abstracte

La teoria dels derivadors estables es pot pensar com una millora mínima de categories triangulades que permet una bona teoria de co/límits d'homotopia. La idea d'un derivador ha estat introduïda de manera independent per diversos autors en diferents àrees de la Matemàtica Pura: Heller (en Topologia algebraica), Grothendieck (en Geometria algebraica), Franke, Keller (en Teoria de la representació) i possiblement altres. Aquesta teoria ha trobat recentment diverses aplicacions a problemes clàssics que havien romangut oberts durant molt de temps
temps en la configuració de categories triangulades.

A la primera classe d'aquest curs breu, primer recordarem els antecedents necessaris en teoria de (2-)categories i els utilitzarem per introduir la noció de prederivador. Seguidament anirem definint els derivats, els derivats apuntats i els derivats forts. En el context dels derivadors punxeguts presentarem algunes construccions bàsiques, com ara el con/fibra i les adjuncions de suspensió/bucle. Il·lustrarem
la teoria amb alguns exemples canònics.

La segona classe estarà dedicada al concepte d'estabilitat. Començarem a recordar alguns fets bàsics sobre les categories triangulades, després introduirem la noció d'estabilitat per a un derivador apuntat abstracte i mostrarem que, quan també és fort, les imatges d'un derivador estable estan canònicament triangulades. D'aquesta manera, un derivador fort i estable es converteix en una millora d'una categoria triangulada, anomenada categoria subjacent. Il·lustrarem la teoria amb una breu anàlisi del derivador natural potenciant el
categoria derivada d'una categoria abeliana.

A la tercera i última classe ens centrarem en una aplicació recent de la teoria dels derivadors estables. Començarem a recordar la noció d'estructura t en una categoria general triangulada i mostrarem com posar aquesta noció clàssica en el context dels derivadors. L'avantatge d'aquesta millora és que aconseguirem un bon control dels co/límits al cor d'una estructura en T i, d'aquesta manera,
pot donar condicions suficients molt naturals perquè el cor d'una estructura en T sigui una categoria de Grothendieck.

abstracte

La teoria dels derivadors estables es pot pensar com una millora mínima de categories triangulades que permet una bona teoria de co/límits d'homotopia. La idea d'un derivador ha estat introduïda de manera independent per diversos autors en diferents àrees de la Matemàtica Pura: Heller (en Topologia algebraica), Grothendieck (en Geometria algebraica), Franke, Keller (en Teoria de la representació) i possiblement altres. Aquesta teoria ha trobat recentment diverses aplicacions a problemes clàssics que havien romangut oberts durant molt de temps
temps en la configuració de categories triangulades.

A la primera classe d'aquest curs breu, primer recordarem els antecedents necessaris en teoria de (2-)categories i els utilitzarem per introduir la noció de prederivador. Seguidament anirem definint els derivats, els derivats apuntats i els derivats forts. En el context dels derivadors punxeguts presentarem algunes construccions bàsiques, com ara el con/fibra i les adjuncions de suspensió/bucle. Il·lustrarem
la teoria amb alguns exemples canònics.

La segona classe estarà dedicada al concepte d'estabilitat. Començarem a recordar alguns fets bàsics sobre les categories triangulades, després introduirem la noció d'estabilitat per a un derivador apuntat abstracte i mostrarem que, quan també és fort, les imatges d'un derivador estable estan canònicament triangulades. D'aquesta manera, un derivador fort i estable es converteix en una millora d'una categoria triangulada, anomenada categoria subjacent. Il·lustrarem la teoria amb una breu anàlisi del derivador natural potenciant el
categoria derivada d'una categoria abeliana.

A la tercera i última classe ens centrarem en una aplicació recent de la teoria dels derivadors estables. Començarem a recordar la noció d'estructura t en una categoria general triangulada i mostrarem com posar aquesta noció clàssica en el context dels derivadors. L'avantatge d'aquesta millora és que aconseguirem un bon control dels co/límits al cor d'una estructura en T i, d'aquesta manera,
pot donar condicions suficients molt naturals perquè el cor d'una estructura en T sigui una categoria de Grothendieck.