5 xerrades de combinatòria

Els polinomis de Schubert són una base lineal distingida de l'anell de polinomis sobre Z. En geometria algebraica, el seu producte correspon a la intersecció de (classes de) varietats de Schubert en la cohomologia de la varietat bandera. En combinatòria, moltes de les seves propietats es poden expressar mitjançant combinatòria de permutacions. En aquesta xerrada, aprofundirem en els polinomis de Schubert clàssics i quàntics i explorarem algunes regles combinatòries per als seus productes.
No es pressuposarà cap coneixement dels polinomis de Schubert.
Aquest és un treball conjunt amb N. Bergeron, L. Colmenarejo, F. Saliola i F. Sottile.

La desigualtat de Brunn-Minkowski és un resultat fonamental en la geometria convexa, amb connexions profundes amb diverses àrees de les matemàtiques. En particular, dins de la combinatòria additiva, el problema d'explorar versions discretes de la desigualtat de Brunn-Minkowski ha suscitat un interès considerable en els darrers anys. Tot i que s'han proposat diverses formulacions, encara no hi ha un consens clar sobre quin s'ha de considerar el "millor" anàleg discret del teorema de Brunn-Minkowski. En aquesta xerrada, presentarem una visió general del problema i el seu desenvolupament històric. També discutirem l'estudi dels conjunts pesants com a eina per derivar desigualtats significatives en dimensions arbitràries, que al seu torn reflecteixen el grau de convexitat dels conjunts implicats. Aquest és un treball conjunt amb Luis Montejano i Oriol Serra.

Els polítops hipergràfics d'interval formen una classe especial de polítops hipergràfics en què cada hiperaresta de l'hipergraf subjacent és un interval. Aquests polítops es poden veure com a deformacions de l'associaedre, i diverses de les seves propietats estructurals es reflecteixen naturalment en la combinatòria d'aquest últim. És ben sabut que els vèrtexs de l'associaedre es bijecten naturalment a la xarxa de Tamari.
Mostrem que aquesta perspectiva s'estén a l'entorn de l'hipergraf d'intervals: els conjunts de vèrtexs dels polítops hipergràfics d'intervals corresponen precisament als intervals de la xarxa de Tamari. Finalment, caracteritzarem els hipergrafs d'intervals per als quals el polítop hipergràfic associat és simple. En aquest cas, descrivim els seus conjunts de vèrtexs, que formen una nova i intrigant classe d'arbres dirigits que anomenem salzes ploraners.

Aquest és un treball conjunt amb Germain Poullot, Felix Gelinas, José Bastidas, Vincent Pilaud i Andrew Sack.

Un esquema de compartició de secrets és un mètode per protegir un secret. Donat un secret, l'esquema consisteix a generar fragments d'informació, anomenades comparticions, de manera que el secret es pugui recuperar a partir d'alguns subconjunts de comparticions, anomenats autoritzats. La col·lecció de subconjunts autoritzats és l'estructura d'accés de l'esquema. Brickell i Davenport van demostrar que l'estructura d'accés dels esquemes òptims de compartició de secrets (anomenats ideals) determina un matroide. Per contra, només els matroides entròpics admeten esquemes ideals.
En aquest treball estudiem esquemes polinòmics, esquemes les quotes dels quals es calculen mitjançant polinomis. Demostrem que per a camps prou grans, l'estructura d'accés dels esquemes polinòmics ideals està determinada per un matroide algebraic. Ampliem les connexions entre esquemes lineals ideals i matroides lineals a l'entorn algebraic i donem condicions perquè un matroide algebraic sigui linealment representable sobre alguna extensió de camp.
Aquest és un treball conjunt amb Amos Beimel i Adriana Moya i es va publicar al TCC 2025.

Introduïm la noció d'operades pre-Lie imbricades (NPL per abreujar), una versió no associativa de les operades on l'associativitat horitzontal és substituïda per una llei pre-Lie. Mostrem com aquesta estructura sorgeix naturalment en grafs, arbres i particions de conjunts. Finalment, discutim possibles extensions de les estructures NPL a l'arranjament de trenes. Part d'aquesta xerrada és un treball conjunt amb Dominique Manchon, Hedi Regeiba i Imen Rjaiba.