Conferència sobre EDP no lineals

Els gasos de Riesz són conjunts de mecànica estadística que sorgeixen en matrius aleatòries, modelització de plasma i matèria. Implica un gran nombre de partícules que interactuen a través d'un nucli de potència invers g(x). Ens interessa el cas on amb la potència s entre d-2 i d, on d és la dimensió de l'espai ambient. El cas s=d-2 correspon a l'important cas del gas de Coulomb, mentre que el cas correspon al cas supercoulombià, on g és també el nucli d'un laplacià fraccionari.
El comportament d'ordre principal del gas de Riesz està determinat per la mesura d'equilibri, que està directament relacionada amb la solució d'un problema d'obstacles fraccionaris. Ens interessa comprendre la concentració i les fluctuacions prop d'aquesta mesura d'equilibri. Això implica un "mètode de transport", introduït per primera vegada en treball conjunt amb Thomas Leblé en l'entorn de Coulomb, i que cal adaptar a l'entorn laplacià fraccionari no local. Descriurem el mètode, centrant-nos en els aspectes de l'EDP, així com en les principals conseqüències de la mecànica estadística.
Això es basa en treballs conjunts amb Thomas Leblé, Scott Armstrong i Luke Peilen.

En aquesta xerrada, parlaré de la unicitat de les solucions positives d'EDP el·líptiques no lineals amb condicions de contorn de Dirichlet en diversos tipus de dominis no limitats, per a diversos tipus de no linealitats. Amb aquesta finalitat, presentaré un mètode general que implica una descomposició "estable-compacta". Informe sobre una sèrie de treballs conjunts amb Cole Graham i amb Cole Graham i Jun-Cheng Wei.

Les solucions estables per a equacions el·líptiques semilineals sorgeixen en molts problemes no lineals. Si bé se sap que existeixen solucions singulars estables en dimensions elevades, en dimensions fins a 9 totes les solucions estables són limitades i, per tant, suaus quan la no linealitat es defineix globalment. Això naturalment planteja la qüestió de quina mida pot tenir el conjunt singular en dimensions superiors. El problema és particularment difícil, ja que, a causa de l'absència d'una fórmula de monotonia, no hi ha cap principi de reducció de dimensió disponible. Discutiré els progressos recents en aquesta direcció, basats en un nou criteri d'epsilon-regularitat nítid i estimacions d'integrabilitat superior que donen límits òptims a la mida del conjunt singular per a una àmplia classe de no linealitats.

Aquí discutiré algunes aplicacions relacionades amb el flux de calor del flux de calor del mapa harmònic. En particular, la seva existència global, unicitat i regularitat en espais singulars; el comportament dels mapes prop de les primeres amplificacions autosimilars i la unicitat dels fluxos tangents; i les propietats dels conjunts de mapes de rang 0 i rang 1. L'eina clau són les fórmules de monotonia de Struwe, així com les de tipus Almgren-Poon.