Escola d'Estiu GATMAID EMS

El tema central de l'escola és l'anàlisi de dades topològicament, el seu impacte en altres àrees de recerca i les seves aplicacions emergents en problemes de la vida real. L'escola s'organitza en tres cursos de 6/7 hores cadascun: el primer introdueix el marc bàsic, mentre que els altres dos tracten temes específics d'Àlgebra i de Geometria que creixen actualment a partir de l'impuls de TDA. Cada curs constarà de dues parts, una que presenta els antecedents matemàtics i una altra que mostra el seu potencial d'aplicació. Els participants rebran informació prèviament sobre els antecedents recomanats per a l'escola i durant l'escola hi haurà hores de tutoria/debat.

La part científica de l'escola es complementa amb:

– poques xerrades de recerca de ponents sèniors, per il·lustrar alguns aspectes concrets relacionats amb ells

– una sessió de pòsters, en què els participants disposats podran presentar el seu treball

– Activitat oberta al públic en general. Consisteix en una xerrada sobre aspectes ètics relacionats amb la Intel·ligència Artificial, i una taula rodona amb el títol: De la recerca pura a la transferència tecnològica: una nova era per a les matemàtiques?

Els cursos seran adequats per a estudiants de doctorat primerencs o fins i tot estudiants de nivell de màster disposats a aprendre sobre el tema i que poden estar buscant temes i assessors de doctorat potencials. Serà un esdeveniment realment internacional, ja que vindran ponents i participants d'arreu del món (encara que majoritàriament d'Europa) i l'escola d'estiu és el preludi de la Conferència LIGAT.

Professors: Frédéric Chazal | Inria

Descripció del curs:

L'anàlisi de dades topològiques és una família sòlida de tècniques que està guanyant una importància creixent per a l'anàlisi i visualització interactiva de dades en aplicacions d'imatge i aprenentatge automàtic. Atesa la complexitat i la mida creixents de les col·leccions actuals de conjunts de dades adquirits o simulats (2D, 3D i nD), aquests enfocaments tenen com a objectiu ajudar els usuaris a comprendre la complexitat de les seves dades proporcionant informació sobre la seva estructura topològica i geomètrica.

En dimensions baixes (normalment 2 o 3), l'anàlisi de dades topològiques permet als usuaris extreure, interactuar i classificar ràpidament característiques geomètriques definides per conjunts de nivells o línies integrals. Gràcies als mecanismes de simplificació basats en l'homologia persistent, aquests algorismes construeixen, a més, representacions topològiques multiescala de les dades, que permeten als usuaris realitzar anàlisis i comparacions sòlides malgrat la presència de soroll. La solidesa, l'eficiència i la robustesa d'aquesta classe d'enfocaments la van fer cada cop més popular en els últims anys en una varietat d'aplicacions d'anàlisi d'imatges en 2D i 3D. En dimensions superiors, aquestes tècniques s'han adaptat recentment per formar la base de nous algorismes de clustering i eines d'anàlisi de dades.

L'objectiu d'aquest curs és introduir els conceptes principals del camp recent de l'anàlisi de dades topològiques i il·lustrar el seu ús en aplicacions d'imatge (visualització científica) i d'aprenentatge automàtic, tant des del punt de vista matemàtic com pràctic.

Material del curs:

• Lectures preliminars:

+ Els següents capítols del llibre "JD Boissonnat, F. Chazal, M. Yvinec. Inferència geomètrica i topològica. Universitat de Cambridge. Premeu” seria bo com a lectures preliminars (un pdf gratuït del llibre està disponible aquí: https://inria.hal.science/hal-01615863/ ):

• Nocions de complexos simples geomètrics i abstractes : 2.1 – 2.5
• Nocions bàsiques d'homologia simplicial i homologia singular : 11.1 – 11.3

 + Una visió general recomanada (no necessàriament una lectura preliminar): https://www.frontiersin.org/articles/10.3389/frai.2021.667963/full

Professors: Thomas Brüstle | Université de Sherbrooke i Bishop's University

Descripció del curs:

L'anàlisi de dades topològiques (TDA) utilitza la topologia per identificar les característiques geomètriques rellevants de les dades, com ara clústers i bucles. Això s'aconsegueix modelant primer les dades mitjançant una família d'espais topològics indexats sobre un poset, i després identificant les característiques topològiques que persisteixen en diversos índexs. El camp de la topologia algebraica proporciona eines a TDA mitjançant el llenguatge d'homologia, i l'homologia persistent és la branca de la TDA que fa ús de mètodes de la teoria de la representació per estudiar aquestes representacions de posets, anomenades mòduls de persistència.

En aquest curs presentarem la teoria bàsica dels mòduls de persistència finita puntual amb coeficients en un camp. Això inclou resultats de classificació per a mòduls de persistència d'un paràmetre on el poset està totalment ordenat, així com la descripció dels invariants dels mòduls de persistència en la configuració multiparàmetre. També parlarem d'algunes nocions que són útils en les aplicacions, com ara l'estabilitat d'un invariant, que, a grans trets, vol dir que dos mòduls de persistència que provenen de dades similars haurien de tenir valors propers als seus invariants corresponents.

També mostrarem com la teoria dels mòduls de persistència ajuda a la pràctica en l'estudi de la forma de les dades.

Material del curs:

• Lectures preliminars:

Professors: Emil Saucan | Col·legi d'Enginyeria Braude

Descripció del curs:

La geometrització de dades, després dels seus tímids primers passos, s'ha convertit en una eina principal en l'anàlisi de dades. Entre les nocions geomètriques que resideixen al nucli d'aquest enfocament, la curvatura té, naturalment, un paper destacat. Per tant, primer explorem les diferents nocions de curvatures de xarxa, les seves motivacions matemàtiques, relacions, avantatges i desavantatges relatius i les seves aplicacions a la intel·ligència de xarxa: classificació, mostreig i més enllà. S'inclouran experiments extensos i estudis de casos.

Una altra eina matemàtica dominant aplicada a l'anàlisi de dades és la de l'homologia persistent. A més, hi ha una connexió entre aquest i la curvatura. De fet, es va observar experimentalment que l'homologia persistent de xarxes i esquemes d'hiperxarxes basats en la teoria Morse discreta de Forman, d'una banda, i en la versió unidimensional de la curvatura de Ricci de Forman, de l'altra, no només funcionen bé, sinó que també produeixen pràcticament. resultats idèntics. Mostrem que aquest fet aparentment paradoxal es pot explicar fàcilment en termes de la teoria Morse discreta de Banchoff. Això ens permet demostrar que existeix un esquema d'homologia persistent basat en curvatura i eficient per a xarxes i hiperxarxes. A més, mostrem que el mètode proposat es pot ampliar per incloure tipus de xarxes més generals, utilitzant l'extensió de Bloch del treball de Banchoff i fins i tot es pot fer més eficient apel·lant a resultats força recents de Grunert, Kühnel i Rote.

Acabem amb una exploració del poder en la classificació de xarxes i la comprensió d'altres tipus d'invariants (geo)mètrics, introduïts en el context teòric per Grove i Markvorsen. La seva eficiència s'il·lustra amb experiments amb xarxes i imatges complexes.

Càlcul diferencial per a mòduls sobre posets

Ran Levi | Universitat d'Aberdeen

Resum:

La motivació d'aquest projecte sorgeix de l'anàlisi de dades topològiques. El concepte de mòdul de persistència es va introduir en el context de l'anàlisi de dades topològiques. En la seva forma general, es defineix mòduls de persistència com a funtors des d'un poset arbitrari (o més generalment una petita categoria arbitrària) fins a alguna categoria objectiu abeliana. En altres paraules, un mòdul de persistència és simplement una representació de la categoria d'origen a la categoria abeliana objectiu. Com a tal, es va dedicar molta recerca a estudiar els mòduls de persistència en aquest context. No és sorprenent que quan la categoria d'origen és més general que un ordre lineal, el seu tipus de representació és generalment salvatge. En particular, tenint en compte que se suposa que la teoria dels mòduls de persistència és aplicable, la computabilitat dels mòduls de persistència general és molt limitada. En aquesta xerrada descriuré un nou conjunt d'idees per a l'anàlisi local de mòduls sobre àlgebres de poset mitjançant mètodes manllevats de la teoria de grafs espectrals i el càlcul multivariable.

Antonio Viruel

Universitat de Màlaga

Aquesta activitat és una iniciativa del grup de recerca LIGAT-Laboratori d'Interaccions entre Geometria, Àlgebra i Topologia (2021 SGR 01015). També agraïm el finançament de 

També estem agraïts Red Temática de Álgebra no Conmutativa (RED2022-134631-T) per la seva col·laboració.

Estem al corrent d'una sèrie d'estafes actuals dirigides als participants en activitats de CRM relacionades amb el registre o les reserves d'allotjament. Si un tercer (per exemple, travellerpoint.org, Conference Committee, Global Travel Experts o Royal Visit) us demana informació sobre la reserva o el pagament, ignoreu-los.

Si us plau recorda:
i) CRM mai utilitza tercers per fer la nostra administració d'esdeveniments: els missatges vindran directament del personal de CRM
ii) CRM mai demanarà als participants dades de targeta de crèdit o bancàries
iii) Si teniu qualsevol dubte sobre un correu electrònic que rebeu, poseu-vos en contacte