Introducció a les varietats abelianes i jacobians de les corbes. L'espai dels mòduls de Siegel i el grup modular simplèctic.Les funcions Thetanullwerte.Theta ens ajudaran a establir un vincle entre les corbes i els seus jacobians. A més, els seus valors a zero es poden considerar com a coordenades en l'espai de mòduls de varietats abelianes principalment polaritzades i, per tant, són una bona eina per investigar aquest espai.

2. Teoria invariant (6h)

Introducció. Invariants de corbes del gènere 1 i 2. Camps de mòduls. Camps de definició. La teoria dels invariants s'utilitzarà per donar una descripció explícita dels punts de l'espai de mòduls de corbes en termes d'invariants. També estudiarem qüestions aritmètiques relacionades com el camp més petit sobre el qual es pot definir un representant de la classe d'isomorfisme.

3. Corbes quàrtiques planes (6h)

Classificació. Invariants. Grup d'automorfismes. Problema de Torelli per a les corbes del gènere 3. Els primers exemples de corbes no hiperel·líptiques apareixen al gènere 3, i són el focus de molts problemes computacionals actuals. Revisarem els resultats clàssics de les corbes quàrtiques plànols no singulars per tal d'estudiar-ne les propietats aritmètiques.

4. Obstrucció de Serre al gènere 3 (2h).

L'obstrucció de Serre. Solució per a les corbes de gènere 3. Corbes màximes del gènere 3. L'obstrucció de Serre determina si una varietat abeliana sobre un camp és la jacobia d'una corba no hiperel·líptica sobre el tancament algebraic del camp. És trivial per a les dimensions 1 i 2. Les funcions theta permeten la seva descripció explícita per a la dimensió 3. Ho aplicarem per intentar calcular quin és el nombre màxim de punts d'una corba del gènere 3 sobre un camp finit. Aquesta pregunta encara està en gran part oberta.