les triangulacions de polítops matroides. Descriuré la primera triangulació agradable d'un polítop matroide arbitrari. Més precisament, descriuré la primera triangulació unimodular regular d'un polítop matroide i explicaré com estendre aquesta triangulació a tots els permutàedres generalitzats integrals. Aquest és un treball conjunt amb Gaku Liu.

La famosa xarxa de Tamari és només una de les moltes xarxes, el diagrama de Hasse de les quals és el gràfic de l'associaedre. Altres xarxes similars inclouen xarxes d'acordió per a diferents triangulacions de referència. Introduïm una orientació al gràfic d'aresta del permutoassociaedre de Kapranov, de manera que el conjunt resultant tingués xarxes d'acordió de totes les triangulacions de referència com a subconjunts (conjecturalment, el conjunt gran és una xarxa en si mateixa). A continuació, introduïm dues orientacions aparentment diferents però isomòrfiques per al permutopermutaedre, i així arribem a la noció d'associaedre.

Les pseudotriangulacions punxegudes (ppt) d'una configuració de punt en posició general s'han estudiat durant molts anys. Existeix un polítop (el polítop ppt) els vèrtexs del qual corresponen als ppt en una configuració de punt general fixa. Quan la configuració del punt forma un polígon convex, el polítop ppt és una realització de l'associaedre. Encara no es coneix un anàleg del polítop ppt per a configuracions de punt arbitràries.

En treballs recents, interpretem els ppt en termes de descomposicions d'objectes d'una categoria triangulada en peces més simples. Aquest punt de vista ofereix dos avantatges.
(1) Naturalment, ampliem la noció de ppts a configuracions de punts arbitràries, i les anomenem "ppts ondulats".
(2) Entenem el comportament del complex simplicial associat de ppts sota la deformació del conjunt de punts.

A més, motivats per aquesta interpretació, construïm un anàleg del polítop ppt (anomenat wigglyhedron) per a configuracions de punts en què tots els punts són colineals. Aquesta xerrada es basa en el treball conjunt amb Anand Deopurkar, Anthony Licata i Vincent Pilaud.