Exploring New Frontiers: Crònica de l'escola sobre homogeneïtzació i càlcul fraccionat

Els dies 24 i 25 de març de 2025, el Centre de Recerca Matemàtica (CRM) va acollir l'Escola de Noves Fronteres en Homogenització i Càlcul Fraccionat per celebrar el 50è aniversari de la Γ-convergència. Aquesta tècnica matemàtica va ser introduïda per Ennio De Giorgi i Tullio Franzoni l'any 1975.

L'esdeveniment va reunir els principals experts en els camps de l'homogeneïtzació i el càlcul fraccionat per parlar dels últims desenvolupaments i aplicacions d'aquestes tècniques matemàtiques. Els temes inclouen transicions de fase i anàlisi asimptòtica d'equacions diferencials parcials, així com problemes no locals, que són cada cop més rellevants en la ciència dels materials.

També va incloure una sèrie de conferències i debats que van posar de manifest l'estat actual de la investigació i van oferir valuoses idees sobre la direcció futura d'aquestes fascinants àrees de les matemàtiques.

Alberto Maione durant la seva presentació al curs.

En concret, els ponents van ser:

Andrea Braides, Professor Titular de la Universitat de Roma “Tor Vergata”. La seva recerca se centra en el càlcul de variacions, Γ-convergència i homogeneïtzació. Durant l'esdeveniment, Braides va donar una visió detallada dels resultats recents sobre pertorbacions singulars amb seminormes fraccionades i d'ordre superior, en el marc de transicions de fase i de problemes de discontinuïtat lliure.

Maicol Caponi, Investigador de durada de la Universitat de l'Aquila. La seva recerca se centra en el càlcul de variacions, les equacions diferencials parcials i la dinàmica de fractures, amb aplicacions en la ciència dels materials. En la seva xerrada, va parlar sobre resultats recents amb col·laboradors, on els autors van derivar una teoria del gradient de deformació per a la plasticitat com el límit Γ de les energies fraccionàries de dislocació discreta, sense la introducció d'un radi central.

Alessandro Carbotti, Postdoctorat a la Universitat de Salento, la investigació del qual se centra en l'anàlisi fraccionària, la geometria subriemanniana i les equacions en derivades parcials. Carbotti va presentar un nou enfocament del problema de convergència H que implica operadors lineals no locals en forma de divergència fraccionària. Si també s'assumeix la simetria, va demostrar que la H-compactat dels operadors és equivalent a la Γ-convergència de les energies associades.

Patrick Dondl, Professor Titular de la Universitat de Friburg (Alemanya), la recerca de la qual se centra en mètodes numèrics per a equacions en derivades parcials i aplicacions en mecànica. En la seva ponència, va presentar un mètode numèric per aproximar el laplacià fraccionari, aproximant l'operador utilitzant una base formada per productes tensorials dilatats i desplaçats de funcions sinc.

Àlex Ferrer, Investigador Associat al CIMNE i Professor Associat “Serra-Hunter” a la Universitat Politècnica de Catalunya. La seva recerca se centra en l'optimització estructural i la fabricació additiva. En la seva ponència, va presentar el mètode de deshomogenització per a la minimització de tensions en estructures de gelosia, destacant la seva eficiència en comparació amb l'optimització de topologia multiescala. Ferrer va explicar l'ús de l'homogeneïtzació per optimitzar estructures macroscòpiques i va abordar singularitats en l'àmbit de l'orientació, validant la metodologia amb exemples numèrics.

Carolin Kreisbeck durant la seva xerrada.

Carolin Kreisbeck, Professor titular de la Universitat Catòlica d'Eichstätt-Ingolstadt, la investigació de la qual se centra en el càlcul de variacions i equacions diferencials parcials no lineals, amb aplicacions en la ciència dels materials. Kreisbeck va explorar problemes variacionals amb funcionals integrals que impliquen gradients no locals, centrant-se en els espais de Sobolev, els operadors de traça i les desigualtats de Poincaré. Va establir l'existència de minimitzadors per a funcionals amb Lagrangians quasiconvexos o policonvexos, depenent de gradients no locals heterogenis.

Fabio Paronetto, Professor Associat de la Universitat de Pàdua. La seva recerca se centra en el comportament asimptòtic de solucions d'equacions en derivades parcials el·líptiques i parabòliques. Va parlar de l'existència i la singularitat de les solucions de equacions parabòliques cap endavant i cap enrere, ampliant els resultats clàssics i proporcionant un resultat de compacitat G per a seqüències d'aquests operadors.

Xavier Ros-Oton, professor d'investigació ICREA i professor titular de la Universitat de Barcelona, ​​és conegut per l'estudi de la teoria de la regularitat per a equacions en derivades parcials, operadors integro-diferencials i problemes de límits lliures. Ros-Oton va presentar resultats recents sobre la regularitat de les solucions de l'equació de Boltzmann, una equació fonamental en mecànica estadística, que modela l'evolució del gas. Va ampliar els resultats anteriors d'Imbert i Silvestre, demostrant que si certs observables, com la massa i la pressió, romanen limitats, aleshores les solucions són suaus.

Simone Verzellesi, Postdoctorat a la Universitat de Pàdua, la investigació del qual se centra en el càlcul de variacions i la geometria subriemanniana. En la seva xerrada, ell va presentar resultats recents per a seqüències de funcionals integrals anisòtropes depenent dels camps vectorials continus de Lipschitz. Va discutir sobre les propietats de la configuració funcional anisòtropa i va mostrar resultats de representació integral d'aquestes funcionals, així com resultats de Γ-compacitat per a seqüències de funcionals integrals anisòtropes.

Xavier Ros-Oton durant la seva xerrada.

Investigadors del programa Research in Pairs resolent problemes junts.

En general, la Escola de noves fronteres en homogeneïtzació i càlcul fraccionari va ser un èxit, fomentant la col·laboració i la innovació per avançar en la comprensió d'aquestes tècniques matemàtiques.