Hong Wang: Sobre la resolució de Kakeya i el repensament de la restricció

La Conferència sobre Tendències Modernes en l'Anàlisi de Fourier, celebrat aquest juny al Centre de Recerca Matemàtica (CRM), va reunir més d'un centenar d'investigadors d'arreu del món per explorar els avenços en l'anàlisi harmònica. Entre els ponents convidats hi havia Hong Wang, professora associada del Courant Institute of Mathematical Sciences de la NYU, que va presentar una conferència en què esbossava un nou enfocament geomètric per a la conjectura de restricció de Stein, de llarga data. La seva xerrada va seguir de prop un assoliment històric: La recent resolució de Wang, amb Joshua Zahl, de la cèlebre conjectura tridimensional de Kakeya, un dels problemes oberts més difícils del camp.

En la seva xerrada, Wang va presentar un treball conjunt amb el matemàtic Shukun Wu, centrat en un nou mètode geomètric per abordar el problema de restricció. En el seu nucli hi ha una conjectura enganyosament simple: si una funció té la seva transformada de Fourier recolzada en l'esfera unitària en , llavors és -la norma ha de ser controlada per la -norma de la seva transformada de Fourier, per a Aquesta conjectura ha guiat dècades de recerca en anàlisi de Fourier.

En lloc d'atacar-ho directament, Wang i Wu proposen estudiar-ho a través d'una lent geomètrica: formulen una conjectura sobre quantes vegades es poden intersectar tubs prims a l'espai. «És una qüestió purament geomètrica sobre incidències», va explicar Wang. «I si la conjectura es compleix, implica la de Stein». Demostren el cas bidimensional i obtenen noves estimacions de restricció en tres dimensions per a , que al seu torn condueixen a un límit conegut en el problema de Kakeya conegut com a estimació del raspall de cabells de Wolff.

Resolent Kakeya en 3D

Aquest vincle entre la restricció i Kakeya no és incidental. Wang és un dels dos autors, juntament amb Joshua Zahl (Universitat de la Columbia Britànica), darrere de la demostració del 2025 de la conjectura tridimensional de Kakeya, una fita que havia escapat als matemàtics durant més de cinquanta anys.

La conjectura, inspirada en una pregunta plantejada pel matemàtic japonès Sōichi Kakeya el 1917, pregunta si una agulla (o segment de línia) que gira en totes direccions pot escombrar un volum arbitràriament petit. Wang i Zahl van demostrar que en un espai tridimensional, qualsevol conjunt de Kakeya d'aquest tipus ha de tenir una dimensió de Hausdorff i Minkowski exactament 3. És a dir: pot ser prim, però no pot ser petit.

La seva demostració segueix una estratègia per capes: primer resolen el problema per a una classe específica d'objectes anomenats "conjunts enganxosos", i després amplien el resultat a casos més generals. Una idea clau va sorgir d'un concepte que va transformar l'enfocament de Wang: "Pots trobar una estructura fractal en qualsevol conjunt si mires les escales correctes", va explicar. Aquesta idea, desenvolupada originalment per Katz i Zahl, la va ajudar a repensar com extreure ordre del caos geomètric aparent.

Més que només tècnica

L'interès de Wang pel problema de les restriccions va començar fa més d'una dècada. "De fet, em vaig interessar per la conjectura de restricció de Stein quan vaig llegir un article de Luis Vega (BCAM)," va recordar. Aquella primera exposició va establir les bases de la seva línia de recerca actual, que combina l'anàlisi harmònica profunda amb la comprensió geomètrica.

«És un llarg viatge», va dir. «De vegades treballes durant anys i no resols el problema. Però les eines, la intuïció, el que vas construint pel camí, tot acaba sent útil». També va parlar de la dificultat de saber quan perseverar o marxar: «Has de ser honest amb tu mateix. Ni massa optimista, ni massa pessimista. Aquest procés, crec, és molt gratificant».

La seva obra està profundament lligada a la geometria real, no només en teoria sinó també en essència: "Si trasllades el problema a un espai complex, l'afirmació esdevé falsa. Necessites eines que realment distingeixin el real del complex. Moltes tècniques estàndard no ho fan".

Conferències, comunitat i col·laboració

Més enllà de les matemàtiques en si, Wang va destacar el valor de trobades com la conferència CRM. “Tens una idea del que està passant al camp, tens converses espontànies, coneixes possibles col·laboradors; això és una part fonamental de fer matemàtiques”, va dir.

Amb les seves contribucions recents, Wang ha tingut un impacte significatiu en l'anàlisi harmònica i la teoria de la mesura geomètrica. El seu treball combina la profunditat tècnica amb una clara intuïció geomètrica, oferint noves eines i perspectives per a problemes de llarga durada. Com va assenyalar Nets Katz, la solució a la conjectura de Kakeya marca un assoliment únic en un segle, en què Wang ha jugat un paper central.

Podeu veure l'entrevista completa al canal de YouTube de CRM.