Curs introductori a l'equació de Boltzmann

L'equació de Boltzmann és una de les equacions fonamentals de la física, i en particular de la mecànica estadística. Aquesta equació diferencial parcial modela l'evolució d'un gas o, més generalment, de qualsevol sistema compost per un gran nombre de partícules. Va ser derivada per Boltzmann i Maxwell al segle XIX i continua sent un tema d'interès per a la comunitat científica (vegeu les referències a continuació).

Des d'un punt de vista matemàtic, l'anàlisi de l'equació de Boltzmann té connexions amb diverses àrees de les matemàtiques com la modelització de sistemes biològics o socials, l'equació diferencial parcial, l'anàlisi i els sistemes dinàmics.

L'objectiu d'aquest curs introductori és presentar aquest tema d'una manera accessible i presentar alguns resultats coneguts sobre la derivació de l'equació de Boltzmann (partint de la dinàmica dels sistemes de N partícules), així com una visió general d'alguns resultats importants d'equacions diferencials diferencials i problemes oberts en aquest tema.

Horari: Sis sessions de dues hores cadascuna

• Dimarts, 28 d'abril, 11:00–13:00
• Dijous, 30 d'abril, 11:00–13:00
• Dimarts, 5 de maig, 11:00–13:00
• Dijous, 7 de maig, 11:00–13:00
• Dimarts, 12 de maig, 11:00–13:00
• Dijous, 14 de maig, 11:00–13:00

1. Derivació de l'equació de Boltzmann

• Dinàmica dels sistemes de partícules que interactuen

• Límit de camp mitjà i equacions cinètiques

• 6è problema de Hilbert: de la dinàmica newtoniana a les equacions contínues

2. Propietats bàsiques de l'equació de Boltzmann

• Irreversibilitat en el temps i teorema H de Boltzmann

• Lleis de conservació, solucions maxwellianes

• Nucli de col·lisió de Boltzmann

• Un model de joguina: l'equació de Kolmogorov

3. Anàlisi de l'equació de Boltzmann

• Problema de Cauchy: existència, unicitat i comportament a llarg termini

• Regularitat de les solucions sota límits macroscòpics

• Problemes oberts

Requisits previsEs requereixen coneixements bàsics d'anàlisi real. Alguns coneixements d'EDP són útils però no obligatoris.

[1] C. Cercignani, R. Illner i M. Pulvirenti. La teoria matemàtica dels gasos diluïts, volum 106. Springer Science & Business Media, 2013.

[2] P. Degond. Límits macroscòpics de l'equació de Boltzmann: una revisió. Modelització i mètodes computacionals per a equacions cinètiques, pàgines 3–57, 2004.

[3] Y. Deng, Z. Hani i X. Ma. El sisè problema de Hilbert: derivació d'equacions de fluids mitjançant la teoria cinètica de Boltzmann. Preprint d'arXiv arXiv:2503.01800, 2025.

[4] L. Desvillettes i C. Villani. Sobre la tendència a l'equilibri global per a sistemes cinètics espacialment heterogenis: l'equació de Boltzmann. Inventiones mathematicae, 159(2):245–316, 2005.

[5] I. Gallagher. De la mecànica clàssica a la teoria cinètica i la dinàmica de fluids. Journées équations aux dérivées partielles, pàgines 1–14, 2014.

[6] I. Gallagher, L. Saint-Raymond i B. Texier. De Newton a Boltzmann: esferes dures i potencials de curt abast. Societat Matemàtica Europea de Zuric, Suïssa, 2013.

[7] P. Gressman i R. Strain. Solucions clàssiques globals de l'equació de Boltzmann sense tall angular. Journal of the American Mathematical Society, 24(3):771–847, 2011.

[8] C. Imbert i L. Silvestre. Estimacions de regularitat global per a l'equació de Boltzmann sense límit. Journal of the American Mathematical Society, 35(3):625–703, 2022.

[9] L. Saint-Raymond. Límits hidrodinàmics de l'equació de Boltzmann. Número 1971. Springer Science & Business Media, 2009.

[10] C. Villani. Una revisió de temes matemàtics en teoria cinètica col·lisional. Handbook of mathematical fluid dynamics, 1(71-305):3–8, 2002.

Totes les activitats organitzades pel CRM han de complir amb el següent Codi de conducta.

Estem al corrent d'una sèrie d'estafes actuals dirigides als participants en activitats de CRM relacionades amb el registre o les reserves d'allotjament. Si un tercer (per exemple, travellerpoint.org, Conference Committee, Global Travel Experts o Royal Visit) us demana informació sobre la reserva o el pagament, ignoreu-los.

Si us plau recorda:
i) CRM mai utilitza tercers per fer la nostra administració d'esdeveniments: els missatges vindran directament del personal de CRM
ii) CRM mai demanarà als participants dades de targeta de crèdit o bancàries
iii) Si teniu qualsevol dubte sobre un correu electrònic que rebeu, poseu-vos en contacte