Podria existir realment el sistema Sol-Júpiter-Saturn? Un enfocament assistit per ordinador aporta nova llum sobre l'estabilitat celeste

Quan ens imaginem el Sistema Solar, la majoria de nosaltres encara veiem aquell petit i elegant diagrama dels nostres dies d'escola amb els planetes alineats com a ballarins obedients, cadascun traçant un cercle perfecte al voltant del Sol. Però la realitat és molt més desordenada. A llargues escales de temps, el moviment planetari és caòtic i notòriament difícil de predir. Comprendre la dansa gravitatòria entre només tres cossos celestes (per exemple, el Sol, Júpiter i Saturn) ha estat un dels reptes més persistents de les matemàtiques des de l'època d'Isaac Newton.

Ara, un estudi recent de Jordi-Lluís Figueras (Universitat d'Uppsala) i Àlex Haro (Universitat de Barcelona i el Centre de Recerca Matemàtica) aporta nova llum a aquest trencaclosques centenari. Utilitzant un marc matemàtic sofisticat conegut com a teoria KAM (en honor a Kolmogorov, Arnold i Moser), han demostrat que un moviment estable i quasiperiòdic podria ser possible en una versió simplificada del sistema Sol-Júpiter-Saturn. Els seus càlculs, realitzats amb una precisió ultraalta, han produït proves numèriques convincents que donen suport a l'aplicabilitat d'un teorema KAM a aquesta configuració celeste.

«El que demostra el nostre treball», explica Alex Haro, «és que la part astronòmicament més significativa del Sistema Solar podria, de fet, ser estable. Aquest és precisament el problema que Newton va plantejar als seus Principia quan es va preguntar sobre els efectes gravitacionals mutus entre Júpiter i Saturn».

Tres cossos, caos i un trencaclosques històric

Al segle XVII, Newton va resoldre el problema dels dos cossos: un planeta orbita el·lipse al voltant del Sol. Però si introduïm un tercer cos (un altre planeta, per exemple), el problema esdevé molt més complex. Aquest infame problema dels tres cossos és caòtic, és a dir, petites variacions en les condicions inicials poden conduir a un comportament a llarg termini dràsticament diferent, i no existeix cap solució general.

Al segle XX, la teoria KAM oferia esperança. Va demostrar que, sota condicions específiques, les òrbites estables i quasiperiòdiques podien persistir fins i tot en sistemes susceptibles al caos; trajectòries que mai es repeteixen exactament, sinó que romanen limitades i regulars. Tanmateix, es pensava que aquestes condicions eren gairebé impossibles de complir en sistemes astronòmics reals.

El treball de Figueras i Haro qüestiona aquesta perspectiva. El seu estudi, publicat a la Revista de Ciència No Lineal, pren valors reals per a les masses i els paràmetres orbitals de Júpiter i Saturn i demostra que, fins i tot fora de l'abast estret dels mètodes pertorbatius clàssics, encara pot emergir un moviment estable. Ho van aconseguir mitjançant un enfocament numèric refinat basat en el mètode de parametrització, que els va permetre calcular i validar l'existència del que es coneix com a tors invariants (objectes geomètrics que representen òrbites quasiperiòdiques en l'espai de fase).

«En particular», diu Haro, «el nostre resultat confirma que, en un model newtonià reduït i simplificat del Sistema Solar, on només el Sol i els seus dos planetes més grans es mouen en un pla, pot existir un moviment regular i perpètuament limitat, i que aquest moviment correspon a dades realistes».

Projeccions del tor invariant 3D (que genera un tor 4D) en coordenades cartesianes, que mostren les posicions i els moments de Júpiter i Saturn. Les coordenades de Júpiter es mostren en taronja i les de Saturn en gris.

Una de les espurnes conceptuals darrere d'aquest treball és una observació menys coneguda del matemàtic francès Michel Hénon. Hénon va suggerir que algunes òrbites estables podrien sobreviure fins i tot sota fortes pertorbacions, una idea que en aquell moment es considerava massa optimista. Però Figueras i Haro s'ho van prendre seriosament.

«Els ordinadors van fer possibles aquests càlculs», diu Haro, «però no els hauríem pogut fer sense els algoritmes adequats. Aquests impliquen tant els aspectes dinàmics com geomètrics de les equacions funcionals que hem de resoldre. I en demostrar la convergència dels nostres algoritmes mitjançant mètodes KAM, garantim la fiabilitat dels nostres resultats».

Entre les seves eines hi ha la noció de tors translats, que actuen com una mena de solució alternativa per a les degeneracions que normalment impedeixen l'aplicació de la teoria KAM a sistemes planetaris realistes. Els seus càlculs, realitzats amb una precisió ultraalta en superordinadors, van aconseguir un error d'invariància tan baix com 10⁻⁵⁴, superant amb escreix el llindar requerit per la teoria.

Tot i que el seu model és limitat, ja que assumeix un moviment planar i només inclou dos planetes, les implicacions són de gran abast. «El pas final», explica Haro, «serà una prova matemàtica de l'existència d'aquest moviment quasiperiòdic, amb les freqüències reals de Júpiter i Saturn. Aquesta prova serà assistida per ordinador. L'objecte que estem validant, un tor tridimensional en un espai de sis dimensions, està codificat amb més de sis mil milions de coeficients de Fourier».

Aquest pas es basa directament en el seu article anterior, presentant un teorema KAM personalitzat i un lema iteratiu. La tercera i última fase, actualment en curs, combinarà tots aquests ingredients per produir una demostració completa, rigorosa i assistida per ordinador. Però què passa quan la metodologia s'aplica més enllà del nostre Sistema Solar?

«Aplicar això a sistemes exoplanetaris és una cosa que ens agradaria explorar», diu Haro. «Un repte clau és la dificultat d'obtenir dades precises. Però els nostres teoremes són independents de les coordenades, de manera que es poden adaptar a altres configuracions».

La bellesa del problema

L'interès de Haro per la mecànica celeste es remunta a l'atractiu profund, gairebé mític, del problema dels tres cossos. "És un problema paradigmàtic", diu, "que conté tant ordre com caos. Això el converteix en un camp de proves per a mètodes i idees que sovint s'apliquen en altres llocs, fins i tot quan el problema original no es resol completament".

De fet, els fonaments de la teoria de sistemes dinàmics van ser establerts per Henri Poincaré mentre intentava entendre el problema dels tres cossos. Més tard, la teoria KAM va sorgir dels intents de resoldre les mateixes preguntes. Haro assenyala contribucions clau de matemàtics com Michel Herman, Jacques Féjoz, Luigi Chierchia i Gabriella Pinzari, així com els influents mecanismes de Vladimir Arnold per explicar el caos i la difusió.

El treball de Haro i Figueras es basa en aquesta tradició, però s'obre el seu propi espai. També han col·laborat amb investigadors com Miquel Barcelona, ​​Renato Calleja, Chiara Caracciolo, Álvaro Fernández-Mora, Josep Maria Mondelo i Pedro Porras en aplicacions relacionades, des del disseny de missions espacials fins a la física del plasma. "El que ens va atreure a aquest problema", diu Haro, "va ser en part la seva bellesa, però també el fet que molts membres de la comunitat científica, especialment entre els físics, creien que la teoria KAM no es podia aplicar a sistemes planetaris realistes. Això és una cosa que Henry Dumas analitza a La història de KAM".

«Als matemàtics els agraden els reptes», diu Haro, «i aquest és formidable (almenys per a nosaltres) perquè implica dificultats a molts nivells, tant matemàtics com computacionals».

«En Jordi-Lluís i jo ja havíem treballat en demostracions assistides per ordinador en un context diferent, basant-nos en la feina que havia fet anteriorment amb en Rafael de la Llave», afegeix. «Més tard, juntament amb l'Alejandro Luque, vam centrar la nostra atenció en la teoria KAM, inspirant-nos en un...» ponència clau d'Alejandra González, Rafael de la Llave, Jordi Villanueva i Àngel JorbaVa ser llavors quan vam desenvolupar el nostre primer mètode per a demostracions KAM assistides per ordinador, que inicialment vam provar en problemes més senzills.

Gran part del recorregut de Haro a través d'aquestes idees ha estat modelat per una llarga col·laboració amb el matemàtic Rafael de la Llave. "La meva col·laboració amb en Rafa ha estat fonamental", diu. "Durant el meu postdoctorat a Austin, em va introduir a una nova manera de fer matemàtiques. Vam desenvolupar un llenguatge compartit que ha donat forma a la feina que he fet des de llavors".

Junts, van explorar els tors invariants, les seves estructures associades i, finalment, la frontera de la teoria KAM per a sistemes degenerats, un treball que continua ressonant a través de la recerca actual de Haro en astrodinàmica. "Encara tenim projectes inacabats que es remunten a aquells primers dies", afegeix. "La meva connexió amb Rafa va molt més enllà de les matemàtiques".

Mentre que científics com Jacques Laskar han demostrat que el caos deixa la seva empremta als planetes interiors durant llargues escales de temps, el treball de Figueras i Haro revela una altra cara de la història còsmica: que fins i tot enmig de la inestabilitat, l'ordre matemàtic pot sobreviure. "La humanitat ha estat fascinada pel moviment celeste des dels inicis dels temps", reflexiona Haro. "I nosaltres no som una excepció".

El sistema Sol-Júpiter-Saturn pot ser només una petita part del cel, capturada en un model. Però ens recorda que sota la turbulència del cosmos hi ha un ritme ocult; complex, delicat i, amb les eines adequades, cognoscible.

Cita:

Figueras, J.-L., & Haro, A. (2024). Pot existir un sistema Sol-Júpiter-Saturn: un càlcul verificat de solucions quasiperiòdiques per al problema planar dels tres cossosRevista de Ciència No Lineal, 34(4), Article 10109. https://doi.org/10.1007/s00332-024-10109-4