Donats nombres reals i , en aquesta xerrada construirem una unitat simple -àlgebra de rang estable u i una acció de manera que el radi de comparació de is , mentre que el radi de comparació del producte creuat is Aquesta xerrada es basa en el treball conjunt amb Ilan Hirshberg i M. Ali Asadi-Vasfi.

Desenvolupaments recents en l'àrea de la teoria de models per a Les àlgebres han donat lloc a moltes preguntes interessants i resultats remarcables. Una d'aquestes preguntes, plantejada per Farah et al. el 2021, és la següent: és l'àlgebra de Jiang-Su existencialment tancat en la classe d'unitari, nuclear, establement finit, sense projecció -àlgebres? Aquesta pregunta es pot reformular en termes de l'existència d'una immersió en l'ultrapotència de Z, que en si mateixa es pot veure com una -anàleg algebraic del famós problema d'immersió de Connes per a àlgebres de von Neumann. Això impulsa l'estudi de quan existeix aquesta immersió. En treball conjunt amb Jennifer Pi (Universitat d'Oxford), mostrem que els cons sobre separables -les àlgebres sempre s'integren en l'ultrapotència de , un anàleg directe del resultat de Voiculescu que tal  Les àlgebres són quasidiagonals. Per tant, proposem la integració en l'ultrapotència de com una propietat de regularitat similar. Això està recolzat pel nostre resultat principal, que estableix la invariància d'homotopia d'aquesta propietat sota algunes hipòtesis addicionals. En aquesta xerrada, discutiré aquests resultats, així com les seves connexions amb la teoria de models i  -problemes algebraics.

Integrabilitat AF, és a dir, la qüestió de si una determinada L'àlgebra es pot realitzar com una subàlgebra d'una àlgebra AF. S'ha estudiat durant molt de temps amb resultats primerencs destacats de Pimsner i Voicuescu, que van construir aquestes immersions per a àlgebres de rotació irracionals el 1980. Des de llavors, s'han construït moltes immersions AF per a exemples concrets, però també s'han obtingut molts resultats d'immersió AF no constructius per a classes d'àlgebres que normalment assumeixen la UCT. En aquesta xerrada considerem una unitat separable. -àlgebra A de rang de descomposició com a màxim 1 i construir a partir d'un sistema adequat d'aproximacions CPC 1-descomposables una AF-àlgebra E juntament amb una immersió de A en E i una esperança condicional de E sobre A sense assumir la UCT i indicar algunes aplicacions i resultats relacionats. 

Per a qualsevol anell R s'ha definit un nou invariant en forma d'un monoide abelià parcialment ordenat, construït a partir d'una relació d'equivalència sobre la classe de mòduls projectius generats numerablement i denotat per S(R). S'ha anomenat semigrup de Cuntz de l'anell R, ja que la seva construcció és similar a la fabricació del semigrup de Cuntz d'un -àlgebra utilitzant mòduls de Hilbert generats numerablement. Dues preguntes sobre aquest semigrup que romanen obertes en el cas general són si S(R) pertany a la categoria abstracta de Cuntz, Cu, i si, donada una C*-àlgebra A, el seu semigrup de Cuntz com a anell i com a -l'àlgebra coincideix.
En aquesta xerrada em centraré en la classe d'anells R sobre els quals cada mòdul projectiu és una suma directa de mòduls finitament generats. Donaré una representació de S(R) com un cert monoide d'intervals de V(R) i respondré les dues preguntes esmentades. També calcularem el semigrup de Cuntz per a anells de funcions contínues en espais unidimensionals. Com a aplicació, per a aquests anells podem caracteritzar la classe d'un ideal projectiu generat numerablement pel seu ideal de traça. Veurem que la situació és diferent quan es consideren funcions amb valors reals o complexos. També presentaré la noció relacionada de normalitat esquerra per a un anell i veuré si es compleix per a aquests anells de funcions contínues.
Aquest és un treball de la meva tesi doctoral sota la supervisió de Pere Ara i Francesc Perera.

En aquesta xerrada presentaré un primer mètode per construir estats KMS per a certs grafs separats. -àlgebres (E, C). Considerarem grafs finits i bipartits separats (E, C) i basarem la nostra construcció en l'anàlisi de l'anomenada àlgebra domesticada (E, C), un quocient d'A que admet una realització com a producte creuat de funcions contínues en un espai de configuració per una acció parcial d'un grup lliure. L'existència d'estats KMS en A s'obté construint una mesura en l'espai de configuració que és quasiinvariant respecte a la dinàmica acolorida. També esmentaré durant la xerrada exemples concrets de les diferents estructures implicades.
Aquest és un treball conjunt amb P. Ara (UAB), J. Claramunt (UPC) i E. Gillaspy (U. Montana)

En aquesta xerrada presentaré un segon mètode per construir estats KMS per a grafs separats generals. -àlgebres Començaré introduint l'eina principal utilitzada, és a dir, la probabilitat amalgama, una generalització de la probabilitat lliure i com jugarà un paper central en la cerca d'estats KMS. Condicions necessàries per a l'existència d'estats KMS en es donarà i, en condicions suaus, demostrarem que aquestes condicions també són suficients. Demostraré, amb exemples específics, com utilitzar aquestes condicions per construir explícitament estats KMS sobre , que en general poden diferir dels estats KMS construïts utilitzant el primer mètode presentat per F. Lledó. Això demostra que, en general, el simplex KMS de graf separat -les àlgebres són molt més riques que el gràfic habitual -àlgebres.

Aquest és un treball conjunt amb Pere Ara (UAB), Elizabeth Gillaspy (UM) i Fernando Lledó (UC3M).

La comparació estricta és una propietat fonamental de les C∗-àlgebres, introduïda originalment per Blackadar per capturar la generalització adequada de la teoria de comparació de Murray-von Neumann per a factors. Des de la seva introducció, s'ha convertit en una pedra angular de la teoria estructural moderna de les C∗-àlgebres.
Una característica clau de la comparació estricta és la seva versatilitat: és útil tant per a àlgebres C* nuclears com no nuclears, amb aplicacions que van des dels resultats de classificació fins a la recent solució negativa del problema de Tarski. Una línia central de recerca ha estat determinar quines àlgebres C* de grup (reduïdes, possiblement retorçades) posseeixen aquesta propietat, una qüestió que ha experimentat progressos significatius tant en els entorns adaptables com en els no adaptables.
En aquesta xerrada, descriuré les idees principals que subjauen a aquests desenvolupaments i parlaré, en particular, del treball conjunt recent amb S. Raum i H. Thiel.

Un grup s'anomena coherent si té la propietat que qualsevol subgrup generat finitament també es presenta finitament. La coherència de grups és un fenomen molt interessant que es troba principalment en petites dimensions. En el cas d'un grup d'Artin rectangle, és un resultat clàssic de Droms que la coherència es pot caracteritzar en termes del graf definidor i Droms, B. Servatius i H. Servatius van demostrar més tard que és equivalent a que el grup derivat sigui lliure. La caracterització en termes del graf definidor ha estat estesa a la família de grups d'Artin per Gordon i Wise i en aquesta xerrada mostrarem que per a grups d'Artin arbitraris la mateixa caracterització de la coherència en termes del grup derivat és certa. També revisarem alguns resultats recents sobre coherència i discutirem la relació amb propietats com la coherència de l'anell de grup, una relació que està lluny de ser ben entesa en general.

Parlaré principalment sobre les C*-àlgebres de con. Discutirem les seves propietats: algunes conegudes (per exemple, la quasidiagonalitat i la quasidiagonalitat de les traces susceptibles) i algunes de noves. També discutirem la invariància per homotopia de diverses propietats C*-algebraiques.