Escola d'estiu d'Anàlisi Harmònica i EDP

Discutirem diversos aspectes de l'equació incompressible d'Euler:
,
.
Ens centrarem principalment en les propietats i la construcció de solucions estacionàries.

En aquesta conferència, presentem una perspectiva moderna sobre la suavitat i la regularitat funcional mitjançant l'ús d'eines astutes de l'anàlisi harmònica. Primer anem més enllà de l'anàlisi puntual clàssica per explorar la regularitat a través de la lent de les mitjanes locals. Aquest enfocament proporciona un marc més flexible i robust, especialment en entorns on les derivades tradicionals no existeixen o no es poden definir. Posteriorment, apliquem aquestes tècniques per obtenir estimacions locals de Poincaré-Sobolev millorades, que són fonamentals per demostrar el cèlebre teorema de regularitat de De Giorgi. Aquest marc també proporciona una demostració autocontinguda del teorema de John-Nirenberg per a funcions BMO. Un tema central de la discussió és la propietat d'"automillora", un fenomen remarcable on un control local modest sobre les oscil·lacions condueix a una integrabilitat global significativament més forta. Com a aplicacions posteriors, presentem una extensió de la desigualtat de Nash, proporcionant un camí alternatiu al teorema de De Giorgi, així com una generalització del teorema de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev dins del context dels espais de Campanato. Aquesta conferència es basa en treballs conjunts amb Iker Gardeazabal i Emiel Lorist, i amb Alejandro Claros i Linfei Zheng.

La mesura harmònica és un tema àmpliament estudiat en anàlisi que sorgeix naturalment en relació amb el problema de Dirichlet per al laplacià en un domini. També es pot interpretar en termes de la probabilitat de primer pas del moviment brownià.
Aquesta mesura es recolza en la frontera del domini, i la seva interacció amb la mesura de la superfície conté informació geomètrica i analítica profunda. Aquestes connexions s'han estudiat des de l'article de F. i M. Riesz (1916), en què van demostrar que la mesura harmònica és mútuament absolutament contínua respecte a la longitud d'arc en el cas d'un domini planar simplement connectat amb frontera rectificable.
El 2016, Azzam, Hofmann, Martell, Mayboroda, Mourgoglou, Tolsa i Volberg van demostrar que la continuïtat absoluta de la mesura harmònica implica la rectificabilitat de la frontera. En aquest curs discutiré les tècniques implicades en la demostració d'aquest resultat, que es basen en gran mesura en l'anàlisi harmònica, i també discutiré problemes relacionats com ara generalitzacions a EDP el·líptiques en forma de divergència sota supòsits de regularitat adequades sobre els coeficients.

El 1980, B. Muckenhoupt va conjecturar que la ponderació La desigualtat que connecta la transformada de Hilbert i l'operador màxim de Hardy-Littlewood es compleix si i només si el pes w satisfà l'anomenat  condició. Molt recentment, en treball conjunt amb F. Nazarov i S. Ombrosi, vam donar una resposta positiva a aquesta conjectura. En aquest minicurs, tinc previst donar una visió general de la demostració d'aquest resultat i explicar diverses de les idees principals i els ingredients tècnics que hi ha al darrere.

Aquest minicurs introdueix estructures coherents periòdiques en les equacions d'Euler incompressibles bidimensionals i tridimensionals. Comencem amb el punt de vista finit-dimensional dels sistemes dinàmics autònoms, els fluxos hamiltonians, les quantitats conservades, les òrbites periòdiques i la dinàmica de vòrtexs puntuals. A continuació, desenvolupem les eines de bifurcació necessàries en entorns de dimensió infinita i mostrem com condueixen a famílies clàssiques de pegats de vòrtex en rotació rígida. També discutim la desingularització.
de configuracions rígides de vòrtex puntual mitjançant pegats de vòrtex concentrats, utilitzant el teorema de la funció implícita en espais de Banach.

A la segona part del curs, ens centrarem en els moviments no rígids, amb especial èmfasi en la dinàmica dels vòrtexs amb salts. Expliquem com es pot desingularitzar el moviment planar amb salts a nivell de pegats de vòrtex, i per què aquest problema requereix tècniques més delicades com la teoria KAM i la iteració de Nash-Moser. Finalment, descrivim com aquestes idees es poden adaptar a les equacions d'Euler axisimètriques tridimensionals per construir anells de vòrtex amb salts.