Homologia en àlgebra i geometria
Homologia en àlgebra i geometria
Data
Primavera 2014
registre
-
Ubicació
-
El curs presentarà el marc clàssic de l'homologia així com una introducció als aspectes més recents que ara mateix estan canviant el tema.
Data
Primavera 2014
registre
-
Ubicació
-
El curs presentarà el marc clàssic de l'homologia així com una introducció als aspectes més recents que ara mateix estan canviant el tema.
Professors
Carles Broto (UAB)
Dolors Herbera (UAB)
Wolfgang Pitsch (UAB)
Santiago Zarzuela (UB)
Victor Rotger (UPC)
Resum
L'homologia és una eina omnipresent que sorgeix de manera natural quan s'aborden una gran varietat de qüestions de totes les branques de les matemàtiques. El curs presentarà l'entorn clàssic de l'homologia així com una introducció als aspectes més recents que ara mateix estan canviant el tema. L'objectiu és incidir en les aplicacions en diferents àmbits. Per destacar aquest aspecte s'organitzaran unes jornades temàtiques sobre temes concrets. Aquestes sessions estaran animades per un expert de la zona i seran l'ocasió perquè els estudiants interessats mostrin el seu aprenentatge de les tècniques introduïdes durant el curs.
contingut
- introducció. L'ús de la teoria de l'homologia en diferents branques, mitjançant exemples.
- L'enfocament clàssic: Cartan i Eilenberg.
Introduïm algunes nocions i construccions categòriques: categories abelianes, productes tensorials (si cal), funtors adjunts, límits/colímits, objectes projectius i injectius, mòduls plans i primers funtors derivats (Tor, Ext,...) - L'enfocament triangulat: les categories exactes de Quillen i la localització de Gabriel-Zisman.
S'introduiran els diferents enfocaments que condueixen a estructures triangulades: categories exactes, localització, etc. L'objectiu principal és presentar els teoremes seminals de Rickard sobre la teoria de Morita per a categories riangulades. - Tres dies temàtics:
- Una fita per a la teoria de nombres i la geometria algebraica: cohomologia d'Étale.
- Una eina fonamental: la cohomologia local.
- Una altra estructura procedent de les teories d'homologia: l'àlgebra de Steenrod.
Bibliografia
- Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel Àlgebra homològica. Amb un apèndix de David A. Buchsbaum. Reimpressió de l'original de 1956. Punts de referència de Princeton en matemàtiques. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp.
- Holm, T. i Jorgensen, P. Categories triangulades: definicions, propietats i exemples. Categories triangulades, 1–51, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 375, Cambridge, 2010.
- Keller, Bernhard Sobre la construcció d'equivalències triangulars. Derived equivalences for group rings, 155–176, Lecture Notes in Math., 1685, Springer, Berlín, 1998.
- Weibel, Charles A. Una introducció a l'àlgebra homològica. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994. xiv+450 pp.
- Neeman, Amnon Categories triangulades. Annals of Mathematics Studies, 148. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2001. viii+449 pp.