CRM Faculty Colloquium

La serendipity torna a atacar

abstracte:

Als anys 60, H. Landau, D. Slepian i H. Pollack, que treballaven als Laboratoris Bell, van resoldre un problema central de l'enginyeria elèctrica amb el que van anomenar un accident afortunat. El nucli de l'argument es basava en una commutació entre un operador integral i un operador diferencial de segon ordre. Les funcions pròpies de l'operador de concentració integral eren senyals de banda limitada amb concentració màxima en el temps, mentre que les funcions pròpies de l'operador diferencial apareixen naturalment quan s'estudia l'equació de la calor en certs el·lipsoides de revolució.

En un treball conjunt recent amb A. Bondarenko, D. Radchenko i K. Seip considerem un problema extrem en l'anàlisi de Fourier: trobar el màxim del valor a 0, entre les funcions limitades per banda amb norma u. Aquesta qüestió ha sorgit recurrentment en la teoria analítica de nombres, la teoria d'aproximació, els polinomis ortogonals, els petits divisors, la teoria d'operadors i la teoria de funcions. L. Hörmander i B. Bernhardsson, als anys 90, van dur a terme un estudi numèric precís de la funció extremal i van plantejar la qüestió d'identificar-la. Trobem una descripció completa. El nostre treball gira de nou al voltant d'una serendipitat: la commutació entre un operador diferencial de segon ordre i un operador de composició ponderada.

Joaquim Ortega (UB i CRM)

EDP ​​el·líptiques: extensions recents del problema 19 de Hilbert

abstracte:

El 1900, el 19è problema de Hilbert preguntava si els minimitzadors de funcionals el·líptiques són sempre analítics. Un resultat cèlebre de De Giorgi i Nash a finals de la dècada de 1950 va resoldre el problema per a funcionals uniformement convexos (equivalentment, uniformement el·líptics). El cas important de l'equació de superfícies mínimes va requerir un treball addicional substancial, culminat per l'article de Simons de 1968.

Explicarem aquests desenvolupaments i després els abordarem en un problema estretament relacionat: la regularitat de solucions estables, una classe més àmplia que els minimitzadors absoluts. En aquest cas, les respostes positives només s'han establert a la dècada actual del 2020, tot i que alguns casos encara romanen oberts. Per a superfícies mínimes estables, els resultats es demostren en diversos articles de Chodosh, Li, Minter, Stryker i Mazet. Per a equacions de reacció-difusió, el resultat òptim s'ha establert en un article de Cabré, Figalli, Ros-Oton i Serra. Finalment, esmentarem alguns problemes oberts sobre la regularitat de solucions estables, els principals dels quals són la regularitat de superfícies mínimes estables en i de solucions estables a les equacions de reacció per al laplacià fraccionari.

Xavier Cabré (ICREA & UPC & CRM)

Rectificabilitat quantitativa, integrals singulars i mesura harmònica

abstracteUn subconjunt de l'espai euclidià s'anomena -rectificable si està, fins a un conjunt de mesura zero, contingut en una unió comptable de varietats -dimensionals. El camp de la rectificabilitat quantitativa estudia aquesta noció utilitzant tècniques d'anàlisi harmònica, incloent-hi funcions quadrades i operadors integrals singulars.
D'altra banda, la mesura harmònica juga un paper fonamental a l'hora d'abordar el problema de Dirichlet per al laplacià i apareix naturalment en diverses àrees de l'anàlisi complexa. Per a un domini delimitat, la mesura harmònica d'una porció de la frontera és igual a la probabilitat que un camí brownià iniciat dins del domini surti primer a través d'aquesta porció.
Una qüestió de llarga data en l'anàlisi fa referència a la connexió precisa entre la mesura harmònica i la mesura de superfície a la frontera d'un domini, una relació en què la rectificabilitat és un ingredient clau. En aquesta xerrada, revisarem els teoremes clàssics juntament amb els desenvolupaments recents que es basen en eines de rectificabilitat quantitativa i integrals singulars. En particular, descriurem la resolució dels problemes monofàsics i bifàsics per a la mesura harmònica, així com altres qüestions relatives a la dimensió de la mesura harmònica.

Xavier Tolsa (ICREA & UAB & CRM)