Trobada de Matemàtiques Discretes de Barcelona 2025 (BDMM)

abstracte

En aquesta xerrada, parlem de l'existència de progressions aritmètiques de 3 termes de l'arc de Sant Martí dins de 3 colors de diversos conjunts de fons, inclosos intervals finits, grups cíclics i grups abelians generals. Aquesta pregunta fonamental -com sorgeixen les estructures de l'arc de Sant Martí en condicions de densitat específiques en classes de color- ha inspirat una gran quantitat de coneixements, problemes i generalitzacions dins de la teoria de Rainbow Ramsey.

abstracte

En la complexitat del circuit, un resultat d'ampliació dedueix un límit inferior aparentment fort d'un circuit aparentment feble. La xerrada presenta un mètode general per demostrar aquests resultats. Es basa en els anomenats distingidors: matrius binàries que són escasses però que conserven algunes propietats dels codis de correcció d'errors.

abstracte

En aquesta xerrada presentarem una teoria general que ens permet obtenir límits per a la distància de variació total entre vectors aleatoris multivariants amb valors enters i un vector aleatori de Poisson basat en la noció d'acoblament mida-biaix multivariant. Aplicarem aquests límits a un vector que compta el nombre de gràfics que són isomòrfics a un vector de diferents subgrafs d'un graf d'Erdös-Rény amb probabilitat d'arestes que convergeix a zero quan el nombre de vèrtexs convergeix a l'infinit. Aquesta xerrada es basa en un treball conjunt amb Rui Zhang.

abstracte

Considerem els arbres que abasten una línia recta que no es creuen en un punt finit situat en el pla. Un volteig és una transformació d'un d'aquests arbres en un altre mitjançant l'intercanvi exacte d'una vora. En aquesta xerrada considerem el gràfic d'inversions els vèrtexs del qual són els arbres que no es creuen i les arestes són les voltes. En particular, ens interessa el cas de n punts en posició convexa i el diàmetre del gràfic de flip corresponent en termes de n. Presentem límits superior i inferior millorats de 14/9 n i 5/3 n, respectivament. –Aquest és un treball conjunt amb Havard Bjerkevik, Linda Kleist i Birgit Vogtenhuber.

abstracte

La teoria del potencial discret és l'estudi de les funcions harmòniques, i després de l'equació de Laplace, sobre gràfics i xarxes. Des del primer moment, el grup d'anàlisi de matrius i teoria del potencial (MAPTHE) ha intentat, i ha tingut èxit, situar la relació discreta-continu de la teoria del potencial en un fons teòric sòlid, tant en la teoria de grafs com, de manera més general, en la configuració de xarxes. , que configuren una mimètica de càlcul vectorial discret a la diferenciable. Articles molt recents, destaquen l'ús del càlcul vectorial discret en diferents problemes, incloent l'anàlisi de Random Walks, problemes de Big Data o el tractament d'estructures de truss en mecànica. Estem convençuts que el nostre enfocament és adequat per establir una analogia amb el model continu. De fet, l'esmentada analogia i els nostres mètodes, ens han permès introduir noves tècniques en l'anàlisi d'alguns problemes discrets i fins i tot plantejar problemes que al principi només tenen sentit si es comparen amb el seu anàleg continu. Concretament, l'enunciat i la solució de problemes de valor de límit general (BVP), amb operadors el·líptics generals en una xarxa, representen el tema principal del grup. L'estudi de BVP del grup MAPTHE inclou ambdós aspectes, el problema directe i l'invers, que contribueixen a una resolució eficient de problemes com la implementació de tècniques de tomografia d'impedància elèctrica (EIT) en la detecció del càncer, i problemes de difusió en xarxes on Random Walks. representen un model matemàtic i es poden utilitzar per extreure informació sobre qüestions importants a les xarxes. Aquestes són les dues línies de recerca reals del grup MAPTHE, però en aquesta xerrada ens centrem en la primera. Per a qüestions de salut, l'EIT representa una tècnica d'imatge no invasiva i lliure de radiació per a la recuperació distribució de la conductivitat dins del cos sota observació a partir de mesures de la superfície de la pell. A més, se sap que l'EIT és una àrea de recerca innovadora pel seu baix cost i la seva instrumentació portàtil. És ben sabut que aquest problema està molt mal plantejat, sobretot si es consideren xarxes complexes. Per tant, calen nous algorismes per superar aquesta dificultat estructural. Mitjançant tècniques discretes, estem verificant que el disseny d'algorismes estables per a la recuperació de conductàncies es pot aconseguir mitjançant un procés d'optimització. Com a conseqüència, podem millorar les tècniques EIT existents per al diagnòstic clínic.

abstracte

La conjectura del corredor solitari (LRC) és la següent afirmació formulada per Jörg Wills el 1968: 

Si $n$ "corredors" es mouen al llarg d'un cercle de longitud 1, tot començant per l'origen, cadascun amb la seva pròpia velocitat (constant), aleshores hi ha un moment en què tots estan a distància almenys $1/(n+). XNUMX)$ des de l'origen. 

En la seva versió desplaçada (sLRC), els corredors poden començar cadascun en una posició diferent i les velocitats s'assumeixen diferents (o bé donar a tots els corredors la mateixa velocitat produeix un contra-exemple fàcil). La conjectura s'ha abordat des de diferents perspectives, i es demostra fins a $n=6$ en la versió original (Barajas i Serra 2008) i $n=3$ en la versió desplaçada (Cslovjecsek et al. 2022). Aquest últim es basa en una reformulació de LRC i sLRC com a preguntes sobre els radis de cobertura de certs zonotops, desenvolupada per Henze, Malikiosis i Schymura (2017).

En aquesta xerrada revisaré la conjectura i la seva relació amb els zonotops i els seus radis de cobertura, i mostraré que, tant en la versió original com en la desplaçada, si la conjectura és vàlida per a velocitats senceres que sumen com a màxim $n^{2n} $ llavors s'aplica a velocitats arbitràries. Es basa en un treball conjunt amb Romanos Malikiosis i Matthias Schymura, i millora un resultat recent de terence Tao, que va demostrar el mateix amb un límit de $n^{Cn^2}$.