Curs Avançat sobre Aspectes Moderns de l'anàlisi de Fourier

Mesures amb punt pur de suport i espectre

Felipe Gonçalves

IMPA

En aquesta sèrie de tres conferències donarem una visió general d'un fenomen únic i intrigant que impregna diferents branques de les matemàtiques i sovint serveix com a punt d'entrada analític clau per a moltes estratègies de resolució de problemes: fórmules de suma per a la transformada de Fourier. En el llenguatge modern: quan pot una mesura tenir suport de punt pur i espectre de punt pur? Presentarem molts exemples d'aquestes mesures (i fórmules), traçant el seu llinatge evolutiu des de l'antic fins al modern. Aquestes criatures prosperen en hàbitats matemàtics com ara: la teoria dels nombres (fórmules de suma i traça primeres), geometria discreta (reticules i conjunts de models), anàlisi harmònica (fórmules de reconstrucció de Fourier i formes modulars). A continuació, discutirem alguns resultats recents de la classificació de llinatge, explorarem el paper de gairebé la periodicitat i presentarem algunes conjectures de "Darwin hawkmoth".

Contraexemples per a preguntes de convergència puntuals en PDE dispersives

Lillian Pierce

Duke University

L'any 1980, Carleson va plantejar una pregunta a la PDE: com ha de ser "de ben comportada" una funció de dades inicial, per garantir la convergència puntual de la solució de l'equació lineal de Schrödinger en l'espai euclidià n-dimensional (a mesura que el temps passa a zero)? Després de ser estudiada per molts autors durant gairebé 40 anys, aquesta celebrada qüestió es va resoldre recentment amb una combinació de dos resultats: un de Bourgain, la construcció del contraexemple del qual va demostrar una condició necessària, i més tard un resultat complementari de Du i Zhang, que va demostrar una condició suficient. 

El contraexemple de Bourgain va ser especialment interessant per dues raons: primer, generava una condició necessària que contradeia el que la gent esperava, i segon, semblava obtenir el seu poder a partir de propietats simples de les sumes de Gauss. En aquesta sèrie de conferències explicarem una manera de derivar el contraexemple de Bourgain a partir dels primers principis, després descriurem una manera més flexible de pensar en aquestes construccions, que condueix a moltes més classes de contraexemples.

Fórmules de suma, formes modulars i aplicacions

Danylo Radchenko

Universitat de Lille

La fórmula de suma de Poisson és una de les eines més antigues i útils en l'anàlisi de Fourier, tenint una àmplia i sovint força profunda aplicacions en moltes àrees de les matemàtiques, des de l'anàlisi temps-freqüència i la cristal·lografia fins a la teoria de la codificació i la teoria dels nombres. En aquest curs I parlarà d'aquesta i d'altres fórmules de suma, tant clàssiques com modern, per a les transformacions de Fourier i altres integrals, amb un focus en la interacció entre fórmules de suma, formes modulars i Dirichlet sèrie. També parlaré d'algunes de les aplicacions d'aquestes identitats en geometria i teoria de nombres.

Algunes eines de la restricció de Fourier, Kakeya i la restricció ponderada

Ruixiang Zhang

UC Berkeley

Introduirem tres temes interconnectats, a saber, la restricció de Fourier, la restricció Kakeya i la restricció ponderada (Fourier), i parlarem breument sobre algunes connexions amb problemes en alguns camps matemàtics relacionats. Després d'això, tractarem algunes eines que recentment han estat útils per avançar en els problemes clau.