Aquest curs és una introducció sistemàtica a la teoria de categories moderna, útil per a tots els estudiants d'àlgebra, geometria, topologia, combinatòria o lògica. La teoria de categories ha arribat a ocupar una posició central en les matemàtiques i la informàtica teòrica contemporànies, i també s'aplica a la física matemàtica. Aproximadament, és una teoria matemàtica general de les estructures. En emfatitzar "com es relacionen les coses entre si" en lloc de "què són les coses", és capaç de reconèixer les estructures de les ciències matemàtiques i revelar principis unificadors com ara les propietats universals. A tall d'il·lustració (entre molts), veurem en aquest curs com els conceptes de productes tensorials, subconjunts oberts, feixes, funcions generadores i quantificadors existencials són tots exemples d'adjunts esquerres, i que les propietats generals dels adjunts esquerres són importants en tots els casos. .

La comprensió general abstracta proporcionada per la Teoria de les categories no es considera un objectiu en si mateix sinó més aviat com un punt de partida avantatjós, un principi rector important per a la investigació de problemes més específics. La teoria de categories d'aprenentatge és una drecera cap a la maduresa matemàtica. I també és divertit!

Aquest curs està adreçat a tots els estudiants de grau en Àlgebra, Geometria, Topologia, Combinatòria o Lògica, així com estudiants de grau brillants o especialment motivats en aquestes àrees, i estudiants de mentalitat abstracta en altres àrees de matemàtiques. Els postdoctorals que mai han tingut l'oportunitat d'aprendre teoria de categories de manera sistemàtica, però que, tanmateix, utilitzen un llenguatge categòric, també es beneficiaran de seguir el curs.

A més dels estudiants de les cinc àrees bàsiques esmentades, també s'espera que l'assignatura sigui d'interès per als estudiants de determinades àrees d'Informàtica Teòrica i Física Matemàtica, com la Teoria de la Informació Quàntica i la Semàntica de programes.

El bloc B consta de 6 × 2 hores, seguint de prop [T. Leinster: Basic Category Theory, CUP 2014], un capítol per classe de 2 hores:

B1: Categories, funtors i transformacions naturals.
B2: Adjunts.
B3: Interludi en plató.
B4: Representants.
B5: Límits.
B6: Adjunts, representables i límits.

El bloc A consta de 8 hores que cobreixen els sis temes addicionals següents (no tractats pel llibre de Leinster), que serveixen d'una banda per il·lustrar els conceptes bàsics adquirits i, d'altra banda, per apuntar cap a alguns desenvolupaments i aplicacions actuals:

A1: Categories monoïdals i càlcul gràfic Espais vectorials, àlgebres de Frobenius i rudiments de mecànica quàntica categòrica (després de Coecke i Abramsky).

A2: Teoria de categories enriquides (2 hores) Categories abelianes, espais mètrics com a categories enriquides (després de Lawvere); magnitud dels espais mètrics i altres categories enriquides, i la seva importància geomètrica i topològica.

A3: Mónades, teories de Lawvere i òperes (2 hores) Adjuncions i mónades, Eilenberg {Construcció de Moore, construcció de Kleisli, teories algebraiques, òperes. Exemples, incloses les mónades per a ultrafiltres i mesures de probabilitat.

A4: categories preheaf i representació del coneixement. Diagrama categories i categories d'elements; colímits i garbes; aplicacions a la teoria de grafs i a la teoria de bases de dades (després de Spivak).

A5: Funtors d'espècies i polinomis. Nombres naturals i conjunts finits, sèries de potències i espècies, càlcul d'espècies i funtors polinomials.

·A6: Simetries de grupoides com a obstrucció a problemes de classificació (representabilitat de problemes de mòduls), solucions d'homotopia en termes d'apilament, amb vista a la teoria de categories superiors i la teoria de l'homotopia.

(Tot i que els exemples del bloc A es trien més pel costat exòtic (per efecte pedagògic), els conceptes que il·lustren són generals, i també abunden els exemples en les cinc àrees de matemàtiques generals esmentades, i en altres llocs de les ciències matemàtiques).

[T. Leinster: Teoria bàsica de categories, CUP 2014]. Les referències addicionals inclouen: [E. Riehl: Teoria de categories en context, CUP 2014] [S. Awodey: Teoria de categories, OUP 2010] i [F. W. Lawvere & R. Rosebrugh: Sets for Mathematics, CUP 2003] (per a B3).

Per al bloc A:

A1: [J. Baez & M. Stay: Physics, Topology, Logic and Computation: a Rosetta Stone, 2009] [J. Kock: Àlgebres de Frobenius i teories de camp quàntics topològics 2D, CUP 2004]. [C. Heunen & J. Vicary: Mecànica quàntica categòrica, CUP, properament disponible, versió prefinal].

A2: [F. Borceux: Manual d'àlgebra categòrica: Volum 2, CUP 1994] [F. W. Lawvere: espais mètrics, lògica generalitzada i categories tancades, 1973, TAC Reprint 2002] [T. Leinster: La magnitud dels espais mètrics, Documenta Math. 2013].

A3: [S. Awodey: Teoria de categories, OUP 2010] [T. Leinster: Operads superiors, categories superiors, CUP 2003].

A4: [M. La Palme Reyes, G. Reyes i H. Zolfaghari: Generic figures and their glueings: A constructive approach to functor categories. Polimetrica, 2004] [D. Spivak: Teoria de categories per a les ciències, MIT Press 2014].

A5: [A. Joyal: Une théorie combinatoire des séries formelles, Adv. Matemàtiques. 1981] [J. Baez, J. Dolan: From finite sets to Feynman diagrams, Mathematics illimitat, 2001] [J. Kock: Notes on polynomial functiontors, manuscrit, 2009].

A6: [R. Brown: Topologia i Groupoids, Booksurge 2006].