Barcelona Introducció a la Recerca Matemàtica Programa d'estiu 2023

Què pot fer per tu la topologia algebraica

En aquest minicurs, l'objectiu és introduir la idea bàsica subjacent a l'àrea de recerca de la topologia algebraica. En termes generals, la topologia algebraica proporciona eines algebraiques per distingir/detectar propietats d'espais topològics fins a deformacions contínues. La noció de deformació contínua es formalitza en el concepte d'homotopia que condueix a l'àrea de la teoria de l'homotopia. Primer introduiré la noció de teoria de l'homotopia i com es pot utilitzar per definir estructures algebraiques ben comportades associades a espais (grups d'homotopia, homologia) que permeten traduir "equacions" en topologia a "equacions" en entorns algebraics on hi hagi més estructura. pot ser utilitzat. Acabaré amb un parell d'exemples rellevants sobre com aquestes eines són crucials per resoldre preguntes que aparentment no estan relacionades amb la topologia algebraica.

Representacions lineals de grups finits amb algunes aplicacions clàssiques

Una de les principals eines per a l'estudi dels grups és la representació i la teoria del caràcter. En aquest curs, aprendrem els rudiments de la teoria de representacions de grups finits sobre els nombres complexos. A la primera part, tractarem el material bàsic: el teorema complet de la reductibilitat, les relacions d'ortogonalitat, l'àlgebra de grups, les propietats d'integralitat dels caràcters i la inducció de caràcters. A la segona part, aplicarem aquesta teoria per proporcionar demostracions belles i elegants d'alguns resultats clàssics sobre grups finits (els teoremes de Burnside, Minkowski i Frobenius). No assumirem que l'audiència tingui coneixements previs de la teoria de Galois o de la teoria algebraica dels nombres; en canvi, introduirem breument al llarg del camí les nocions d'aquestes àrees que esdevenen necessàries per a la nostra discussió.

Algunes perles al voltant del teorema de Roth
El teorema de Roth és una de les pedres angulars de la teoria combinatòria de nombres. Afirma que no és possible tenir conjunts densos de nombres enters evitant progressions 3-aritmètiques (no trivials). Aquest teorema, que resol el primer cas no trivial d'una conjectura important deguda a Erdős i Turan, ha tingut molta influència en el desenvolupament de la combinatòria moderna, i diversos medallistes Field i guardonats amb el premi Abel havien treballat en aquest problema en particular (el mateix Roth Bourgain). , Gowers, Tao i Szemerédi, entre d'altres).

En aquest breu curs veurem un parell de proves d'aquest resultat (combinatòria i analítica) i explotarem el que en combinatòria coneixem com la dicotomia “estructuració-aleatorietat”. També es discutiran les limitacions dels mètodes per fer front a progressions aritmètiques més llargues.