AF-embeddability, ie the question whether a given -algebra can be realised as a subalgebra of an AF-algebra has been studied for a long time with prominent early results by Pimsner and Voicuescu who constructed such embeddings for irrational rotation algebras in 1980. Since then many AF-embeddings have been constructed for concrete examples but also many non-constructive AF-embeddability results have been obtained for classes of algebras typically assuming the UCT. In this talk we consider a separable unital -algebra A of decomposition rank at most 1 and construct from a suitable system of 1-decomposable cpc-approximations an AF-algebra E together with an embedding of A into E and a conditional expectation of E onto A without assuming the UCT and indicate some applications and related results. 

For any ring R a new invariant has been defined in the form of a partially ordered abelian monoid, built from an equivalence relation on the class of countably generated projective modules and denoted by S(R). It has been named the Cuntz semigroup of the ring R, since its construction is akin to the manufacture of the Cuntz semigroup of a -algebra using countably generated Hilbert modules. Two questions about this semigroup that remain open in the general case are whether S(R) belongs to the abstract Cuntz category, Cu, and whether, given a C*-algebra A, its Cuntz semigroup as a ring and as a -algebra coincide.
In this talk I will focus on the class of rings R over which every projective module is a direct sum of finitely generated modules. I will give a representation of S(R) as a certain monoid of intervals of V (R), and I will answer the two questions mentioned. We will also compute the Cuntz semigroup for rings of continuous functions on one-dimensional spaces. As an application, for such rings we can characterize the class of a countably generated projective ideal by its trace ideal. We will see that the situation is different when considering real-valued or complex-valued functions. I will also present the related notion of left normality for a ring and see whether is satisfied for such rings of continuous functions.
This is work of my Ph.D. under the supervision of Pere Ara and Francesc Perera.

En aquesta xerrada presentaré un primer mètode per construir estats KMS per a certs grafs separats. -àlgebres (E, C). Considerarem grafs finits i bipartits separats (E, C) i basarem la nostra construcció en l'anàlisi de l'anomenada àlgebra domesticada (E, C), un quocient d'A que admet una realització com a producte creuat de funcions contínues en un espai de configuració per una acció parcial d'un grup lliure. L'existència d'estats KMS en A s'obté construint una mesura en l'espai de configuració que és quasiinvariant respecte a la dinàmica acolorida. També esmentaré durant la xerrada exemples concrets de les diferents estructures implicades.
Aquest és un treball conjunt amb P. Ara (UAB), J. Claramunt (UPC) i E. Gillaspy (U. Montana)

En aquesta xerrada presentaré un segon mètode per construir estats KMS per a grafs separats generals. -àlgebres Començaré introduint l'eina principal utilitzada, és a dir, la probabilitat amalgama, una generalització de la probabilitat lliure i com jugarà un paper central en la cerca d'estats KMS. Condicions necessàries per a l'existència d'estats KMS en es donarà i, en condicions suaus, demostrarem que aquestes condicions també són suficients. Demostraré, amb exemples específics, com utilitzar aquestes condicions per construir explícitament estats KMS sobre , que en general poden diferir dels estats KMS construïts utilitzant el primer mètode presentat per F. Lledó. Això demostra que, en general, el simplex KMS de graf separat -les àlgebres són molt més riques que el gràfic habitual -àlgebres.

Aquest és un treball conjunt amb Pere Ara (UAB), Elizabeth Gillaspy (UM) i Fernando Lledó (UC3M).

La comparació estricta és una propietat fonamental de les C∗-àlgebres, introduïda originalment per Blackadar per capturar la generalització adequada de la teoria de comparació de Murray-von Neumann per a factors. Des de la seva introducció, s'ha convertit en una pedra angular de la teoria estructural moderna de les C∗-àlgebres.
Una característica clau de la comparació estricta és la seva versatilitat: és útil tant per a àlgebres C* nuclears com no nuclears, amb aplicacions que van des dels resultats de classificació fins a la recent solució negativa del problema de Tarski. Una línia central de recerca ha estat determinar quines àlgebres C* de grup (reduïdes, possiblement retorçades) posseeixen aquesta propietat, una qüestió que ha experimentat progressos significatius tant en els entorns adaptables com en els no adaptables.
En aquesta xerrada, descriuré les idees principals que subjauen a aquests desenvolupaments i parlaré, en particular, del treball conjunt recent amb S. Raum i H. Thiel.

Un grup s'anomena coherent si té la propietat que qualsevol subgrup generat finitament també es presenta finitament. La coherència de grups és un fenomen molt interessant que es troba principalment en petites dimensions. En el cas d'un grup d'Artin rectangle, és un resultat clàssic de Droms que la coherència es pot caracteritzar en termes del graf definidor i Droms, B. Servatius i H. Servatius van demostrar més tard que és equivalent a que el grup derivat sigui lliure. La caracterització en termes del graf definidor ha estat estesa a la família de grups d'Artin per Gordon i Wise i en aquesta xerrada mostrarem que per a grups d'Artin arbitraris la mateixa caracterització de la coherència en termes del grup derivat és certa. També revisarem alguns resultats recents sobre coherència i discutirem la relació amb propietats com la coherència de l'anell de grup, una relació que està lluny de ser ben entesa en general.

Parlaré principalment sobre les C*-àlgebres de con. Discutirem les seves propietats: algunes conegudes (per exemple, la quasidiagonalitat i la quasidiagonalitat de les traces susceptibles) i algunes de noves. També discutirem la invariància per homotopia de diverses propietats C*-algebraiques.