Gerd Faltings guardonat amb el Premi Abel 2026 pel seu treball transformador en geometria aritmètica

Acadèmia Noruega de Ciències i Lletres anunciat que el Premi Abel 2026 és per a Gerd Faltings, director emèrit de l'Institut Max Planck de Matemàtiques de Bonn i professor emèrit de la Universitat de Bonn. La citació diu: «per introduir eines poderoses en geometria aritmètica i resoldre conjectures diofàntiques de Mordell i Lang, que ja existeixen des de fa temps».

Faltings es converteix en el primer matemàtic alemany a rebre el premi i en el primer a tenir un Premi Abel i una Medalla Fields, aquesta última atorgada el 1986 pel mateix conjunt de treballs que ara mereix aquest reconeixement.

El Premi

El Premi Abel va ser establert pel govern noruec el 2002, amb motiu del 200è aniversari del naixement de Niels Henrik Abel. S'atorga anualment des del 2003. El premi està dotat amb 7.5 milions de corones noruegues, equivalents a uns 670,000 euros, i el lliura cada primavera el Príncep hereu de Noruega en una cerimònia a Oslo. La cerimònia d'aquest any està prevista per al 26 de maig. Podeu trobar més informació, inclosa la cita científica completa i un relat popular de l'obra de Faltings, a abelprize.no.

El mateix Abel va morir el 1829 als 26 anys, de tuberculosi, després d'haver passat la major part de la seva curta vida en la pobresa. Va deixar enrere una obra que va remodelar l'àlgebra i l'anàlisi, inclosa una demostració que l'equació quíntica general no es pot resoldre amb radicals. El premi que porta el seu nom es va concebre per donar a les matemàtiques un reconeixement permanent i d'alt perfil al nivell dels premis Nobel. Va passar un segle des de la primera proposta fins a l'establiment real del premi. En aquell moment, la idea ja s'havia suggerit, abandonat després de la dissolució de la unió sueco-noruega el 1905, recuperat, debatut i finalment finançat amb el pressupost nacional.

Entre els guardonats anteriors hi ha Andrew Wiles, Karen Uhlenbeck, Robert Langlands i Mikhail Gromov. L'any passat, el premi va ser per a Masaki Kashiwara per les seves contribucions a l'anàlisi algebraica i la teoria de la representació.

Per què Faltings

El 1922, el matemàtic britànic Louis Mordell va proposar una conjectura sobre una família específica d'equacions. Afirmava que qualsevol corba algebraica de gènere més gran que un, definida sobre els nombres racionals, només podia tenir un nombre finit de punts racionals. En termes senzills: a partir d'un cert nivell de complexitat geomètrica, una corba deixa de ser el tipus d'objecte on s'acumulen solucions. N'hi ha unes poques, o no n'hi ha cap, però l'oferta s'esgota.

«Les seves idees i resultats han remodelat el camp, resolent importants conjectures de llarga durada, alhora que han establert nous marcs que han guiat dècades de treball posterior.»
Comitè del Premi Abel, 2026

La conjectura va romandre oberta durant seixanta anys. Molts matemàtics amb talent la van abordar, van trobar resultats parcials i es van aturar de sobte. A finals de la dècada de 1970, havia adquirit la reputació d'un problema que resistia a totes les eines disponibles en el camp. Aleshores, el 1983, Gerd Faltings, de 28 anys, la va demostrar. Va utilitzar una combinació de mètodes extrets de la teoria d'Arakelov i l'aritmètica de varietats abelianes, tècniques que no s'havien aplicat anteriorment al problema en aquella configuració. La demostració va sorprendre la comunitat no només perquè funcionava, sinó per la quantitat de maquinària addicional que produïa al llarg del camí.

El resultat té un corol·lari ben conegut. Les corbes de Fermat xⁿ + iⁿ =zⁿ tenen un gènere més gran que un quan n és com a mínim 4. Per tant, el teorema de Faltings implica immediatament que per a aquests exponents, només hi pot haver un nombre finit de solucions racionals. No demostra que el recompte sigui zero, com va fer la demostració de l'últim teorema de Fermat d'Andrew Wiles el 1995, però descartava l'infinit, cosa que no s'havia fet abans.

Faltings no es va aturar a Mordell. El 1989, Paul Vojta va trobar una prova diferent de la conjectura de Mordell utilitzant l'aproximació diofàntica. Faltings va adaptar aquest enfocament el 1991 per demostrar la conjectura de Mordell-Lang, una generalització substancialment més difícil sobre la distribució de punts racionals en subvarietats de varietats abelianes. El mateix article també va establir la finitud dels punts integrals en subvarietats afins de varietats abelianes, tal com va conjecturar Serge Lang.

Més enllà de la geometria diofàntica, Faltings va fer contribucions importants a la teoria p-àdica de Hodge, demostrant les principals conjectures formulades per Tate i Jean-Marc Fontaine i estenent la teoria a l'entorn no abelià. Les eines que hi va introduir han continuat sent centrals en el camp, fins i tot a través del treball posterior de Peter Scholze. La citació del comitè Abel el descriu com "una figura imponent en la geometria aritmètica" les "idees i resultats del qual han remodelat el camp, resolent importants conjectures de llarga durada, alhora que establint nous marcs que han guiat dècades de treball posterior".

Una carrera a la intersecció de la geometria i l'aritmètica

Faltings va néixer a Gelsenkirchen el 1954. Va estudiar matemàtiques i física a la Universitat de Münster, on va completar el doctorat el 1978. Va obtenir una beca de professor visitant a Harvard, després va tornar a Münster com a assistent i finalment va obtenir l'habilitació el 1981. Als 27 anys, va ser nomenat professor titular a la Universitat de Wuppertal, la més jove d'Alemanya en aquell moment. El 1985, es va traslladar a Princeton, on va romandre durant gairebé una dècada.

Va tornar a Alemanya el 1994, quan les seves filles ja eren grans, i des de llavors ha estat a l'Institut Max Planck de Matemàtiques de Bonn. Va esdevenir-ne director emèrit el 2023.

El treball de Faltings es troba a la intersecció de la teoria dels nombres i la geometria algebraica, un territori que es coneix amb el nom de geometria aritmètica. Les preguntes centrals d'aquest camp es refereixen a solucions racionals o enteres d'equacions polinòmiques, objectes que semblen àlgebra però que es basen en estructures geomètriques. La seva contribució no va ser només respondre preguntes específiques, sinó importar tot un conjunt d'eines geomètriques en aquest context aritmètic, eines que altres han continuat desenvolupant i aplicant des de llavors.

Fora de les matemàtiques, Faltings és conegut com un devot espectador de l'òpera, fan del FC Schalke 04 i un entusiasta jardiner.

Una visita prèvia al CRM

La connexió de Faltings amb Barcelona es remunta a més de tres dècades enrere. El juny de 1991, en el punt àlgid de la seva reputació després de la demostració de Mordell i la Medalla Fields, va ser un dels sis guardonats amb la Medalla Fields convidats a participar en el Simposi sobre l'estat actual i les perspectives de les matemàtiques, organitzat pel CRM en el marc de l'Olimpíada Cultural de Barcelona. Els altres ponents plenaris van ser Allan Connes, Vaughan Jones, Sergei Novikov, Stephen Smale i René Thom. Les actes van ser publicades per Springer amb el títol Recerca matemàtica: avui i demà.

El premi es lliurarà a una cerimònia a Oslo A 26 maig 2026.