Conferència sobre Estructures d'Homotopia a Barcelona (HoStBCN)

Estudiem classes de Bousfield homològiques i cohomològiques en localitzacions de Bousfield de categories triangulades tensorialment generades de manera rígida i compacta a través de l'espectre homològic. Quan s'aplica a la teoria d'homotopia cromàtica, el nostre treball dóna una resposta negativa a una pregunta de Wolcott.

A la dècada del 1980, després d'haver introduït la cohomologia d'intersecció, M. Goresky i R. MacPherson van proposar diversos problemes i conjectures sobre els fonaments homotòpics d'aquesta teoria cohomològica. Aquesta millora homotòpica tindrà algunes aplicacions potencials a l'estudi dels sospaces singulars en geometria.
En aquesta xerrada faré un repàs d'aquesta millora basada en un enfocament simplicial de la cohomologia d'intersecció i en la teoria d'homotopia estratificada. En particular, discutiré un enfocament "motívic" del tema desenvolupat en col·laboració amb S. Douteau.

Per a una varietat $n$ tancada i topològica $M$, sigui $E(M)$ el seu espai d'equivalències d'autohomotopia apuntada. A [Hambleton-Kreck, 2004] es va establir una trena de seqüències exactes entrellaçades per obtenir nova informació sobre $Aut(M):=\pi_0(E(M))$, assumint que $M$ és una varietat $4$ tancada i orientada i que les autoequivalències preserven l'orientació. En aquell moment, els autors van veure clar que havia d'existir una trena similar per a varietats de dimensions superiors.

En aquest projecte, duem a terme els detalls d'aquesta extensió (a nivell d'espai) i construïm un quadrat cartesià d'homotopia (altament) que relaciona l'espai d'autoequivalències d'homotopia de $M$ amb un model espacial de bucle infinit per a la teoria de bordisme associada del tipus $k$ normal de $M$.

Això condueix a una explicació conceptual de l'existència de la trena de Hambleton-Kreck en l'entorn de la varietat $4$, i a una generalització àmplia d'aquesta eina per incloure informació sobre els grups d'homotopia superior $\pi_k(E(M))$ i variants relacionades.

Aquest és un treball conjunt amb Kursat Sozer (McMaster) i Robin Sroka (Muenster).

Baez i Dolan van introduir a finals dels anys 90 la noció de cardinalitat grupoide dels grupoides finits, i més generalment dels espais π-finits. Anàlogament a la característica d'Euler dels espais finits, que es comporta "additivament" sota
colímits finits (homotopia), la cardinalitat grupoide dels espais π-finits es comporta multiplicativament sota límits finits (homotopia).
Tanmateix, mentre que la característica d'Euler dels espais finits es pot veure com l'ombra d'un invariant superior (un mapa d'espais des de l'espai d'espais finits fins a l'espai algebraic de la K-teoria d'espais finits, també conegut com l'espai de la A-teoria d'un punt), la cardinalitat grupoide de Baez i Dolan no ha estat "homotopicada".
En aquesta xerrada, proposaré una definició de cardinalitat grupoide superior, que seria a la cardinalitat grupoide clàssica el que el refinament a un punt en l'espai de la teoria A d'un punt és a les característiques clàssiques d'Euler, i mostraré que aquesta definició, tot i que a priori és "superior", en realitat produeix un objecte discret: no hi ha una cardinalitat grupoide superior (i explicaré com això és relativament "robust", és a dir, no depèn tan de la definició precisa de cardinalitat grupoide superior).
Si el temps ho permet, discutiré algunes especulacions i conjectures sobre la combinació de cardinalitat grupoide superior i característiques d'Euler en un sol objecte.

Les construccions de Loday equivariants són un mitjà per proporcionar interpretacions geomètriques de teories d'homologia equivariants com ara l'homologia topològica Real Hochschild. Per a la família de grups dièdrics, Angelini-Knoll, Gerhardt i Hill van definir grups d'homologia Real D2m-Hochschild per a anells Eσ discrets. En treball conjunt amb Ayelet Lindenstrauss i Foling Zou, mostrem que aquests tenen una interpretació com els grups d'homotopia d'una construcció de Loday equivariant on considerem una acció D2m sobre l'esquelet 1 d'un 2m-gon regular. Per això, necessitem generalitzar les construccions de Loday equivariants de manera que només tinguin en compte els subgrups d'isotropia del conjunt G-simplicial. Si el temps ho permet, també presentarem una família d'exemples relacionats amb les accions de grups simètrics sobre permutoedres.

L'espectre de Balmer d'espectres G racionals finits és un espai X(G) de classes de conjugació de subgrups. L'espai X(G) és una unió disjunta de blocs V(G,H) de subgrups dominats per H, i hi ha una llista creixent de grups per als quals això es coneix explícitament (per exemple, 18 blocs quan G=SU(3)). Hi ha molts casos en què se sap que el model algebraic per a espectres G racionals és una categoria de feixos sobre X(G). La xerrada descriurà la forma general de V(G,H) i la farà explícita en alguns exemples. Els models algebraics també es descriuran en diversos casos.