Conferència sobre Estructures d'Homotopia a Barcelona (HoStBCN)

Donades dues varietats orientades tancades connectades i de la mateixa dimensió, el conjunt de graus de mapatge es defineix per

Una qüestió central és determinar quins subconjunts d'enters (que contenen necessàriament )) poden sorgir com a conjunts de graus de mapatge.

En aquesta xerrada, donem una resposta completa en el cas finit: demostrem que tot subconjunt finit de , que conté , es pot realitzar com el conjunt de graus de correspondència de varietats adequades i Tot i que encara no hi ha una classificació completa en el cas infinit, presentem els progressos recents i mostrem diverses famílies de conjunts infinits que també es poden realitzar d'aquesta manera.

La correspondència clàssica de Dold-Kan i les seves variacions s'estudien normalment des d'un punt de vista purament combinatori. En aquesta xerrada, expliquem com els productes simètrics proporcionen un hàbitat natural per entendre geomètricament diversos aspectes de les correspondències de tipus Dold-Kan.

Els multicomplexos es poden veure com a deformacions de complexos des d'un punt de vista operístic. A cada multicomplex, se li pot associar el seu complex total, que és un complex filtrat i, per tant, dóna lloc a una seqüència espectral. L'objectiu d'aquesta presentació és proporcionar una visió general dels resultats obtinguts amb Sarah Whitehouse (i altres col·laboradors, com ara J. Cirici, X. Fu, A. Guan, DE Santander i S. Ziegenhagen) pel que fa a les teories d'homotopia dels multicomplexos, que impliquen una pàgina determinada de la seqüència espectral associada. També presentarem algunes aplicacions dels multicomplexos a la geometria complexa i a les teories d'homologia dels grafs dirigits, un treball en curs amb E. Roff.

Aquest és un treball conjunt amb W. Chacholski i W. Pitsch. Per a qualsevol functor coaugmentat es poden associar els seus "mòduls", és a dir, espais  X  que són retraccions de Aquesta noció ha estat estudiada per Libman. Quan és una homologia ordinària, aquest functor és el producte simètric infinit i els mòduls són espais d'Eilenberg-MacLane generalitzats (GEM). Donats dos d'aquests functors i n'introduïm un de nou, que denotem amb un parèntesi , com a retrocés de dues transformacions naturals i Estudiem mòduls sobre aquests suports i construïm dues torres en el cas. mitjançant l'emparellament sistemàtic a l'esquerra o a la dreta. Per a l'homologia ordinària obtenim dues torres ben conegudes: la torre de compleció de Bousfield-Kan i la modificada introduïda per Dror Farjoun.

Utilitzant models algebraics racionals, examinem estructures d'anells commutatius en la teoria K equivariant real i complexa. El treball conjunt amb Bohmann, Hazel, Ishak i Kędziorek va mostrar la singularitat de les estructures d'anells commutatius tant ingenus com genuïns en models racionals. per a un abelià finit de G. En un treball conjunt en curs amb Bohmann i Kędziorek, pretenem estendre aquests resultats a KOG.

Un conjunt simètric (simplicial) és un feix previ a la categoria de conjunts finits no buits i totes les funcions. Els conjunts simètrics de Segal són només els nervis dels grupoides. Considerem dos debilitaments de la condició de Segal per a conjunts simètrics. El primer defineix els grupoides parcials, ideats i estudiats per primera vegada per Chermak a p-teoria de grups finits locals. La segona defineix la d-Espais Segal de Dyckerhoff–Kapranov i (per a d = 2) Gálvez-Carrillo–Kock–Tonks. Aquesta xerrada tracta sobre algunes eines útils per entendre "com de Segal més alt" és un grup parcial. Es basen en la geometria discreta de les accions de grups parcials i, en última instància, impliquen la resolució de problemes de tipus Helly en espais de tancament abstractes. Explicaré alguns dels càlculs que hem fet per calcular el grau de Segality de grups parcials interessants, incloent-hi alguns càlculs que encara estan en curs per a grups parcials que sorgeixen en p-teoria de grups finits locals. Aquest és un treball conjunt amb Philip Hackney.

Per a espais topològics amb una acció d'un grup G, una aplicació isovariant és una aplicació equivariant que preserva els subgrups d'isotropia. Les aplicacions isovariants tenen un paper important en la teoria de la cirurgia equivariant i la teoria de l'h-cobordisme equivariant. En aquesta xerrada, parlaré del treball conjunt amb Sarah Yeakel, en què estudiem la teoria d'homotopia dels espais G amb aplicacions isovariants. Els resultats discutits poden incloure un teorema de Whitehead isovariant, una aplicació a la teoria del punt fix isovariant i els inicis de la teoria d'homotopia estable isovariant.

• localment finit si cada subgrup finitament generat de G és finit;
• a grup p (p primer) si cada element de G té p-ordre de poder; i
• artinià si cadenes descendents de subgrups de G esdevenir constant.

Per a un primer p, diem que G is p-artinià si cada p-subgrup de G és artinià. Si G és localment finit i p-artinià, aleshores cada p-subgrup de G és localment finit i artinià, i per tant és discret p-toral per resultats estàndard.
Després de recordar alguns d'aquests antecedents sobre els sistemes de fusió i els seus espais classificadors, descriuré part del nostre treball recent, on hem mostrat com associar un sistema de fusió a cada espai localment finit. p-artinià grup GEl primer problema era que aquests grups no necessitaven tenir Sylow p-subgrups, almenys no en el sentit fort: no cal que hi hagi un p-subgrup de G que conté tots els altres fins a la conjugació. En comptes d'això, vam definir el concepte de "Sylow feblement p-subgrup” de G, i vam mostrar que és únic fins a una relació de conjugació "local" adequadament definida. Després vam mostrar que si G és localment finit i p-artinià i S ≤ G és un Sylow feble p-subgrup, aleshores hi ha un sistema de fusió saturat sobre S (definit explícitament) i el seu espai classificador té el tipus d'homotopia de Les definicions de i són similars als que s'utilitzen per a grups finits, però amb complicacions addicionals causades per les definicions més febles dels subgrups de Sylow i la conjugació. Per demostrar que ​, necessitàvem aplicar un teorema recent d'Àlex Gonzalez: un "teorema dels elements estables" que descriu com a subgrup de .

Estudiem classes de Bousfield homològiques i cohomològiques en localitzacions de Bousfield de categories triangulades tensorialment generades de manera rígida i compacta a través de l'espectre homològic. Quan s'aplica a la teoria d'homotopia cromàtica, el nostre treball dóna una resposta negativa a una pregunta de Wolcott.

A la dècada del 1980, després d'haver introduït la cohomologia d'intersecció, M. Goresky i R. MacPherson van proposar diversos problemes i conjectures sobre els fonaments homotòpics d'aquesta teoria cohomològica. Aquesta millora homotòpica tindrà algunes aplicacions potencials a l'estudi dels sospaces singulars en geometria.
En aquesta xerrada faré un repàs d'aquesta millora basada en un enfocament simplicial de la cohomologia d'intersecció i en la teoria d'homotopia estratificada. En particular, discutiré un enfocament "motívic" del tema desenvolupat en col·laboració amb S. Douteau.

Per a una varietat $n$ tancada i topològica $M$, sigui $E(M)$ el seu espai d'equivalències d'autohomotopia apuntada. A [Hambleton-Kreck, 2004] es va establir una trena de seqüències exactes entrellaçades per obtenir nova informació sobre $Aut(M):=\pi_0(E(M))$, assumint que $M$ és una varietat $4$ tancada i orientada i que les autoequivalències preserven l'orientació. En aquell moment, els autors van veure clar que havia d'existir una trena similar per a varietats de dimensions superiors.

En aquest projecte, duem a terme els detalls d'aquesta extensió (a nivell d'espai) i construïm un quadrat cartesià d'homotopia (altament) que relaciona l'espai d'autoequivalències d'homotopia de $M$ amb un model espacial de bucle infinit per a la teoria de bordisme associada del tipus $k$ normal de $M$.

Això condueix a una explicació conceptual de l'existència de la trena de Hambleton-Kreck en l'entorn de la varietat $4$, i a una generalització àmplia d'aquesta eina per incloure informació sobre els grups d'homotopia superior $\pi_k(E(M))$ i variants relacionades.

Aquest és un treball conjunt amb Kursat Sozer (McMaster) i Robin Sroka (Muenster).

Baez i Dolan van introduir a finals dels anys 90 la noció de cardinalitat grupoide dels grupoides finits, i més generalment dels espais π-finits. Anàlogament a la característica d'Euler dels espais finits, que es comporta "additivament" sota
colímits finits (homotopia), la cardinalitat grupoide dels espais π-finits es comporta multiplicativament sota límits finits (homotopia).
Tanmateix, mentre que la característica d'Euler dels espais finits es pot veure com l'ombra d'un invariant superior (un mapa d'espais des de l'espai d'espais finits fins a l'espai algebraic de la K-teoria d'espais finits, també conegut com l'espai de la A-teoria d'un punt), la cardinalitat grupoide de Baez i Dolan no ha estat "homotopicada".
En aquesta xerrada, proposaré una definició de cardinalitat grupoide superior, que seria a la cardinalitat grupoide clàssica el que el refinament a un punt en l'espai de la teoria A d'un punt és a les característiques clàssiques d'Euler, i mostraré que aquesta definició, tot i que a priori és "superior", en realitat produeix un objecte discret: no hi ha una cardinalitat grupoide superior (i explicaré com això és relativament "robust", és a dir, no depèn tan de la definició precisa de cardinalitat grupoide superior).
Si el temps ho permet, discutiré algunes especulacions i conjectures sobre la combinació de cardinalitat grupoide superior i característiques d'Euler en un sol objecte.

Les construccions de Loday equivariants són un mitjà per proporcionar interpretacions geomètriques de teories d'homologia equivariants com ara l'homologia topològica Real Hochschild. Per a la família de grups dièdrics, Angelini-Knoll, Gerhardt i Hill van definir grups d'homologia Real D2m-Hochschild per a anells Eσ discrets. En treball conjunt amb Ayelet Lindenstrauss i Foling Zou, mostrem que aquests tenen una interpretació com els grups d'homotopia d'una construcció de Loday equivariant on considerem una acció D2m sobre l'esquelet 1 d'un 2m-gon regular. Per això, necessitem generalitzar les construccions de Loday equivariants de manera que només tinguin en compte els subgrups d'isotropia del conjunt G-simplicial. Si el temps ho permet, també presentarem una família d'exemples relacionats amb les accions de grups simètrics sobre permutoedres.

L'espectre de Balmer d'espectres G racionals finits és un espai X(G) de classes de conjugació de subgrups. L'espai X(G) és una unió disjunta de blocs V(G,H) de subgrups dominats per H, i hi ha una llista creixent de grups per als quals això es coneix explícitament (per exemple, 18 blocs quan G=SU(3)). Hi ha molts casos en què se sap que el model algebraic per a espectres G racionals és una categoria de feixos sobre X(G). La xerrada descriurà la forma general de V(G,H) i la farà explícita en alguns exemples. Els models algebraics també es descriuran en diversos casos.