Carolina Benedetti: Lluís Santaló Visiting Fellow 2026

La recerca es basa en un recurs que les sol·licituds de subvencions poques vegades esmenten. El finançament es pot estimar i les despeses de viatge es poden projectar. El temps és més difícil de comptabilitzar: no el temps del calendari, sinó la mena d'hores acumulades i sense presses en què una conversa matemàtica pot sortir malament, reiniciar-se i trobar el seu camí en un lloc que cap de les dues persones esperava. Una setmana en una conferència, per estimulant que sigui, poques vegades produeix això. Ensenyes, escoltes, dines amb gent amb qui fa anys que vols contactar i el cap de setmana s'acaba abans que res d'això hagi tingut temps d'assentar-se.

En octubre, Carolina Benedetti va venir a Barcelona exactament així. Va ser una de les dues conferenciants convidades a la Escola de Recerca del CRM en Geometries Combinatòries i Combinatòria Geomètrica, un curs intensiu d'una setmana que va reunir més de cinquanta investigadors d'institucions de tres continents. Cada matí, impartia una de les seves cinc sessions de minicurs. Cada tarda, assistia al curs paral·lel o treballava amb els participants a les sessions d'exercicis que ocupaven la major part de l'horari. Al vespre, tornava a l'hotel i preparava la classe de l'endemà. "Impartint la meva classe, assistint a les altres xerrades, intentant pair una mica del que estava passant, tornant a l'hotel, preparant la classe de l'endemà i repetint", diu. Van sorgir idees. Es van anotar noms. No hi havia espai per seguir res més.

El que ofereix una estada de recerca és quelcom més bàsic: l'oportunitat d'estar realment en un lloc amb prou temps per treballar. Les idees que van sorgir durant una setmana d'intensitat es poden recollir i examinar adequadament setmanes més tard. Les col·laboracions que van semblar prometedores en un sopar de conferència es poden provar amb un problema real, en una habitació compartida, durant diversos matins. "La diferència és realment enorme", diu Benedetti. Ara és de tornada a Barcelona, ​​aquesta vegada com a becària Lluís Santaló al CRM, i les coses, diu, s'estan materialitzant.

Objectes discrets, múltiples angles

Benedetti treballa a la intersecció de la combinatòria algebraica i la geomètrica. Els objectes que l'interessen són discrets: conjunts finits amb estructura algebraica o geomètrica, en lloc de corbes o superfícies contínues. Les permutacions (les diferents maneres d'organitzar un conjunt d'elements) són un protagoniste recurrent. També ho són els matroides, que són estructures abstractes que generalitzen la noció d'independència en l'àlgebra lineal, i els positroides, una subfamília específica amb propietats geomètriques particularment riques que ha atret una atenció considerable en els darrers anys per les seves connexions amb la no-negativitat en la geometria tropical.

Dues realitzacions geomètriques de l'estructura de permutacions en quatre elements. Cada vèrtex representa una permutació (etiquetada en vermell i blau), i les arestes connecten permutacions que difereixen per un simple intercanvi adjacent. La figura de l'esquerra mostra el permutoedre complet en 24 vèrtexs, amb línies de punts que indiquen una descomposició combinatòria interna. La figura de la dreta presenta una subestructura restringida, on només es conserva un subconjunt de permutacions, donant lloc a un polítop reduït. Els diagrames següents codifiquen l'ordre parcial associat en formes combinatòries (objectes semblants al diagrama de Young), il·lustrant com aquestes configuracions geomètriques reflecteixen una relació d'ordre subjacent.

L'abast d'aquests objectes és més ampli del que podria semblar. En geometria algebraica, hi ha un problema clàssic de comptar quants punts es troben a la intersecció de certs espais anomenats varietats de Schubert. La geometria implicada és complicada i difícil de manipular directament. El que demostra el treball de Benedetti és que les permutacions i les operacions entre elles poden codificar la resposta. "Amb la combinatòria es pot respondre a certs problemes", va explicar a la Jornada temàtica de 5 xerrades en combinatòria celebrada a la Universitat de Barcelona el 18 de març, «oblidant que t'estàs preguntant sobre la intersecció d'espais i simplement centrant-te en com els objectes combinatoris subjacents reflecteixen aquest problema d'intersecció». La seva xerrada, sobre la combinatòria de productes de polinomis quàntics de Schubert, es va basar en fils que es remunten al seu treball doctoral a Toronto i connecten directament amb el que està construint ara.

El seu minicurs d'octubre al CRM va cobrir diferents territoris: banderes de matroides i positroides, i en particular què es pot dir sobre les subdivisions del polítop bandera D_n en banderes de matroides de camins de xarxa. El curs va introduir els participants als positroides, banderes de matroides, els polítops corresponents i les propietats estructurals que els converteixen en objectes interessants per subdividir. Va acabar amb un conjunt de problemes oberts, alguns d'ells acabats de sortir del seu treball actual. Això, va resultar, no era només un recurs retòric. Diversos dels investigadors que van seure en aquella sala a l'octubre ara estan treballant en aquests problemes amb ella.

«No és el mateix quan tens l'oportunitat de col·laborar en persona, perquè és on realment passa una mica més de màgia.»

La col·laboració actual amb Knauer, Deligeorgaki i Giardino va créixer directament a partir d'aquella setmana, tot i que té arrels que es remunten a més enrere. Knauer i Benedetti es van creuar per primera vegada durant la pandèmia, a Bogotà, en el tipus de trobada que és gairebé impossible d'enginyar deliberadament. Ell estava de visita; ella hi era; van començar a parlar de matemàtiques. El que van descobrir va ser que estaven mirant alguns dels mateixos objectes des d'angles realment diferents. L'enfocament de Benedetti és més combinatori, centrat en les estructures discretes i les seves propietats. El de Knauer tendeix cap a la teoria de l'ordre, més interessat en els conjunts parcialment ordenats que subjauen a aquestes estructures. "Ell té un punt de vista diferent sobre com m'apropo als objectes discrets que tenim en comú", diu. "Això va ser complementari". Va seguir un article sobre matroides de camins de xarxa. Després més reunions. I aquest mes.

El que els quatre estan investigant ara es refereix a polítops els vèrtexs dels quals són permutacions, objectes que tenen una doble vida: geomètricament, són políedres en un espai d'alta dimensió, i algebraicament, sorgeixen d'espais vectorials. La qüestió que fa avançar el grup té a veure amb una noció de no-negativitat en aquests espais, i si l'estructura dels conjunts parcialment ordenats subjacents es pot utilitzar per entendre-ho millor que els polítops per si sols permeten. Segons el propi relat de Benedetti, és un treball que encara està trobant la seva forma. Això és precisament per al que serveix aquest tipus d'estada.

Les matemàtiques no es fan de la mateixa manera a tot arreu

Benedetti va fer el doctorat a la Universitat de York de Toronto, va ocupar un lloc postdoctoral a la Universitat Estatal de Michigan i ha tornat a Bogotà des del 2023, on ensenya a Los Andes. Cada moviment, diu, va afegir alguna cosa més difícil de nomenar que l'amplitud tècnica: una sensació de quines eines de quina tradició encaixen a cada problema. Abans del Canadà, amb prou feines parlava anglès, un requisit previ per treballar internacionalment. Més enllà de l'idioma, cada país tenia un centre de gravetat diferent. Al Canadà, l'àlgebra ho dominava tot. "L'àlgebra és com la reina allà", diu. L'enfocament que va trobar a Toronto s'assemblava poc al que tendeix a anar normalment sota el nom de combinatòria, on el recompte i l'enumeració han estat tradicionalment més centrals. Espanya afegeix un altre angle de nou. Una de les coses que una carrera basada en traslladar-se entre comunitats et dóna, finalment, és la capacitat de reconèixer quina versió d'un problema estàs mirant.

De tornada a Colòmbia, Benedetti és una de les persones darrere de dues iniciatives que han donat forma a la manera com la comunitat matemàtica del país es veu a si mateixa. Com a fundadora de Círculos Matemáticos Colombia, treballa per portar el pensament matemàtic a estudiants i comunitats molt més enllà del circuit universitari. I com a membre de la Comunidad Colombiana de Combinatoria, una xarxa el creixement de la qual es deu en gran mesura al matemàtic Federico Ardila, ha format part d'un esforç per demostrar que els matemàtics colombians poden treballar al més alt nivell sense deixar la seva cultura a la porta. "Les matemàtiques no es fan de la mateixa manera a tot arreu", diu Benedetti, i això té alguna cosa a veure amb la idiosincràsia, amb la música, amb com la gent celebra, amb la textura particular del lloc on vas créixer.

La beca Lluís Santaló porta la seva pròpia versió d'aquesta lògica. Santaló (nascut a Girona, 1911; mort a Buenos Aires, 2001) va ser un matemàtic català que, com milers d'altres persones, va haver de deixar Espanya quan va acabar la Guerra Civil i establir-se en un altre lloc. Va triar l'Argentina, on va arribar el 1939, i hi va passar la resta de la seva carrera, primer a Rosario i després a Buenos Aires, construint el que es va convertir en una de les contribucions fundacionals de la geometria integral i deixant empremta en tota una generació de matemàtics argentins. També es va preocupar, al llarg de la seva vida, per l'educació matemàtica i per fer visibles les matemàtiques més enllà dels murs de la universitat.

La beca CRM que porta el seu nom es va crear específicament per a investigadors d'institucions llatinoamericanes, per tal de fer que la col·laboració entre Amèrica Llatina i Europa sigui una mica menys costosa del que seria d'altra manera. La distància és real, la despesa és real i l'asimetria de qui viatja a qui és real. Un programa que existeix per pressionar contra això té un pes real. "Crear alguna cosa amb un impacte durador a partir d'una situació desafortunada", diu Benedetti sobre la història de Santaló. "Això és un honor".

Afegeix, sense gaire elaboració, que ara hi ha una nova onada de matemàtics que es traslladen de les Amèriques cap a Europa per raons que no són completament diferents de les de Santaló. La beca que porta el seu nom està en funcionament des del 2011. Continua trobant noves raons per ser importants.

___________________________________________________

La convocatòria de beques Lluís Santaló Visiting Fellowship per a estades del 2027 ja està oberta. La data límit per a la sol·licitud és el 30 d'abril de 2026. Més informació aquí.