Un viatge a través de l'anàlisi harmònica i les EDP – Crònica de l'escola d'estiu de CRM

Del 25 al 27 de juny de 2025, l'Escola d'Estiu sobre Anàlisi Harmònica i EDP va reunir investigadors i estudiants durant tres dies de cursos avançats i debats. Amb conferències de Taoufik Hmidi, Daniel Faraco i Joan Verdera, el programa va tractar temes com la dinàmica de vòrtexs, la integració convexa i els models d'energia no locals, oferint una immersió profunda en l'anàlisi moderna i les seves aplicacions.

Del 25 al 27 de juny de 2025, el Centre de Recerca Matemàtica (CRM) va acollir la Escola d'estiu sobre anàlisi harmònica i EDP, un esdeveniment de formació avançada de tres dies centrat en temes clau de l'anàlisi matemàtica moderna. El programa va explorar una àmplia gamma de problemes, incloent-hi integrals singulars, mecànica de fluids, equacions escalars actives i la minimització d'energies d'interacció anisotròpiques. Aquests temes, que es troben a la intersecció de les matemàtiques pures i aplicades, tenen una rellevància directa per a camps com la ciència de materials i la modelització biològica. L'escola va reunir estudiants de doctorat, investigadors postdoctorals i experts internacionals per aprofundir en tècniques analítiques d'avantguarda i les seves aplicacions a fenòmens del món real.

Joan Mateu en la seva presentació de l'esdeveniment.

Es van oferir tres minicursos, cadascun dirigit per un expert distingit.

Taoufik Hmidi, actualment a la Universitat de Nova York a Abu Dhabi, és una figura destacada en l'estudi de la dinàmica de fluids geofísics i les equacions diferencials parcials no lineals. Amb un doctorat de l'École Polytechnique de Palaiseau i un càrrec acadèmic anterior a la Universitat de Rennes, la seva recerca abasta la dinàmica de vòrtexs, la formació d'equilibris relatius en fluxos turbulents i la teoria matemàtica dels fenòmens de bona posició i explosió. El seu treball es caracteritza per un enfocament analític profund combinat amb una forta intuïció física.

Taoufik Hmidi durant una sessió del curs que va impartir.

En el seu minicurs, Avenços en la dinàmica de vòrtex mitjançant la teoria KAM, Taoufik Hmidi va presentar als participants la fascinant món de vòrtexs—aquelles estructures en remolí que emergeixen en fluids turbulents com els oceans o l'atmosfera. Centrant-se en els avenços recents en l'estudi del moviment de vòrtex prop de configuracions ordenades, va mostrar com l'anàlisi matemàtica pot descobrir l'estructura oculta darrere de fluxos aparentment caòticsUn tema central del curs va ser com anar més enllà dels models idealitzats de vòrtex puntual mitjançant la construcció d'estructures més suaus i realistes conegudes com a pegats de vòrtex. A través d'exemples com el moviment periòdic de vòrtex i els fluxos confinats, Hmidi va il·lustrar com les matemàtiques avançades poden reduir la bretxa entre la teoria abstracta i la realitat física.

Taoufik Hmidi durant una sessió del curs que va impartir.

Per abordar aquests problemes, va emprar dues potents eines analítiques. La teoria de Kolmogorov-Arnold-Moser (KAM) explica com els patrons estables i quasiperiòdics poden persistir en sistemes complexos fins i tot quan estan lleugerament pertorbats. L'esquema d'iteració de Nash-Moser, mentrestant, és un mètode refinat per resoldre equacions en situacions on les tècniques estàndard fallen a causa d'una pèrdua de suavitat. Juntes, aquestes eines van permetre a Hmidi construir aproximacions suaus d'estructures de vòrtex singulars, oferint una perspectiva rigorosa però accessible sobre com pot emergir l'ordre dins del caos fluid.

Daniel Faraco és professor de Matemàtica Aplicada a la Universitat Autònoma de Madrid i membre del comitè executiu de l'ICMAT. Després de completar el doctorat a Hèlsinki amb Kari Astala, es va incorporar a l'Institut Max Planck de Leipzig i més tard va ser becari Ramón y Cajal. La seva recerca es troba a la intersecció de l'anàlisi geomètrica i les matemàtiques aplicades, amb contribucions a aplicacions quasiconformes, problemes inversos, elasticitat no lineal i mecànica de fluids. Actualment dirigeix ​​els nodes UAM de dos importants projectes de recerca europeus:Quamap (Beca ERC Advanced) i Agapi (2022–2026)—i dirigeix ​​el grup de Problemes Inversos i Mecànica de la UAM.

Daniel Faraco durant una sessió del curs que va impartir.

En el seu minicurs, Solucions turbulentes a la magnetohidrodinàmica: una introducció a la integració convexa en la mecànica de fluids, Faraco va presentar als participants els desenvolupaments recents en Tècniques d'integració convexa i les seves aplicacions a la magnetohidrodinàmica (MHD) —l'estudi de fluids conductors elèctricament com els plasmes. La integració convexa és un mètode matemàtic que permet la construcció de solucions altament irregulars, però vàlides, per a equacions de fluids, revelant que, sota certes condicions, els fluids es poden comportar de maneres impredictibles o fins i tot contraintuïtives. Originària de la geometria, aquesta tècnica s'ha adaptat per demostrar que les equacions en dinàmica de fluids poden admetre infinites solucions "salvatges", amb implicacions per a la comprensió de la turbulència. Durant els darrers 15 anys, ha evolucionat significativament, permetent noves perspectives sobre comportaments complexos en sistemes de fluids. Faraco va explorar com aquestes idees interactuen amb fenòmens clau en la MHD, com la relaxació del plasma i la teoria de la dinamo. A través d'una seqüència estructurada de sessions, va guiar els assistents a través de temes que inclouen solucions limitades, dissipació d'helicitat magnètica i construccions intermitents, oferint una visió convincent de com les eines matemàtiques abstractes poden il·luminar el comportament turbulent dels sistemes físics.

Daniel Faraco durant una sessió del curs que va impartir.

Joan Verdera és professor d'Anàlisi Matemàtica al Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), on és membre del professorat des del 1987. També ha estat professor visitant a la Universitat de Califòrnia, Los Angeles (UCLA) durant els cursos acadèmics 1983-1984 i 2001-2002. Els seus interessos de recerca inclouen l'anàlisi complexa, l'anàlisi harmònica, la teoria del potencial i la teoria de la mesura geomètrica. Verdera ha fet contribucions significatives a la comprensió de la capacitat analítica i les integrals singulars maximals, i el seu treball recent explora problemes en dinàmica de fluids utilitzant eines de l'anàlisi clàssica.

Joan Verdera durant una sessió del curs que va impartir.

En el seu minicurs, Minimitzadors d'algunes energies no locals, Verdera va explorar models matemàtics que descriuen com els individus—com ara partícules o organismes—s'organitzen sota la influència de forces repulsives i de confinamentAquests models es basen en funcionals d'energia definits sobre mesures de probabilitat, i les preguntes clau inclouen l'existència, la singularitat i l'estructura dels minimitzadors. Verdera va presentar resultats recents que mostren que, sota condicions específiques —com ara el confinament quadràtic i els nuclis d'interacció simètrics i homogenis amb transformada de Fourier positiva lluny de l'origen— el minimitzador es pot descriure explícitament. En particular, pren la forma d'una mesura recolzada en un el·lipsoide, i en el cas de Coulomb (o newtonià), la densitat és constant. Durant aquest curs va oferir als participants un exemple clar de com l'anàlisi matemàtica abstracta pot produir resultats precisos i interpretables en models de comportament col·lectiu.

Joan Verdera durant una sessió del curs que va impartir.

L'activitat va ser organitzada per Joan Mateu, Juan Carlos Cantero, Joan Orobitg i Joan Verdera, tots investigadors de la Universitat Autònoma de Barcelona. L'escola va proporcionar un entorn d'aprenentatge intensiu i un espai vibrant per a l'intercanvi científic, reforçant el paper del CRM com a centre líder en formació avançada en matemàtiques. Més enllà de les classes magistrals, va servir com a punt de trobada per a la recerca matemàtica d'alta qualitat, una oportunitat per compartir idees, fer preguntes i descobrir noves connexions entre la teoria i l'aplicació. Va ser una experiència que va recordar als participants que Les matemàtiques no només serveixen per resoldre equacions, sinó també per entendre el mónDurant uns dies, les matemàtiques no es van convertir només en una disciplina, sinó una conversa viva entre generacions.

“En aquesta escola d'estiu sobre anàlisi harmònica i EDP, s'han presentat tres cursos sobre temes de gran interès per al nostre grup de recerca. Un d'ells va ser impartit pel professor Taoufik Hmidi sobre resultats recents i no tan recents en mecànica de fluids. Un segon curs va ser impartit pel professor Joan Verdera sobre minimitzadors d'energies d'interacció. Aquest tema ha esdevingut molt important durant l'última dècada. El tercer curs, presentat pel professor Daniel Faraco, va ser potser el més nou per a nosaltres i tractava l'equació magnetohidrodinàmica. Aquesta equació s'ha desenvolupat recentment i proposa una equació relacionada amb problemes físics que impliquen camps elèctrics i camps magnètics.

L'objectiu d'aquesta escola d'estiu era atraure a aquests cursos tant matemàtics consolidats com joves investigadors”, explica Joan Mateu.