Taller exploratori CRM

Una introducció a la teoria de Matroides

Resum: Els matroides es van originar a la dècada de 1930 com una abstracció de la noció d'independència lineal en espais vectorials. Mentre que les matrius i els gràfics proporcionen els primers exemples i van ser la motivació per al desenvolupament del camp, la teoria de matroides té moltes connexions amb altres àrees, com ara els emparellaments, l'optimització, la geometria o la criptografia. En aquesta xerrada donarem una visió general dels matroides, centrant-nos en aquells aspectes que justifiquen el seu nom alternatiu, encara que no tan habitual, de les (pre)geometries combinatòries.

Una característica especial dels matroides és que tenen diverses definicions equivalents. Repassarem les principals (bases, conjunts independents, bemols, rang, circuits...), i després repassarem les operacions bàsiques (menors i dualitat) i presentarem algunes classes importants de matroides. Després passarem als polinomis matroides, posant èmfasi en el polinomi característic i les seves propietats. 

No s'assumeix cap coneixement previ de teoria de matroides.

Anna de Mier

Universitat Politècnica de Catalunya

Polítops matroides, geometria tropical i log-concavitat

Resum: Continuem la xerrada anterior i examinem algunes encarnacions geomètriques d'un matroide M, és a dir, polítops matroides, ventalls de Bergman i espais lineals tropicals. Més algebraicament, la cohomologia racional del complement d'una determinada disposició hiperpla associada a M s'anomena àlgebra d'Orlik-Solomon, el polinomi de Poincaré està relacionat amb el polinomi característic de M.

Esperem que aquests exemples generin una mica d'intuïció per entendre l'essència de la demostració de Huh–Adiprasito–Katz de la log-concavitat dels coeficients d'aquest polinomi característic, és a dir, que la varietat tropical o ventall de Bergman associat a un matroide té l'estructura del anell de cohomologia d'una varietat projectiva suau.

Julian Pfeifle

Universitat Politècnica de Catalunya

Enquesta de grups Chow

Resum:

L'estudi dels cicles algebraics és la pedra angular de la geometria algebraica i comparteix un terreny comú amb la geometria aritmètica, la teoria algebraica K i la geometria analítica. La definició del grup lliure de cicles algebraics és fàcil d'entendre i es pot generalitzar a diferents categories. La part no trivial consisteix a definir una relació d'equivalència adequada, de manera que el grup quocient es doti d'una estructura d'anell. Aquesta relació d'equivalència és proporcionada per funcions racionals en subvarietats, i el quocient resultant es defineix com el grup de Chow unit a una varietat algebraica.

L'objectiu d'aquesta xerrada és donar una introducció i una enquesta sobre aquest tema. Més alineat amb el tema d'aquesta conferència, presentaré el grup Chow d'un matroide.

Souvik Goswami

Universitat de Barcelona

Paquets Kähler i la seva importància combinatòria

Sebastià Xambó

Universitat Politècnica de Catalunya

 Àlgebra a la biblioteca matemàtica Lean

Resum: Començarem presentant el demostrador interactiu de teoremes Lean i la seva biblioteca matemàtica Mathlib. A continuació, donarem una visió general de la jerarquia d'àlgebra a la biblioteca Mathlib (com es formalitzen els grups, anells, mòduls, etc. i les dependències entre aquests objectes). Finalment, parlarem de les formalitzacions de diversos temes que apareixen en el treball de Huh, inclosos els anells polinomials i les àlgebres graduades.

María Inés de Frutos Fernández

Universitat Autònoma de Madrid

Combinatòria a Mathlib i més enllà

Resum: Com a principal biblioteca Lean de matemàtiques, Mathlib adquireix noves formalitzacions a un ritme creixent. Curiosament, una àrea de les matemàtiques està enrere: la combinatòria.

Yaël Dillies

Universitat de Cambridge

Geometria en mathlib

Riccardo Brasca

Université Paris Cité