De Barcelona a Bengala Occidental: la química es troba amb les matemàtiques per millorar el disseny dels filtres d'aigua

A Bengala Occidental, Índia, els filtres d'aigua que funcionen amb energia solar funcionen silenciosament als centres dels pobles i als patis de les escoles, eliminant el fluorur de les aigües subterrànies que, d'altra banda, podria causar deformitats esquelètiques i malalties dentals. Els filtres funcionen. Les comunitats ara tenen accés a aigua potable. Però fins fa poc, ningú podia predir quant durarien els filtres ni com millorar-los.

L'excés de fluor és un problema de salut mundial. Només a l'Índia, aproximadament 62 milions de persones consumeixen aigua que supera el límit recomanat per l'OMS d'1.5 mg/L. El repte es veu agreujat per l'extrema variabilitat local: les concentracions de fluor poden variar dràsticament entre pous separats per només uns pocs centenars de metres, cosa que dificulta especialment el disseny estandarditzat de filtres.

La resposta no estava en la química. Estava en les matemàtiques.

Un equip que abasta Barcelona i Kharagpur ha publicat un nou model a la Revista d'enginyeria de processos d'aigua que finalment reconcilia el que passa en un vas de precipitats de laboratori amb el que passa en un filtre de poble, una cosa que els enfocaments anteriors no aconseguien fer sistemàticament. El treball, dirigit per Lucy Auton i Timothy Myers al Centre de Recerca Matemàtica, amb Shanmuk Ravuru a la Universitat d'Alberta, Sirshendu De a l'IIT Kharagpur i Abel Valverde a la UPC, no només prediu el rendiment del filtre. Revela per què un segle de models estàndard han estat enganyant l'adsorció de columnes¹.

De ha estat testimoni de primera mà de la magnitud del problema. «La contaminació per fluor a Bengala Occidental es produeix en 6 districtes», explica. «La concentració de fluor varia entre 2.0 i 14 mg/L. Els vilatans de les zones afectades tenen les dents tacades i deformades, i això era visiblement pronunciat». Les mostres de camp confirmen l'extrema variabilitat local que els models han de tenir en compte: «La concentració difereix d'un pou a un altre. La variació és de 2 a 6 mg/L al mateix poble. La concentració fins i tot es dilueix durant les temporades de pluges».

 

L'error invisible

Myers assenyala un problema fonamental amb la manera com el camp ha abordat aquests problemes. «El problema comença amb una acceptació general dels models antics, on els investigadors han oblidat les suposicions implicades en el seu desenvolupament», explica. «Això ha portat a que els models antics s'apliquin o s'interpretin incorrectament».

L'any passat va publicar una crítica del possiblement el model més utilitzat per a l'adsorció de columnes: el model de Bohart-Adams, desenvolupat a la dècada del 1920. La derivació matemàtica assumeix que certs termes són constants, i després, en ajustar-se a les dades, es permet que aquestes mateixes "constants" variïn. "Com que la derivació es troba a l'apèndix d'un article de la dècada del 1920, potser no és sorprenent que s'hagi oblidat", assenyala Myers. "Per a mi, el fet que les 'constants' hagin de variar és una clara indicació que els supòsits del model són incorrectes. És sorprenent que s'hagi aplicat una anàlisi òbviament errònia durant més de 100 anys".

Per als filtres de fluorur, això és important. Els filtres contenen dos materials: carboni ric en minerals (MRC), essencialment farina d'os carbonitzada, i MRC tractat químicament (TMRC), que està recobert d'hidròxid d'alumini. Ja existien models anteriors per a aquests materials, però eren fonamentalment inconsistents. Els investigadors van modelar experiments per lots utilitzant un conjunt d'equacions (isotermes) i experiments en columna utilitzant models completament no relacionats (cinètica), sense assegurar-se que els dos fossin físicament coherents. Els paràmetres que haurien d'haver-se mantingut fixos en totes les condicions van variar, obligant els investigadors a un cicle de reajustament en lloc d'una predicció genuïna. Aquesta inconsistència va fer que l'optimització i l'ampliació del filtre fossin gairebé impossibles.

«De fet, això és cert en general en el cas de la modelització matemàtica; comprendre la interacció entre les matemàtiques i la química o la física és clau per produir un model reeixit.»

En lloc de recórrer a equacions estàndard, l'equip va començar amb estructures cristal·lines. L'MRC és majoritàriament hidroxiapatita, el mateix mineral que forma les dents i els ossos. La seva xarxa conté calci, fosfat i, sobretot, ions hidròxid que el fluorur pot substituir mitjançant intercanvi iònic.²El TMRC afegeix una fina capa d'hidròxid d'alumini que augmenta dràsticament l'absorció de fluorur, aproximadament deu vegades. «Hi ha molts models aproximats a la literatura per a la captura de contaminants, però el procés que implica carbó ossi recobert no encaixava del tot amb les situacions estàndard», expliquen Myers i Valverde. «Les dades indicaven la presència de múltiples mecanismes d'adsorció en lloc d'una única llei cinètica que la regeix. Per aquest motiu, primer vam examinar la química; en comprendre el procés físic vam poder desenvolupar millor un model matemàtic adequat».

Afegeix un principi més ampli: «De fet, això és cert en general en la modelització matemàtica; entendre la interacció entre les matemàtiques i la química o la física és clau per produir un model reeixit». La química va revelar reaccions diferents: el TMRC experimenta un intercanvi iònic entre l'hidròxid d'alumini i el fluorur; el MRC fa el mateix amb el seu nucli d'hidroxiapatita, però també fisisorbeix.³ fluorur en llocs de xarxa vacants. Cada procés opera en escales de temps diferents. Qualsevol model honest hauria de capturar tots tres.

 

Dos filtres, un model

Auton i l'equip van derivar models separats per a MRC i TMRC a partir d'experiments per lots, sistemes tancats on l'adsorbent i l'aigua contaminada es barregen en un vas de precipitats. Aquests models per lots, basats en la cinètica química, van establir quatre paràmetres intrínsecs: constants d'equilibri i capacitats màximes d'adsorció per a cada material.

Després va venir el model de columna, on l'aigua contaminada flueix a través d'un llit compactat de la mescla MRC-TMRC. Les matemàtiques canvien. L'advecció⁵ i la dispersió⁶ ara importen, juntament amb les mateixes reaccions químiques.

L'equip va desenvolupar tres models interconnectats, cadascun basat en la química real: CB-MRC per al carboni ric en minerals (que captura tant l'intercanvi iònic com la fisisorció a l'estructura de la hidroxiapatita), IE-TMRC per al material tractat químicament (intercanvi iònic al recobriment d'hidròxid d'alumini, que proporciona deu vegades la capacitat d'adsorció del MRC) i CB-MT per al llit filtrant mixt (que integra tots dos materials amb els processos de transport). La idea clau: els quatre paràmetres dels experiments per lots no canvien en passar al model de columna. Són propietats dels materials, no de la configuració experimental. Només calia reajustar les velocitats de reacció directa, que depenen del flux i la barreja.

El resultat és un model que prediu corbes de ruptura⁴ (el moment en què el fluorur comença a aparèixer a la sortida del filtre) a través de diferents concentracions d'entrada i cabals. El coeficient de determinació supera el 0.991. La suma d'errors quadràtics es manté per sota del 6.3% de la concentració d'entrada. Quan la concentració d'entrada canvia, el model prediu la nova corba sense haver de tornar a ajustar-la. La química i les matemàtiques finalment s'alineen.

 

 

«En aquest article hem treballat de valent per desenvolupar un model matemàtic coherent amb la química i les observacions experimentals», explica Myers. «Les matemàtiques poden ajudar en el disseny de futurs equips de filtració, però només si es fan bé, són comprensibles per a la comunitat i són capaces de predir els fenòmens observats».

 

Col·laboració entre continents

Auton va visitar el laboratori de l'IIT Kharagpur, va fotografiar prototips de filtres i va prendre notes detallades sobre les condicions de funcionament. De tornada a Barcelona, ​​la modelització va procedir a través d'un intercanvi constant: preguntes sobre les fluctuacions del pH, aclariments sobre les distribucions de mida de gra, intercanvis sobre com interpretar les concentracions d'alumini a l'efluent.

«La primera autora, Lucy Auton, va visitar el grup a l'Índia (i va fer les fotos utilitzades a l'article)», recorda Valverde. «Posteriorment vam rebre un informe detallat de l'equip experimental de l'Índia que descrivia totes les condicions operatives i proporcionava el conjunt complet de dades experimentals. El nostre treball de modelització va procedir en estreta col·laboració amb ells, i van respondre a totes les nostres preguntes a mesura que desenvolupàvem el model i generàvem resultats».

De descriu com va evolucionar la col·laboració: "La nostra col·laboració inicial va ser amb la Universitat d'Oxford i una de les científiques, Lucy Auton, es va traslladar a Barcelona i la col·laboració va continuar allà. La idea de modelar filtres es va proposar conjuntament. Es preveia que els experiments els faria l'IIT Kharagpur i que la modelització la duria a terme Lucy. La vida útil del filtre es pot predir a partir del model per a filtres ampliats."

L'anàlisi del model complet va revelar una cosa inesperada: tot i que MRC supera TMRC en una proporció de quaranta a un, TMRC fa gairebé tota la feina. MRC només contribueix en moments molt primerencs i molt tardans, quan els llocs TMRC se saturen. Això va suggerir una simplificació radical. Què passaria si ignoréssim completament MRC? El model reduït elimina dues de les tres reaccions químiques, deixant només l'intercanvi iònic TMRC. Té un paràmetre d'ajust en lloc de tres. Encara aconsegueix R². ⁷ superior a 0.983. La troballa es va alinear amb les expectatives de De. «Es preveia, ja que el carbó ossi tractat és més porós, impregnat de compostos d'alumini i calci i, per tant, té una alta capacitat de fluorur», assenyala. «Tanmateix, com que és de naturalesa pulverulenta, podria ofegar el filtre. Per tant, la seva proporció a la barreja es va identificar acuradament».

«Primer, no ho sabíem però sospitàvem», diu Myers. «L'experiència en la modelització de problemes físics i també tècniques com la no dimensionalització ens permeten identificar processos dominants i negligibles i quantificar possibles errors quan negligim els termes. Això ens va guiar cap al model simplificat». La sospita per si sola no és suficient. «No obstant això, sempre que presentem un model simple, especialment a una comunitat no matemàtica, fem tot el possible per verificar-lo. L'enfocament habitual és comparar-lo amb una solució numèrica completa i també amb dades experimentals. Només si tots dos funcionen bé podem tenir confiança que el model reduït és adequat».

El model reduït no és només matemàticament elegant. És computacionalment barat i senzill d'implementar, exactament el que es necessita per dissenyar filtres en entorns amb recursos limitats.

 

On les matemàtiques porten a continuació

Les aplicacions immediates són pràctiques: predir la vida útil del filtre, optimitzar la relació MRC-TMRC, dissenyar per a diferents cabals i concentracions d'entrada. Però l'enfocament obre una pregunta més àmplia sobre els sistemes amb múltiples contaminants.

«Una qüestió clau que estem investigant en aquest moment és la captura simultània de múltiples contaminants, cosa que porta a un sistema acoblat on els contaminants interactuen i competeixen pels llocs d'adsorció i, a continuació, alguns models, anàlisis i dades numèriques nous i interessants», diu Myers. «I encara no sabem cap a on anem!»

L'equip de De ja ha començat a investigar aquests efectes competitius. «Es va observar que fins i tot una concentració elevada de calci no afecta la capacitat d'adsorció del TMRC i, per tant, la vida útil del filtre», informa. «El nitrat de fins a 50 mg/L només redueix la capacitat en un 5%. El fosfat i el sulfat de fins a 50 mg/L redueixen la capacitat en un 10%.» No obstant això, assenyala que aquestes reduccions es poden compensar omplint proporcionalment més adsorbent a les columnes del filtre.

Les aigües subterrànies reals contenen arsenat, nitrat i fosfat, tots competint pels mateixos llocs superficials. El pH canvia a mesura que s'alliberen ions hidròxid. La temperatura fluctua. "Els nous efectes condueixen inevitablement a models més complexos", assenyala Valverde. "Diferents contaminants, diferents pH afectaran els processos d'adsorció i desorció. A més del cost computacional més elevat associat a la introducció de noves variables, balanços de massa i equacions cinètiques, definir totes les interaccions químiques rellevants seria definitivament un repte".

Els filtres ja funcionaven. Ara entenem per què i com millorar-los.

Cita:

[1] LC Auton, SS Ravuru, S. De, TG Myers, A. Valverde, Desenvolupament i validació experimental d'un model matemàtic per a filtres d'eliminació de fluorur que comprenen carboni ric en minerals tractat químicament, Journal of Water Process Engineering 79 (2025) 108914. https://doi.org/10.1016/j.jwpe.2025.108914

 

glossari

1. AdsorptionEl procés pel qual les molècules o els ions d'un fluid (com el fluorur a l'aigua) s'uneixen a la superfície d'un material sòlid (com el carboni ossi). A diferència de l'absorció, on una substància s'incorpora al volum d'un altre material, l'adsorció només es produeix a la superfície.
2. Intercanvi iònicUn procés químic en què els ions d'un tipus són substituïts per ions d'un altre tipus. En aquests filtres, els ions fluorur (F⁻) intercanvien llocs amb ions hidròxid (OH⁻) en l'estructura cristal·lina del material adsorbent.
3. FisisorcióAdsorció física on les molècules s'uneixen a una superfície a través de forces intermoleculars febles (com ara enllaços d'hidrogen) en lloc d'enllaços químics. Aquest tipus d'adsorció és generalment més feble i més fàcilment reversible que la quimiosorció.
4. Corba de rupturaUn gràfic que mostra la concentració d'un contaminant a la sortida del filtre al llarg del temps. El "punt de ruptura" és quan el contaminant comença a aparèixer a l'aigua filtrada, cosa que indica que el filtre s'està saturant i s'acosta al final de la seva vida útil.
5. AdveccióEl transport de substàncies dissoltes pel moviment de la massa del fluid que flueix. En un filtre d'aigua, això és simplement el moviment d'aigua contaminada a través del llit filtrant.
6. DispersióLa dispersió de substàncies dissoltes en un fluid a causa de variacions en la velocitat del flux i la difusió molecular. Això provoca una certa barreja a mesura que l'aigua es mou a través del filtre.
7. R² (coeficient de determinació): Una mesura estadística que va de 0 a 1 que indica com de bé s'ajusta un model matemàtic a les dades experimentals. Un valor de 0.991 significa que el model explica el 99.1% de la variació de les dades, cosa que indica un ajust excel·lent.