Un curs introductori a l'equació de Boltzmann: de la dinàmica microscòpica a l'ordre macroscòpic

Entre el 28 d'abril i el 14 de maig de 2026, la Facultat de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona va acollir el curs BGSMath Curs introductori a l'equació de BoltzmannDurant sis sessions, el curs va reunir estudiants i investigadors interessats en una de les equacions fonamentals de la física matemàtica.

Les sessions van ser dirigides per Gissell Estrada (UPC-CRM), especialista en la interacció entre les EDP i la teoria cinètica i les seves aplicacions interdisciplinàries, i Xavier Ros-Oton (ICREA–UB–CRM), un reconegut expert en equacions diferencials parcials, particularment conegut pels seus resultats sobre problemes de contorn lliure i equacions integrodiferencials. Junts, van oferir una introducció accessible però rigorosa a un tema central tant per a la física com per a les matemàtiques.

Què és l'equació de Boltzmann?

Tot i que el seu nom pot semblar tècnic, l'equació de Boltzmann sorgeix d'una pregunta molt concreta: com es comporten milions —o fins i tot milers de milions— de partícules col·lectivament quan interactuen entre ells?

La contribució de Boltzmann va ser alhora profundament innovador i bell: ell va descriure el món macroscòpic (temperatura, pressió, equilibri) connectant-ho al comportament microscòpic (col·lisions entre partícules) mitjançant una descripció estadística de tot el sistemaD'aquesta manera, va poder passar de la dinàmica individual a una descripció contínua del sistema, és a dir, al seu comportament macroscòpic.

Aquesta equació ens permet respondre preguntes com ara: Com evoluciona la distribució de les velocitats de les partícules? Per què un gas tendeix cap a l'equilibri? D'on prové la irreversibilitat del temps en sistemes macroscòpics, si les lleis microscòpiques subjacents són reversibles? Aquestes són preguntes profundes sobre els sistemes físics que Boltzmann va aconseguir abordar amb una claredat i elegància notables.

Per entendre millor aquesta idea, podem pensar en un analogia. Imagineu-vos un poble. Està format per individus amb relacions canviants, complexes i molt específiques: amistats, conflictes, retrobaments... cada interacció és diferent. Centrem-nos, per exemple, en la relació entre dos habitants: poden ser amics, deixar de ser-ho per alguna raó i després tornar a connectar. Aquest seria un exemple d'una interacció a nivell microscòpic del poble.

Tanmateix, quan observem la ciutat des de fora, no la descrivim a través de cada relació individual, sinó com un tot: amb les seves dinàmiques, tradicions, festes i caràcter general...

L'equació de Boltzmann fa una cosa molt similar: pren els detalls d'aquestes interaccions i les descriu estadísticament per tal de capturar el comportament global del sistema. No fa un seguiment de cada partícula individualment, sinó que recopila aquest conjunt d'interaccions de manera estadística per proporcionar una imatge coherent del conjunt.

El nucli del curs

El curs va oferir un recorregut conceptual pels principals reptes matemàtics que planteja l'equació de Boltzmann.

En primer lloc, la seva derivació es va abordar, partint de sistemes compostos per moltes partícules que interactuen amb un comportament macroscòpic ben definit. Aquest enfocament es connecta amb el famós sisè problema de Hilbert, que busca derivar rigorosament lleis físiques macroscòpiques a partir de la dinàmica microscòpica.

A continuació, alguns dels seus propietats fonamentals es van presentar: lleis de conservació, irreversibilitat del temps, el teorema H —que descriu com un sistema evoluciona cap a l'equilibri, independentment de la reversibilitat microscòpica, introduint una direcció preferent associada amb l'augment de l'entropia—, el nucli de col·lisió de Boltzmann i models simplificats com l'equació de Kolmogorov.

Finalment, aspectes clau de la seva anàlisi matemàtica es van explorar: el problema de Cauchy (existència, unicitat i comportament a llarg termini), la regularitat de les solucions sota certes condicions macroscòpiques i alguns dels problemes oberts que continuen impulsant la recerca en aquest camp.

Molt més que una equació

Més enllà dels seus orígens en la física dels gasos, l'equació de Boltzmann apareix ara en contextos sorprenents: des de models biològics fins a la teoria de xarxes i la dinàmica col·lectiva.

En aquest sentit, el curs no només va proporcionar una introducció tècnica, sinó que també una invitació a descobrir com una idea nascuda al segle XIX continua sent una eina clau per entendre sistemes complexos al segle XXI.