El Centre de Recerca Matemàtica té el plaer de convidar-vos al Col·loqui Inaugural de la Càtedra d'Excel·lència CRM–María de Maeztu 2025, amb el professor Chenchang Zhu (Universitat de Göttingen). Aquest esdeveniment marca l'inici de la seva estada al CRM com a Càtedra d'Excel·lència, una distinció atorgada a investigadors de renom internacional el treball dels quals s'alinea amb les àrees estratègiques de recerca del centre. Les contribucions del professor Zhu a la teoria de categories superiors, la geometria diferencial i la física matemàtica obren noves perspectives a la cruïlla de la geometria i la teoria quàntica. Uneix-te a nosaltres per celebrar el llançament d'aquesta prestigiosa cita.

Estructures superiors en geometria simplèctica

Fa gairebé quatre-cents anys, a l'altre extrem del Mediterrani, Galileu va observar que la corba de descens més ràpida per a una pilota petita no és la línia recta! Tanmateix, per resoldre racionalment aquest problema, va preveure que es necessitarien unes matemàtiques "superiors". Sis dècades més tard, J. Bernoulli va plantejar aquest repte al món matemàtic, provocant la solució de la nit de Newton. Les matemàtiques superiors que van sorgir per resoldre aquests problemes —i, en definitiva, tota la mecànica clàssica— van ser el càlcul.  

Aquest viatge per la mecànica i la geometria va continuar amb la formulació de la mecànica de Lagrange, el teorema de Noether sobre simetries i lleis de conservació i l'auge de la geometria simplèctica moderna. En aquest entorn, la visió d'Alan Weinstein -"tot és lagrangià"- ha donat forma a la nostra comprensió de l'espai de fase, la reducció i la quantificació. Tanmateix, de la mateixa manera que es necessitaven “matemàtiques superiors” per al repte de Galileu, els problemes contemporanis de reducció simplèctica i singularitats demanen un marc nou i més potent.

En aquesta xerrada, introduiré estructures superiors i derivades en geometria diferencial, inspirades en la geometria algebraica derivada de Grothendieck, que proporcionen un llenguatge natural per resoldre singularitats i permetre desplaçaments de l'estructura simplèctica. Crec que la naturalesa física darrere d'aquestes estructures superiors és que la dimensió del nostre univers és 3+1. En una altra paraula, la geometria superior i derivada pot servir com a llenguatge matemàtic per descriure les teories de camp quàntics topològics (TQFT) i els models sigma amb més claredat.

Per il·lustrar aquest enfocament, introduiré idees clau en geometria diferencial superior i derivada i discutiré la seva aplicació a la reducció simplèctica de Marsden-Weinstein, demostrant com aquesta perspectiva moderna perfecciona les tècniques clàssiques i obre noves direccions en geometria simplèctica i física matemàtica, basada en un treball conjunt amb Cueca, Dorsch i Sjamaar.