Curs de superfícies K3
Curs de superfícies K3
Data
Divendres de 10:30 a 13:00 (del 4 d'octubre al 29 de novembre de 2019)
Ubicació
Conferenciant: Martí Lahoz i Joan Carles Naranjo, Universitat de Barcelona
Descripció del curs:
L'objectiu principal d'aquest curs de 20 hores és donar una introducció a la teoria de les superfícies K3, que és un tema ric i fonamental en geometria algebraica que toca moltes altres àrees com l'aritmètica, la geometria complexa i diferencial, l'àlgebra homològica i fins i tot la física matemàtica. Les superfícies amb un paquet canònic trivial ocupen un lloc especial en la classificació de varietats bidimensionals. Hi ha dos tipus d'aquestes superfícies: superfícies abelianes i superfícies K2. D'una banda, les superfícies abelianes es poden veure com un senzill anàleg bidimensional de corbes el·líptiques. En particular, les superfícies abelianes tenen un grup fonamental commutatiu no trivial, mentre que les superfícies K3 sorgeixen com una nova classe de varietats algebraiques simplement connectades. És a dir, des del punt de vista de la geometria complexa, són els exemples de dimensions més baixes de varietats hiperkähler o varietats estrictes de Calabi-Yau.
El curs s'organitza de la següent manera: en el primer bloc oferirem algunes nocions bàsiques que són eines universals en moltes teories geomètriques: varietats de Kähler, feixos i teoria de Hodge. A la segona part ens centrarem en la teoria clàssica de les superfícies K3 que culmina amb el famós teorema de Torelli. Finalment, en funció de l'interès de l'audiència, passarem a alguns aspectes més recents, demostrant que l'estudi de les superfícies K3 ha motivat el desenvolupament de moltes eines potents en cada camp.
Organitzador: Joan Carles Naranjo (Universitat de Barcelona)
Data
Divendres de 10:30 a 13:00 (del 4 d'octubre al 29 de novembre de 2019)
Ubicació
Facultat de Matemàtiques i Informàtica – Universitat de Barcelona
Conferenciant: Martí Lahoz i Joan Carles Naranjo, Universitat de Barcelona
Descripció del curs:
L'objectiu principal d'aquest curs de 20 hores és donar una introducció a la teoria de les superfícies K3, que és un tema ric i fonamental en geometria algebraica que toca moltes altres àrees com l'aritmètica, la geometria complexa i diferencial, l'àlgebra homològica i fins i tot la física matemàtica. Les superfícies amb un paquet canònic trivial ocupen un lloc especial en la classificació de varietats bidimensionals. Hi ha dos tipus d'aquestes superfícies: superfícies abelianes i superfícies K2. D'una banda, les superfícies abelianes es poden veure com un senzill anàleg bidimensional de corbes el·líptiques. En particular, les superfícies abelianes tenen un grup fonamental commutatiu no trivial, mentre que les superfícies K3 sorgeixen com una nova classe de varietats algebraiques simplement connectades. És a dir, des del punt de vista de la geometria complexa, són els exemples de dimensions més baixes de varietats hiperkähler o varietats estrictes de Calabi-Yau.
El curs s'organitza de la següent manera: en el primer bloc oferirem algunes nocions bàsiques que són eines universals en moltes teories geomètriques: varietats de Kähler, feixos i teoria de Hodge. A la segona part ens centrarem en la teoria clàssica de les superfícies K3 que culmina amb el famós teorema de Torelli. Finalment, en funció de l'interès de l'audiència, passarem a alguns aspectes més recents, demostrant que l'estudi de les superfícies K3 ha motivat el desenvolupament de moltes eines potents en cada camp.
Organitzador: Joan Carles Naranjo (Universitat de Barcelona)
contingut
(1) Preliminars
(a) Varietats de Kähler.
(b) Garbes i cohomologia.
(c) Descomposició de Hodge.
(d) Teoria de la intersecció en superfícies.
(2) Superfícies K3.
(a) Definició i exemples.
(b) Estructura de Hodge a les superfícies K3.
(c) Projectivitat de superfícies i teoremes GAGA.
(d) Períodes.
(e) Teorema de Torelli.
(3) Diferents direccions des d'aquí
(a) Espais mòduls de garbes a superfícies K3. Goometria hiperkähler.
(b) Automorfismes en superfícies K3. Dinàmica en superfícies K3.
(c) K3 superfícies i aritmètica. Superfícies el·líptiques K3. Punts racionals i corbes racionals.
(d) Categories derivades.
referències
[Bea96] Arnaud Beauville. Superfícies algebraiques complexes, volum 34 de London Mathematical Society Student Texts. Cambridge
University Press, Cambridge, segona edició, 1996. Traduït de l'original francès de 1978 per R. Barlow,
amb l'assistència de NI Shepherd-Barron i M. Reid.
[BHPVdV04] Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters i Antonius Van de Ven. Superfícies complexes compactes, volum 4 de
Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Resultats en
Matemàtiques i àrees afins. 3a Sèrie. Una sèrie d'enquestes modernes en matemàtiques]. Springer-Verlag, Berlín,
segona edició, 2004.
[Can01a] S. Cantat. Sur la dynamique du groupe d'automorphismes des surfacesK3. Transformar. Grups, 6(3):201–214, 2001.
[Can01b] Serge Cantat. Dinàmica dels automorfismes de les superfícies K3. Acta Math., 187(1):1–57, 2001.
[HL10] Daniel Huybrechts i Manfred Lehn. La geometria dels espais mòduls de les garbes. Biblioteca de Matemàtiques de Cambridge.
Cambridge University Press, Cambridge, segona edició, 2010.
[Huy05] Daniel Huybrechts. Geometria complexa. Universitext. Springer-Verlag, Berlín, 2005. Una introducció.
[Huy06] D. Huybrechts. Transformades de Fourier-Mukai en geometria algebraica. Monografies matemàtiques d'Oxford. El Clarendon
Press, Oxford University Press, Oxford, 2006.
[Huy16] Daniel Huybrechts. Lectures on K3 surfaces, volum 158 de Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge
University Press, Cambridge, 2016.
[McM02] Curtis T. McMullen. Dinàmica en superfícies K3: números de Salem i discos de Siegel. J. Reine Angew. Matemàtiques, 545:201–
233, 2002.
[Sch13] Matthias Schütt. Dues conferències sobre l'aritmètica de superfícies K3. En Aritmètica i geometria de superfícies K3 i
Calabi-Yau triples, volum 67 de Fields Inst. Commun., pàgines 71–99. Springer, Nova York, 2013.
[Voi07] Claire Voisin. Teoria de Hodge i geometria algebraica complexa. I, volum 76 de Cambridge Studies in Advanced
Matemàtiques. Cambridge University Press, Cambridge, edició anglesa, 2007. Traduït del francès per Leila
Schneps.